Strona 1 z 1

Przedział zbioru częściowo uporządkowanego

: 22 sty 2020, o 18:51
autor: Iqoxo
Zdefiniujmy przedziały dla zbioru z uporządkowaniem częściowym następująco:

\(\displaystyle{ A}\) - dowolny zbiór

jeśli \(\displaystyle{ (a \in A) \wedge (x \le a) \Rightarrow x \in A}\)

to \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem

Czy ta definicja ma sens? Jeśli tak to proszę wyznaczyć wszystkie przedziały dla \(\displaystyle{ P(A)}\), gdzie \(\displaystyle{ A}\) jest dowolny zbiorem.

Proszę o pomoc z tym zdaniem.

Re: Przedział zbioru częściowo uporządkowanego

: 22 sty 2020, o 19:08
autor: Jan Kraszewski
Żeby definicja miała sens, to musisz zacząć nie od tego, że \(\displaystyle{ A}\) jest dowolnym zbiorem, tylko od tego, że masz jakiś zbiór częściowo uporządkowany. Rozumiem zatem, że masz na myśli coś takiego.

Niech \(\displaystyle{ \left\langle X, \le \right\rangle }\) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech \(\displaystyle{ A \subseteq X}\). Mówimy, że \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem jeśli spełniony jest warunek \(\displaystyle{ (\forall a\in A)(\forall x\le a)x\in A}\).

Ale wtedy prośba o wyznaczenie przedziałów dla \(\displaystyle{ P(A)}\) jest niejasna. Czy chodzi Ci o wyznaczenie wszystkich przedziałów w \(\displaystyle{ \left\langle P(X), \subseteq \right\rangle }\) dla ustalonego zbioru \(\displaystyle{ X}\)?

JK

Re: Przedział zbioru częściowo uporządkowanego

: 22 sty 2020, o 21:52
autor: Iqoxo
Jan Kraszewski pisze:
22 sty 2020, o 19:08
Żeby definicja miała sens, to musisz zacząć nie od tego, że \(\displaystyle{ A}\) jest dowolnym zbiorem, tylko od tego, że masz jakiś zbiór częściowo uporządkowany. Rozumiem zatem, że masz na myśli coś takiego.

Niech \(\displaystyle{ \left\langle X, \le \right\rangle }\) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym i niech \(\displaystyle{ A \subseteq X}\). Mówimy, że \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem jeśli spełniony jest warunek \(\displaystyle{ (\forall a\in A)(\forall x\le a)x\in A}\).

Ale wtedy prośba o wyznaczenie przedziałów dla \(\displaystyle{ P(A)}\) jest niejasna. Czy chodzi Ci o wyznaczenie wszystkich przedziałów w \(\displaystyle{ \left\langle P(X), \subseteq \right\rangle }\) dla ustalonego zbioru \(\displaystyle{ X}\)?

JK
Dziękuje, ale nie rozumiem następującej rzeczy. Dajmy dla przykładu zbiór \(\displaystyle{ X = \left\{0, 1, 2 ,3\right\} }\) i zbiór \(\displaystyle{ A = \left\{1, 2\right\} }\), to według definicji dla np. \(\displaystyle{ a = 1}\) i \(\displaystyle{ x = 0}\) jest spełniona nierówność, ale \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\).

Re: Przedział zbioru częściowo uporządkowanego

: 22 sty 2020, o 22:20
autor: Jan Kraszewski
Iqoxo pisze:
22 sty 2020, o 21:52
Dajmy dla przykładu zbiór \(\displaystyle{ X = \left\{0, 1, 2 ,3\right\} }\) i zbiór \(\displaystyle{ A = \left\{1, 2\right\} }\),
Rozumiem, że rozważasz zwykły porządek na liczbach naturalnych.
Iqoxo pisze:
22 sty 2020, o 21:52
to według definicji dla np. \(\displaystyle{ a = 1}\) i \(\displaystyle{ x = 0}\) jest spełniona nierówność, ale \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do zbioru \(\displaystyle{ A}\).
No i właśnie dlatego zbiór \(\displaystyle{ A}\) nie jest przedziałem (w sensie tej definicji).

Nie jestem pewny, czy dobrze sobie radzisz z odczytywaniem formuł zapisanych symbolicznie.

JK