Moc zbioru funkcji malejących

[Nuna]

Jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ \left\{ f \in \ZZ ^{\NN} : f~ jest~ malejąca \right\} }\)?

Mamy więc po prostu malejące ciągi, a takie chyba od pewnego miejsca muszą mieć już same wyrazy ujemne. Więc tych funkcji będzie \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} \left\{ x _{n} \in \ZZ : (\forall k>n) (x _{k} < 0) \right\} }\). I tu się trochę gubię...

[a4karo]

Wsk: każdemu ciagowi `(a_n)` malejącemu przypisz ciąg `(b_n)` zadany wzorem
\begin{cases}
b_0=a_0,\\
b_n=a_n-a_{n-1} & n>0.
\end{cases}

[Jan Kraszewski]

Mamy więc po prostu malejące ciągi, a takie chyba od pewnego miejsca muszą mieć już same wyrazy ujemne.

Jeśli przez "malejące" rozumiemy "ściśle malejące", to tak.

Więc tych funkcji będzie \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} \left\{ x _{n} \in \ZZ : (\forall k>n) (x _{k} < 0) \right\} }\).

Ten zapis od strony formalnej nie wygląda dobrze, poza tym niekoniecznie w czymkolwiek pomaga

I tu się trochę gubię...

Najpierw musisz się zdecydować, jak duży wg Ciebie jest ten zbiór. Masz oczywiste oszacowanie z góry przez zbiór mocy continnum i dość oczywiste oszacowanie z dołu przez zbiór mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Teraz albo uważasz, że takich funkcji jest mało i starasz się oszacować z góry moc tego zbioru przez \(\displaystyle{ \aleph_0}\), albo sądzisz, że jest duży i wtedy starasz się oszacować z dołu jego moc przez continuum.

JK

[Nuna]

Wsk: każdemu ciagowi `(a_n)` malejącemu przypisz ciąg `(b_n)` zadany wzorem
\begin{cases}
b_0=a_0,\\
b_n=a_n-a_{n-1} & n>0.
\end{cases}

Wtedy wyrazy ciągu `(b_n)` są liczbami całkowitymi dodatnimi (bo `(a_n)` malejący, więc różnica \(\displaystyle{ a_{n} - a_{n-1} >0 }\)). A tych jest \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Ale czy to już to?

Najpierw musisz się zdecydować, jak duży wg Ciebie jest ten zbiór. Masz oczywiste oszacowanie z góry przez zbiór mocy continnum i dość oczywiste oszacowanie z dołu przez zbiór mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Teraz albo uważasz, że takich funkcji jest mało i starasz się oszacować z góry moc tego zbioru przez \(\displaystyle{ \aleph_0}\), albo sądzisz, że jest duży i wtedy starasz się oszacować z dołu jego moc przez continuum.

JK

No właśnie intuicja mi tu średnio coś podpowiada, ale na podstawie tego co napisałam powyżej chyba bardziej skłaniam się ku \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Tutaj ciąg ma być malejący (zakładam, że ściśle), tak więc różnica między kolejnymi sąsiednimi wyrazami musi albo taka sama jak poprzednia, albo coraz to większa. Ale nie mam pomysłu jakbym mogła to ograniczyć z góry.

[a4karo]

W definicji powinno być `b_n=a_{n-1}-a_n`. Ten ciąg ma wyrazy dodatnie. Jak sie mają ciagi malejące do ciagów o wyrazach nieujemnych?

[Nuna]

W definicji powinno być `b_n=a_{n-1}-a_n`. Ten ciąg ma wyrazy dodatnie. Jak sie mają ciagi malejące do ciagów o wyrazach nieujemnych?

Skoro tak, to mamy ciąg malejący liczb dodatnich, co oczywiście daje sprzeczność. Tak?

[a4karo]

Jaką sprzeczność? Przeciez ciąg `b_n` wcale nie musi być malejący. Np dla ciągu `a` równego `5,3,3,-2,-3,-4,-15...` ciąg `b` będzie taki:
`5,2,0,5,1,1,11,...`
Chodzi o to, że ciąg `b_n` ma wyrazy nieujemne. A ilość takich ciągów potrafisz policzyć.

[Nuna]

Jaką sprzeczność? Przeciez ciąg `b_n` wcale nie musi być malejący. Np dla ciągu `a` równego `5,3,3,-2,-3,-4,-15...` ciąg `b` będzie taki:
`5,2,0,5,1,1,11,...`
Chodzi o to, że ciąg `b_n` ma wyrazy nieujemne. A ilość takich ciągów potrafisz policzyć.

Ah, źle zrozumiałam pytanie. Takich ciągów jest continuum. Nie czuję jednak, jak teraz z tego wyciągnąć ostateczny wniosek.

[a4karo]

TO teraz pokaż odpowiedniość 1-1 między ciągami typu b i typu a

[Nuna]

Ciąg `(b_n)` charakteryzuje w pewien sposób każdego `(a_n)`. Więc wystarczy, że każdemu `b_n` przypiszemy "odpowiadający" mu `a_n` i mamy odwzorowanie 1-1. Zatem ciągów malejących musi być co najmniej tyle ile ciągów b, czyli continuum. Teraz ok?

[a4karo]

W zasadzie tak, choć dla formalności jakiś rachunek pokazujący różnowartościowość by się przydał

[Nuna]

To już się pobawię na papierze Dziękuję bardzo za wskazówki.