Mnożenie liczb całkowitych

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Iqoxo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 20 sty 2020, o 04:26
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 4 razy

Mnożenie liczb całkowitych

Post autor: Iqoxo » 20 sty 2020, o 04:42

Proszę zweryfikować, że mnożenie dla liczb całkowitych jest poprawnie zdefiniowane:

\(\displaystyle{ [(m,n)][(k,l)] = [(mk + nl,ml + nk)] }\)

Próbowałem sam wykonać to zadanie stosując się do informacji zawartych na tej stronie http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... z%C4%85dek, lecz z marnym skutkiem. Proszę o wytłumaczenie jak wykonać to zadanie. Będę bardzo wdzięczny za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25994
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Mnożenie liczb całkowitych

Post autor: Jan Kraszewski » 20 sty 2020, o 13:46

Iqoxo pisze:
20 sty 2020, o 04:42
Proszę zweryfikować, że mnożenie dla liczb całkowitych jest poprawnie zdefiniowane:

\(\displaystyle{ [(m,n)][(k,l)] = [(mk + nl,ml + nk)] }\)
Ale rozumiesz kontekst tego zadania? Wiesz, że rozważasz relację równoważności \(\displaystyle{ R}\) zadaną na \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\) warunkiem

\(\displaystyle{ (m,n)R(k,l) \Leftrightarrow m+l=k+n,}\)

której klasy abstrakcji utożsamiasz z liczbami całkowitymi i pokazanie, że dodawanie tych liczb jest dobrze zdefiniowane polega na tym, że masz pokazać niezależność definicji od wyboru reprezentanta klasy abstrakcji?

Nawiasem mówiąc, pod podanym linkiem jest kompletne rozwiązanie...

JK

Iqoxo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 20 sty 2020, o 04:26
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 4 razy

Re: Mnożenie liczb całkowitych

Post autor: Iqoxo » 22 sty 2020, o 00:58

Jan Kraszewski pisze:
20 sty 2020, o 13:46
Iqoxo pisze:
20 sty 2020, o 04:42
Proszę zweryfikować, że mnożenie dla liczb całkowitych jest poprawnie zdefiniowane:

\(\displaystyle{ [(m,n)][(k,l)] = [(mk + nl,ml + nk)] }\)
Ale rozumiesz kontekst tego zadania? Wiesz, że rozważasz relację równoważności \(\displaystyle{ R}\) zadaną na \(\displaystyle{ \NN \times \NN}\) warunkiem

\(\displaystyle{ (m,n)R(k,l) \Leftrightarrow m+l=k+n,}\)

której klasy abstrakcji utożsamiasz z liczbami całkowitymi i pokazanie, że dodawanie tych liczb jest dobrze zdefiniowane polega na tym, że masz pokazać niezależność definicji od wyboru reprezentanta klasy abstrakcji?

Nawiasem mówiąc, pod podanym linkiem jest kompletne rozwiązanie...

JK
Dziękuje już zrozumiałem, na czym polega zadanie. Tylko mam problem z następującym przejściem [ciach]. Mógłby mi Pan wyjaśnić skąd się ono wzięło. Link do pełnej wersji: https://www.math.wustl.edu/~freiwald/310integers.pdf (strona 8)
Ostatnio zmieniony 22 sty 2020, o 01:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieregulaminowy zapis - obrazki zamiast zapisu w LaTeX-u.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25994
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Mnożenie liczb całkowitych

Post autor: Jan Kraszewski » 22 sty 2020, o 01:09

Iqoxo pisze:
22 sty 2020, o 00:58
Tylko mam problem z następującym przejściem
Tak naprawdę są to przekształcenia, które wykonujesz pod oczekiwany wynik i stąd wrażenie, że nie wiadomo, dlaczego akurat coś takiego robimy.

Ale to, dlaczego zachodzi ta równość, jest proste: bierzesz pierwsze założenie \(\displaystyle{ a+d=b+c}\) i mnożysz stronami przez \(\displaystyle{ e}\). Potem odwracasz: \(\displaystyle{ b+c=a+d}\), mnożysz stronami przez \(\displaystyle{ f}\) i dodajesz obustronnie do tego, co otrzymałeś w poprzednim kroku. Kontynuujesz podobnie z drugim założeniem \(\displaystyle{ c+h=f+g}\).

JK

Iqoxo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 20 sty 2020, o 04:26
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Podziękował: 4 razy

Re: Mnożenie liczb całkowitych

Post autor: Iqoxo » 22 sty 2020, o 01:13

Jan Kraszewski pisze:
22 sty 2020, o 01:09
Iqoxo pisze:
22 sty 2020, o 00:58
Tylko mam problem z następującym przejściem
Tak naprawdę są to przekształcenia, które wykonujesz pod oczekiwany wynik i stąd wrażenie, że nie wiadomo, dlaczego akurat coś takiego robimy.

Ale to, dlaczego zachodzi ta równość, jest proste: bierzesz pierwsze założenie \(\displaystyle{ a+d=b+c}\) i mnożysz stronami przez \(\displaystyle{ e}\). Potem odwracasz: \(\displaystyle{ b+c=a+d}\), mnożysz stronami przez \(\displaystyle{ f}\) i dodajesz obustronnie do tego, co otrzymałeś w poprzednim kroku. Kontynuujesz podobnie z drugim założeniem \(\displaystyle{ c+h=f+g}\).

JK

To wszystko wyjaśnia. Niepotrzebnie doszukiwałem się w tym przejściu jakieś definicji czy przekształcenia. Dziękuje jeszcze raz i pozdrawiam.

ODPOWIEDZ