Moc zbioru funkcji malejących
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Moc zbioru funkcji malejących
Jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ \left\{ f \in \ZZ ^{\NN} : f~ jest~ malejąca \right\} }\)?
Mamy więc po prostu malejące ciągi, a takie chyba od pewnego miejsca muszą mieć już same wyrazy ujemne. Więc tych funkcji będzie \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} \left\{ x _{n} \in \ZZ : (\forall k>n) (x _{k} < 0) \right\} }\). I tu się trochę gubię...
Mamy więc po prostu malejące ciągi, a takie chyba od pewnego miejsca muszą mieć już same wyrazy ujemne. Więc tych funkcji będzie \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} \left\{ x _{n} \in \ZZ : (\forall k>n) (x _{k} < 0) \right\} }\). I tu się trochę gubię...
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Moc zbioru funkcji malejących
Wsk: każdemu ciagowi `(a_n)` malejącemu przypisz ciąg `(b_n)` zadany wzorem
\begin{cases}
b_0=a_0,\\
b_n=a_n-a_{n-1} & n>0.
\end{cases}
\begin{cases}
b_0=a_0,\\
b_n=a_n-a_{n-1} & n>0.
\end{cases}
-
- Administrator
- Posty: 34232
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5198 razy
Re: Moc zbioru funkcji malejących
Jeśli przez "malejące" rozumiemy "ściśle malejące", to tak.
Ten zapis od strony formalnej nie wygląda dobrze, poza tym niekoniecznie w czymkolwiek pomaga
Najpierw musisz się zdecydować, jak duży wg Ciebie jest ten zbiór. Masz oczywiste oszacowanie z góry przez zbiór mocy continnum i dość oczywiste oszacowanie z dołu przez zbiór mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Teraz albo uważasz, że takich funkcji jest mało i starasz się oszacować z góry moc tego zbioru przez \(\displaystyle{ \aleph_0}\), albo sądzisz, że jest duży i wtedy starasz się oszacować z dołu jego moc przez continuum.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Re: Moc zbioru funkcji malejących
Wtedy wyrazy ciągu `(b_n)` są liczbami całkowitymi dodatnimi (bo `(a_n)` malejący, więc różnica \(\displaystyle{ a_{n} - a_{n-1} >0 }\)). A tych jest \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Ale czy to już to?
No właśnie intuicja mi tu średnio coś podpowiada, ale na podstawie tego co napisałam powyżej chyba bardziej skłaniam się ku \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Tutaj ciąg ma być malejący (zakładam, że ściśle), tak więc różnica między kolejnymi sąsiednimi wyrazami musi albo taka sama jak poprzednia, albo coraz to większa. Ale nie mam pomysłu jakbym mogła to ograniczyć z góry.Jan Kraszewski pisze: ↑19 sty 2020, o 15:13
Najpierw musisz się zdecydować, jak duży wg Ciebie jest ten zbiór. Masz oczywiste oszacowanie z góry przez zbiór mocy continnum i dość oczywiste oszacowanie z dołu przez zbiór mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Teraz albo uważasz, że takich funkcji jest mało i starasz się oszacować z góry moc tego zbioru przez \(\displaystyle{ \aleph_0}\), albo sądzisz, że jest duży i wtedy starasz się oszacować z dołu jego moc przez continuum.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Moc zbioru funkcji malejących
W definicji powinno być `b_n=a_{n-1}-a_n`. Ten ciąg ma wyrazy dodatnie. Jak sie mają ciagi malejące do ciagów o wyrazach nieujemnych?
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Re: Moc zbioru funkcji malejących
Skoro tak, to mamy ciąg malejący liczb dodatnich, co oczywiście daje sprzeczność. Tak?
-
- Użytkownik
- Posty: 22204
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3753 razy
Re: Moc zbioru funkcji malejących
Jaką sprzeczność? Przeciez ciąg `b_n` wcale nie musi być malejący. Np dla ciągu `a` równego `5,3,3,-2,-3,-4,-15...` ciąg `b` będzie taki:
`5,2,0,5,1,1,11,...`
Chodzi o to, że ciąg `b_n` ma wyrazy nieujemne. A ilość takich ciągów potrafisz policzyć.
`5,2,0,5,1,1,11,...`
Chodzi o to, że ciąg `b_n` ma wyrazy nieujemne. A ilość takich ciągów potrafisz policzyć.
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Re: Moc zbioru funkcji malejących
Ah, źle zrozumiałam pytanie. Takich ciągów jest continuum. Nie czuję jednak, jak teraz z tego wyciągnąć ostateczny wniosek.
-
- Użytkownik
- Posty: 101
- Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
- Płeć: Kobieta
- wiek: 19
- Podziękował: 58 razy
Re: Moc zbioru funkcji malejących
Ciąg `(b_n)` charakteryzuje w pewien sposób każdego `(a_n)`. Więc wystarczy, że każdemu `b_n` przypiszemy "odpowiadający" mu `a_n` i mamy odwzorowanie 1-1. Zatem ciągów malejących musi być co najmniej tyle ile ciągów b, czyli continuum. Teraz ok?