Czy każdy zbiór ma nadzbiór właściwy?
: 19 sty 2020, o 00:45
Czy każdy zbiór ma nadzbiór właściwy? Odpowiedź brzmi zapewne "tak". Zakładam, że można to łatwo pokazać za pomocą mocy zbiorów i wiedzy o tym, że jest nieskończenie wiele mocy zbiorów. Pytanie czy mogę znaleźć odpowiedź bazując jedynie na podstawach naiwnej teorii mnogości bez definicji o równoliczności? Być może tak, ale to będzie chyba nietrywialne? Nie przychodzi mi w chwili obecnej nic do głowy.
A może wystarczy skorzystać z tego, że nie ma zbioru wszystkich zbiorów?
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym zbiorem. Istnieje zbiór \(\displaystyle{ X}\), który nie jest elementem \(\displaystyle{ A}\), bo inaczej \(\displaystyle{ A}\) byłby zbiorem wszystkich zbiorów co nie jest możliwe. Ustalmy \(\displaystyle{ B := A \cup \{X\}}\). Zatem \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) (łatwe do pokazania) oraz \(\displaystyle{ A \not = B}\), bo \(\displaystyle{ X \notin A}\) co było do udownienia.
Chyba się udało.
A może wystarczy skorzystać z tego, że nie ma zbioru wszystkich zbiorów?
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie dowolnym zbiorem. Istnieje zbiór \(\displaystyle{ X}\), który nie jest elementem \(\displaystyle{ A}\), bo inaczej \(\displaystyle{ A}\) byłby zbiorem wszystkich zbiorów co nie jest możliwe. Ustalmy \(\displaystyle{ B := A \cup \{X\}}\). Zatem \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) (łatwe do pokazania) oraz \(\displaystyle{ A \not = B}\), bo \(\displaystyle{ X \notin A}\) co było do udownienia.
Chyba się udało.