Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 18:09

Jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ \left\{ x \in \left\{ 0,1\right\} ^{\NN}: x ~jest~rozbieżny \right\}}\)?

No tak. Ograniczenie z góry to continuum, wiadomo. Jak ma być rozbieżny to nie może być od pewnego miejsca stały i złożony albo z samych 1, albo 0. Ale tutaj się kończy moja koncepcja.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: a4karo » 19 sty 2020, o 18:21

To policz ile jest zbieżnych

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 8747
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1855 razy

Re: Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: Dasio11 » 19 sty 2020, o 18:33

Albo zauważ, że zbiór

\(\displaystyle{ \{ x \in \{ 0, 1 \}^{\NN} : (\forall n \in \NN) \, x(2n) = n \bmod{2} \}}\)

jest podzbiorem Twojego zbioru, i wylicz jego moc.

Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Re: Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 18:41

Nie będzie ich skończenie wiele? No bo wybieram sobie jakieś n, od którego mój ciąg jest już stale równy 0 lub 1, wcześniej jednak mogłam wybierać albo 0 albo 1 czyli mam \(\displaystyle{ 2^{n} * 2 }\) możliwych ciągów zbieżnych. Mnożę jeszcze przez 2, bo mogę mieć później albo stale 0, albo 1.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: a4karo » 19 sty 2020, o 18:43

na palcach ci pokaże nieskończenie wiele:
1,0,0,0,0,0,
1,1,0,0,0,0,
1,1,1,0,0,0
...

Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Re: Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 19:54

Dasio11 pisze:
19 sty 2020, o 18:33
Albo zauważ, że zbiór

\(\displaystyle{ \{ x \in \{ 0, 1 \}^{\NN} : (\forall n \in \NN) \, x(2n) = n \bmod{2} \}}\)

jest podzbiorem Twojego zbioru, i wylicz jego moc.
Chyba trochę nie rozumiem jak ma wyglądać ten zbiór, dlaczego jest \(\displaystyle{ x(2n)}\)?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: a4karo » 19 sty 2020, o 20:01

Ideą Dasia11 jest coś takiego: bierzesz ciąg rozbieżny, a następnie robisz między jego elementami dziurki. W te dziurki możesz dowolnie wstawić zera i jedynki, a ciąg zawsze będzie rozbieżny. A ponieważ dziurki możesz wypełnić na continuum sposobów...

Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Re: Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 20:03

a4karo pisze:
19 sty 2020, o 20:01
Ideą Dasia11 jest coś takiego: bierzesz ciąg rozbieżny, a następnie robisz między jego elementami dziurki. W te dziurki możesz dowolnie wstawić zera i jedynki, a ciąg zawsze będzie rozbieżny. A ponieważ dziurki możesz wypełnić na continuum sposobów...
A okej, czyli ten zbiór mam moc continnum, a że jest podzbiorem to wiadomo, że tamten też musi być co najmniej takiej mocy. Dziękuję za pomoc.

terefere123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 3 lis 2019, o 13:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 66 razy

Re: Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: terefere123 » 19 sty 2020, o 21:47

a4karo pisze:
19 sty 2020, o 18:21
To policz ile jest zbieżnych
Czy chciałeś zrobić zadanie w taki sposób: pokazać, że zbieżnych ciągów jest przeliczalnie wiele i potem udowodnić, że zbiór mocy continuum pomniejszony o zbiór o mocy alef zero jest dalej continuum?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25991
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Moc zbioru ciągów rozbieżnych

Post autor: Jan Kraszewski » 19 sty 2020, o 22:20

terefere123 pisze:
19 sty 2020, o 21:47
Czy chciałeś zrobić zadanie w taki sposób: pokazać, że zbieżnych ciągów jest przeliczalnie wiele i potem udowodnić, że zbiór mocy continuum pomniejszony o zbiór o mocy alef zero jest dalej continuum?
Można i tak, choć samu uzasadnienie, że zbiór mocy continuum pomniejszony o zbiór o mocy alef zero jest dalej mocy continuum nie jest trywialne. Wydaje się, że prościej po prostu oszacować z dołu moc tego zbioru przez continuum (np. tak, jak proponował Dasio11).

JK

ODPOWIEDZ