Moc zbioru ciągów rozbieżnych

[Nuna]

Jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ \left\{ x \in \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}: x ~jest~rozbieżny \right\}}\)?

No tak. Ograniczenie z góry to continuum, wiadomo. Jak ma być rozbieżny to nie może być od pewnego miejsca stały i złożony albo z samych 1, albo 0. Ale tutaj się kończy moja koncepcja.

[a4karo]

To policz ile jest zbieżnych

[Dasio11]

Albo zauważ, że zbiór

\(\displaystyle{ \{ x \in \{ 0, 1 \}^{\NN} : (\forall n \in \NN) \, x(2n) = n \bmod{2} \}}\)

jest podzbiorem Twojego zbioru, i wylicz jego moc.

[Nuna]

Nie będzie ich skończenie wiele? No bo wybieram sobie jakieś n, od którego mój ciąg jest już stale równy 0 lub 1, wcześniej jednak mogłam wybierać albo 0 albo 1 czyli mam \(\displaystyle{ 2^{n} * 2 }\) możliwych ciągów zbieżnych. Mnożę jeszcze przez 2, bo mogę mieć później albo stale 0, albo 1.

[a4karo]

na palcach ci pokaże nieskończenie wiele:
1,0,0,0,0,0,
1,1,0,0,0,0,
1,1,1,0,0,0
...

[Nuna]

Albo zauważ, że zbiór

\(\displaystyle{ \{ x \in \{ 0, 1 \}^{\NN} : (\forall n \in \NN) \, x(2n) = n \bmod{2} \}}\)

jest podzbiorem Twojego zbioru, i wylicz jego moc.

Chyba trochę nie rozumiem jak ma wyglądać ten zbiór, dlaczego jest \(\displaystyle{ x(2n)}\)?

[a4karo]

Ideą Dasia11 jest coś takiego: bierzesz ciąg rozbieżny, a następnie robisz między jego elementami dziurki. W te dziurki możesz dowolnie wstawić zera i jedynki, a ciąg zawsze będzie rozbieżny. A ponieważ dziurki możesz wypełnić na continuum sposobów...

[Nuna]

Ideą Dasia11 jest coś takiego: bierzesz ciąg rozbieżny, a następnie robisz między jego elementami dziurki. W te dziurki możesz dowolnie wstawić zera i jedynki, a ciąg zawsze będzie rozbieżny. A ponieważ dziurki możesz wypełnić na continuum sposobów...

A okej, czyli ten zbiór mam moc continnum, a że jest podzbiorem to wiadomo, że tamten też musi być co najmniej takiej mocy. Dziękuję za pomoc.

[terefere123]

To policz ile jest zbieżnych

Czy chciałeś zrobić zadanie w taki sposób: pokazać, że zbieżnych ciągów jest przeliczalnie wiele i potem udowodnić, że zbiór mocy continuum pomniejszony o zbiór o mocy alef zero jest dalej continuum?

[Jan Kraszewski]

Czy chciałeś zrobić zadanie w taki sposób: pokazać, że zbieżnych ciągów jest przeliczalnie wiele i potem udowodnić, że zbiór mocy continuum pomniejszony o zbiór o mocy alef zero jest dalej continuum?

Można i tak, choć samu uzasadnienie, że zbiór mocy continuum pomniejszony o zbiór o mocy alef zero jest dalej mocy continuum nie jest trywialne. Wydaje się, że prościej po prostu oszacować z dołu moc tego zbioru przez continuum (np. tak, jak proponował Dasio11).

JK