Moc zbioru funkcji malejących

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 14:53

Jaka jest moc zbioru \(\displaystyle{ \left\{ f \in \ZZ ^{\NN} : f~ jest~ malejąca \right\} }\)?

Mamy więc po prostu malejące ciągi, a takie chyba od pewnego miejsca muszą mieć już same wyrazy ujemne. Więc tych funkcji będzie \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} \left\{ x _{n} \in \ZZ : (\forall k>n) (x _{k} < 0) \right\} }\). I tu się trochę gubię...
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: a4karo » 19 sty 2020, o 15:07

Wsk: każdemu ciagowi `(a_n)` malejącemu przypisz ciąg `(b_n)` zadany wzorem
\begin{cases}
b_0=a_0,\\
b_n=a_n-a_{n-1} & n>0.
\end{cases}

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25991
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: Jan Kraszewski » 19 sty 2020, o 15:13

Nuna pisze:
19 sty 2020, o 14:53
Mamy więc po prostu malejące ciągi, a takie chyba od pewnego miejsca muszą mieć już same wyrazy ujemne.
Jeśli przez "malejące" rozumiemy "ściśle malejące", to tak.
Nuna pisze:
19 sty 2020, o 14:53
Więc tych funkcji będzie \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN} \left\{ x _{n} \in \ZZ : (\forall k>n) (x _{k} < 0) \right\} }\).
Ten zapis od strony formalnej nie wygląda dobrze, poza tym niekoniecznie w czymkolwiek pomaga
Nuna pisze:
19 sty 2020, o 14:53
I tu się trochę gubię...
Najpierw musisz się zdecydować, jak duży wg Ciebie jest ten zbiór. Masz oczywiste oszacowanie z góry przez zbiór mocy continnum i dość oczywiste oszacowanie z dołu przez zbiór mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Teraz albo uważasz, że takich funkcji jest mało i starasz się oszacować z góry moc tego zbioru przez \(\displaystyle{ \aleph_0}\), albo sądzisz, że jest duży i wtedy starasz się oszacować z dołu jego moc przez continuum.

JK

Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 15:41

a4karo pisze:
19 sty 2020, o 15:07
Wsk: każdemu ciagowi `(a_n)` malejącemu przypisz ciąg `(b_n)` zadany wzorem
\begin{cases}
b_0=a_0,\\
b_n=a_n-a_{n-1} & n>0.
\end{cases}
Wtedy wyrazy ciągu `(b_n)` są liczbami całkowitymi dodatnimi (bo `(a_n)` malejący, więc różnica \(\displaystyle{ a_{n} - a_{n-1} >0 }\)). A tych jest \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Ale czy to już to?
Jan Kraszewski pisze:
19 sty 2020, o 15:13

Najpierw musisz się zdecydować, jak duży wg Ciebie jest ten zbiór. Masz oczywiste oszacowanie z góry przez zbiór mocy continnum i dość oczywiste oszacowanie z dołu przez zbiór mocy \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Teraz albo uważasz, że takich funkcji jest mało i starasz się oszacować z góry moc tego zbioru przez \(\displaystyle{ \aleph_0}\), albo sądzisz, że jest duży i wtedy starasz się oszacować z dołu jego moc przez continuum.

JK
No właśnie intuicja mi tu średnio coś podpowiada, ale na podstawie tego co napisałam powyżej chyba bardziej skłaniam się ku \(\displaystyle{ \aleph_0}\). Tutaj ciąg ma być malejący (zakładam, że ściśle), tak więc różnica między kolejnymi sąsiednimi wyrazami musi albo taka sama jak poprzednia, albo coraz to większa. Ale nie mam pomysłu jakbym mogła to ograniczyć z góry.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: a4karo » 19 sty 2020, o 15:55

W definicji powinno być `b_n=a_{n-1}-a_n`. Ten ciąg ma wyrazy dodatnie. Jak sie mają ciagi malejące do ciagów o wyrazach nieujemnych?

Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 16:09

a4karo pisze:
19 sty 2020, o 15:55
W definicji powinno być `b_n=a_{n-1}-a_n`. Ten ciąg ma wyrazy dodatnie. Jak sie mają ciagi malejące do ciagów o wyrazach nieujemnych?
Skoro tak, to mamy ciąg malejący liczb dodatnich, co oczywiście daje sprzeczność. Tak?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: a4karo » 19 sty 2020, o 16:18

Jaką sprzeczność? Przeciez ciąg `b_n` wcale nie musi być malejący. Np dla ciągu `a` równego `5,3,3,-2,-3,-4,-15...` ciąg `b` będzie taki:
`5,2,0,5,1,1,11,...`
Chodzi o to, że ciąg `b_n` ma wyrazy nieujemne. A ilość takich ciągów potrafisz policzyć.

Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 16:32

a4karo pisze:
19 sty 2020, o 16:18
Jaką sprzeczność? Przeciez ciąg `b_n` wcale nie musi być malejący. Np dla ciągu `a` równego `5,3,3,-2,-3,-4,-15...` ciąg `b` będzie taki:
`5,2,0,5,1,1,11,...`
Chodzi o to, że ciąg `b_n` ma wyrazy nieujemne. A ilość takich ciągów potrafisz policzyć.
Ah, źle zrozumiałam pytanie. Takich ciągów jest continuum. Nie czuję jednak, jak teraz z tego wyciągnąć ostateczny wniosek.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: a4karo » 19 sty 2020, o 16:59

TO teraz pokaż odpowiedniość 1-1 między ciągami typu b i typu a

Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 17:25

Ciąg `(b_n)` charakteryzuje w pewien sposób każdego `(a_n)`. Więc wystarczy, że każdemu `b_n` przypiszemy "odpowiadający" mu `a_n` i mamy odwzorowanie 1-1. Zatem ciągów malejących musi być co najmniej tyle ile ciągów b, czyli continuum. Teraz ok?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17550
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: a4karo » 19 sty 2020, o 17:35

W zasadzie tak, choć dla formalności jakiś rachunek pokazujący różnowartościowość by się przydał

Nuna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 40
Rejestracja: 7 gru 2019, o 19:36
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 17 razy

Re: Moc zbioru funkcji malejących

Post autor: Nuna » 19 sty 2020, o 17:36

To już się pobawię na papierze :) Dziękuję bardzo za wskazówki.

ODPOWIEDZ