Strona 1 z 1
Mnożenie liczb całkowitych
: 20 sty 2020, o 04:42
autor: Iqoxo
Proszę zweryfikować, że mnożenie dla liczb całkowitych jest poprawnie zdefiniowane:
\(\displaystyle{ [(m,n)][(k,l)] = [(mk + nl,ml + nk)] }\)
Próbowałem sam wykonać to zadanie stosując się do informacji zawartych na tej stronie , lecz z marnym skutkiem. Proszę o wytłumaczenie jak wykonać to zadanie. Będę bardzo wdzięczny za pomoc.
Re: Mnożenie liczb całkowitych
: 20 sty 2020, o 13:46
autor: Jan Kraszewski
Iqoxo pisze: ↑20 sty 2020, o 04:42
Proszę zweryfikować, że mnożenie dla liczb całkowitych jest poprawnie zdefiniowane:
\(\displaystyle{ [(m,n)][(k,l)] = [(mk + nl,ml + nk)] }\)
Ale rozumiesz kontekst tego zadania? Wiesz, że rozważasz relację równoważności
\(\displaystyle{ R}\) zadaną na
\(\displaystyle{ \NN \times \NN}\) warunkiem
\(\displaystyle{ (m,n)R(k,l) \Leftrightarrow m+l=k+n,}\)
której klasy abstrakcji utożsamiasz z liczbami całkowitymi i pokazanie, że dodawanie tych liczb jest dobrze zdefiniowane polega na tym, że masz pokazać niezależność definicji od wyboru reprezentanta klasy abstrakcji?
Nawiasem mówiąc, pod podanym linkiem jest kompletne rozwiązanie...
JK
Re: Mnożenie liczb całkowitych
: 22 sty 2020, o 00:58
autor: Iqoxo
Jan Kraszewski pisze: ↑20 sty 2020, o 13:46
Iqoxo pisze: ↑20 sty 2020, o 04:42
Proszę zweryfikować, że mnożenie dla liczb całkowitych jest poprawnie zdefiniowane:
\(\displaystyle{ [(m,n)][(k,l)] = [(mk + nl,ml + nk)] }\)
Ale rozumiesz kontekst tego zadania? Wiesz, że rozważasz relację równoważności
\(\displaystyle{ R}\) zadaną na
\(\displaystyle{ \NN \times \NN}\) warunkiem
\(\displaystyle{ (m,n)R(k,l) \Leftrightarrow m+l=k+n,}\)
której klasy abstrakcji utożsamiasz z liczbami całkowitymi i pokazanie, że dodawanie tych liczb jest dobrze zdefiniowane polega na tym, że masz pokazać niezależność definicji od wyboru reprezentanta klasy abstrakcji?
Nawiasem mówiąc, pod podanym linkiem jest kompletne rozwiązanie...
JK
Dziękuje już zrozumiałem, na czym polega zadanie. Tylko mam problem z następującym przejściem
[ciach]. Mógłby mi Pan wyjaśnić skąd się ono wzięło. Link do pełnej wersji: (strona 8)
Re: Mnożenie liczb całkowitych
: 22 sty 2020, o 01:09
autor: Jan Kraszewski
Iqoxo pisze: ↑22 sty 2020, o 00:58Tylko mam problem z następującym przejściem
Tak naprawdę są to przekształcenia, które wykonujesz pod oczekiwany wynik i stąd wrażenie, że nie wiadomo, dlaczego akurat coś takiego robimy.
Ale to, dlaczego zachodzi ta równość, jest proste: bierzesz pierwsze założenie
\(\displaystyle{ a+d=b+c}\) i mnożysz stronami przez
\(\displaystyle{ e}\). Potem odwracasz:
\(\displaystyle{ b+c=a+d}\), mnożysz stronami przez
\(\displaystyle{ f}\) i dodajesz obustronnie do tego, co otrzymałeś w poprzednim kroku. Kontynuujesz podobnie z drugim założeniem
\(\displaystyle{ c+h=f+g}\).
JK
Re: Mnożenie liczb całkowitych
: 22 sty 2020, o 01:13
autor: Iqoxo
Jan Kraszewski pisze: ↑22 sty 2020, o 01:09
Iqoxo pisze: ↑22 sty 2020, o 00:58Tylko mam problem z następującym przejściem
Tak naprawdę są to przekształcenia, które wykonujesz pod oczekiwany wynik i stąd wrażenie, że nie wiadomo, dlaczego akurat coś takiego robimy.
Ale to, dlaczego zachodzi ta równość, jest proste: bierzesz pierwsze założenie
\(\displaystyle{ a+d=b+c}\) i mnożysz stronami przez
\(\displaystyle{ e}\). Potem odwracasz:
\(\displaystyle{ b+c=a+d}\), mnożysz stronami przez
\(\displaystyle{ f}\) i dodajesz obustronnie do tego, co otrzymałeś w poprzednim kroku. Kontynuujesz podobnie z drugim założeniem
\(\displaystyle{ c+h=f+g}\).
JK
To wszystko wyjaśnia. Niepotrzebnie doszukiwałem się w tym przejściu jakieś definicji czy przekształcenia. Dziękuje jeszcze raz i pozdrawiam.