Znajdź element, stosując metodę przekątniową

[ullortnaci]

Zadanie ze zbioru Guzicki, Zakrzewski
Zadanie 6.8 W każdym z poniższych przypadków, dla danego zbioru \(\displaystyle{ X}\) i dowolnego nieskończonego ciągu \(\displaystyle{ \left\langle x _{n} \right\rangle _{n \in \NN} }\) elementów tego zbioru znajdź, stosując metodę przekątniową, element \(\displaystyle{ z \in X}\) \ \(\displaystyle{ \left\{ x _{n}: n \in \NN \right\} }\):
c) \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru liczb nieparzystych.
d) \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru kwadratów liczb naturalnych.
e) \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem wszystkich podzbiorów zbioru liczb parzystych.

Proszę o jak najdokładniejsze wytłumaczenie, niezbyt rozumiem te zadania.

[Jan Kraszewski]

Ale czego dokładnie nie rozumiesz w tych zadaniach?

JK

[ullortnaci]

Nie wiem na jakiej zasadzie tworzy się te zbiory \(\displaystyle{ z}\). Trzeba "omijać" ten zbiór \(\displaystyle{ X}\) czy jak?

[Jan Kraszewski]

Zbiór \(\displaystyle{ X}\) to rodzina zbiorów, a ciąg \(\displaystyle{ \left\langle x _{n} \right\rangle _{n \in \NN}}\) to ciąg zbiorów. A Ty masz skonstruować ciąg odpowiednich liczb \(\displaystyle{ \left\langle a _{n} \right\rangle _{n \in \NN}}\) w ten sposób, żeby \(\displaystyle{ a_n\notin x_n}\). Wtedy \(\displaystyle{ z=\{a_k:k\in\NN\}\ne x_n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN.}\)

JK

[Dasio11]

Raczej: dany jest ciąg \(\displaystyle{ \left< x_n \right>_{n \in \NN}}\) elementów \(\displaystyle{ X = \mathcal{P}(A)}\), który jest zbiorem potęgowym pewnego zbioru \(\displaystyle{ A}\). Należy ustawić w ciąg \(\displaystyle{ \left< a_n \right>_{n \in \NN}}\) wszystkie elementy \(\displaystyle{ A}\) i zdefiniować zbiór \(\displaystyle{ z \in \mathcal{P}(A)}\) tak, by \(\displaystyle{ a_n \in z}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a_n \notin x_n}\). Wtedy \(\displaystyle{ z \neq x_n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\).

[Jan Kraszewski]

Dzięki za czujność.

JK