Strona 1 z 1
Dowody zbiorów
: 16 sty 2020, o 19:26
autor: vaker2001
Witam, jutro mam kolokwium poprawkowe z Logiki i Teorii Mnogości, część dotyczącą logiki umiem zrobić, jednak dowodzenie zadań mi nie wychodzi.
Największy kłopot mam z tymi zadaniami:
1.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ A \cap B}\) jest największym zbiorem zawartym jednocześnie w \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). to znaczy, że każdy zbiór zawarty w \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) jest zawarty jednocześnie w \(\displaystyle{ A \cap B}\).
Próbowałem to zapisać w ten sposób, jednak jest on chyba błędny: \(\displaystyle{ A \cap B \Leftrightarrow A \cup B}\)
Trzeba to udowodnić stawiając tezę i założenie oraz że lewa strona jest równa prawej i na odwrót.
2.
Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ X,Y,A,B}\):
\(\displaystyle{ (X \cap Y = \emptyset \vee A \cap B = \emptyset) \Rightarrow (X \times A) \cap (Y \times B) = \emptyset}\)
Tego zadania nie potrafię zrobić. Trzeba je udowodnić w ten sam sposób co poprzednie.
Re: Dowody zbiorów
: 16 sty 2020, o 20:13
autor: Jan Kraszewski
vaker2001 pisze: ↑16 sty 2020, o 19:26Próbowałem to zapisać w ten sposób, jednak jest on chyba błędny:
\(\displaystyle{ A \cap B \Leftrightarrow A \cup B}\)
Tak, to nie ma sensu. Jest zarówno niepoprawne formalnie, jak i nie ma żadnego związku z zadaniem.
vaker2001 pisze: ↑16 sty 2020, o 19:26Trzeba to udowodnić stawiając tezę i założenie oraz że lewa strona jest równa prawej i na odwrót.
A skąd. Wcale nie to trzeba zrobić.
Przede wszystkim trzeba zrozumieć zadanie.
Masz pokazać, że
\(\displaystyle{ A \cap B \subseteq A, A \cap B \subseteq B}\) oraz dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ C}\) takiego, że
\(\displaystyle{ C \subseteq A}\) i
\(\displaystyle{ C \subseteq B}\) mamy
\(\displaystyle{ C \subseteq A \cap B}\).
vaker2001 pisze: ↑16 sty 2020, o 19:26Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów
\(\displaystyle{ X,Y,A,B}\):
\(\displaystyle{ (X \cap Y = \emptyset \vee A \cap B = \emptyset) \Rightarrow (X \times A) \cap (Y \times B) = \emptyset}\)
Tego zadania nie potrafię zrobić. Trzeba je udowodnić w ten sam sposób co poprzednie.
Zdecydowanie nie w ten sam sposób, bo to zupełnie inne zadanie.
Najprościej udowodnić to twierdzenie nie wprost.
JK
Re: Dowody zbiorów
: 16 sty 2020, o 23:20
autor: vaker2001
Jan Kraszewski pisze: ↑16 sty 2020, o 20:13
Masz pokazać, że
\(\displaystyle{ A \cap B \subseteq A, A \cap B \subseteq B}\) oraz dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ C}\) takiego, że
\(\displaystyle{ C \subseteq A}\) i
\(\displaystyle{ C \subseteq B}\) mamy
\(\displaystyle{ C \subseteq A \cap B}\).
Jak to zapisać w jednej formule? W ten sposób?
\(\displaystyle{ (A \cap B \subseteq A \wedge A \cap B \subseteq B) \Leftrightarrow (C \subseteq A \wedge C \subseteq B \Rightarrow C \subseteq A \cap B)
}\)
Nie jestem pewien co do tej implikacji.
Jan Kraszewski pisze: ↑16 sty 2020, o 20:13
Najprościej udowodnić to twierdzenie nie wprost.
Mógłby pan pokazać na tym zadaniu jak wygląda taki dowód?
Re: Dowody zbiorów
: 16 sty 2020, o 23:26
autor: Jan Kraszewski
vaker2001 pisze: ↑16 sty 2020, o 23:20Jak to zapisać w jednej formule?
Tego NIE NALEŻY zapisywać w jednej formule, tylko dowieść. Masz do uzasadnienia trzy proste fakty:
1.
\(\displaystyle{ A \cap B \subseteq A,}\)
2.
\(\displaystyle{ A \cap B \subseteq B}\)
3. dla dowolnego zbioru
\(\displaystyle{ C}\) takiego, że
\(\displaystyle{ C \subseteq A}\) i
\(\displaystyle{ C \subseteq B}\) mamy
\(\displaystyle{ C \subseteq A \cap B}\).
A te uzasadnienia to nie są manipulacje znaczkami.
vaker2001 pisze: ↑16 sty 2020, o 23:20Jan Kraszewski pisze: ↑16 sty 2020, o 20:13
Najprościej udowodnić to twierdzenie nie wprost.
Czyli podstawić pod
\(\displaystyle{ A}\) np
\(\displaystyle{ \{1,2\}}\) itp?
No skąd. Żadnego podstawiania.
Wiesz w ogóle, co to jest i na czym polega "dowód nie wprost"? Po semestrze wykładu zdecydowanie powinieneś.
JK
Re: Dowody zbiorów
: 16 sty 2020, o 23:32
autor: vaker2001
Nie wiem na czym polega dowód nie wprost, nie było mnie na tych zajęciach z przyczyn na które nie miałem wpływu, próbowałem coś zrozumieć z notatek ale nie jestem w stanie tego się nauczyć. Jeżeli ma pan czas to prosiłbym o zrobienie takiego dowodu nie wprost, wtedy wydedukuję jak taki dowód przeprowadzić.
Re: Dowody zbiorów
: 17 sty 2020, o 00:08
autor: Jan Kraszewski
vaker2001 pisze: ↑16 sty 2020, o 23:32Jeżeli ma pan czas to prosiłbym o zrobienie takiego dowodu nie wprost, wtedy wydedukuję jak taki dowód przeprowadzić.
Słabo to widzę, ale dobrze.
Dowód nie wprost polega na przypuszczeniu fałszywości tezy i dojściu do sprzeczności (często jest to sprzeczność z założeniami, ale nie zawsze). Otrzymana sprzeczność świadczy o tym, że przypuszczenie o fałszywości tezy było nieuprawnione, zatem teza jest prawdziwa. Żeby poprawnie przeprowadzić dowód nie wprost należy umieć zidentyfikować tezę, umieć ją zaprzeczyć i umieć poprawnie wnioskować.
vaker2001 pisze: ↑16 sty 2020, o 19:26Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów
\(\displaystyle{ X,Y,A,B}\):
\(\displaystyle{ \blue{(X \cap Y = \emptyset \vee A \cap B = \emptyset)} \Rightarrow \red{(X \times A) \cap (Y \times B) = \emptyset}}\)
(to
czerwone to teza Twojego twierdzenia, natomiast na
niebiesko masz założenia)
Przypuśćmy nie wprost, że
\(\displaystyle{ (X \times A) \cap (Y \times B) \ne \emptyset}\). Oznacza to, że istnieje para uporządkowana
\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle\in (X \times A) \cap (Y \times B)}\) (bo tak się składa, że mamy tu do czynienia ze zbiorami par uporządkowanych). Z def. przekroju zbiorów oznacza to, że
\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle\in X \times A}\) i
\(\displaystyle{ \left\langle x,y\right\rangle\in Y \times B}\). Korzystając dwukrotnie z def. iloczynu kartezjańskiego otrzymujemy
\(\displaystyle{ x\in X}\) i
\(\displaystyle{ y\in A}\) i
\(\displaystyle{ x\in Y}\) i
\(\displaystyle{ y\in B}\). Wobec tego
\(\displaystyle{ x\in X\cap Y}\) i
\(\displaystyle{ y\in A\cap B}\), co oznacza, że
\(\displaystyle{ X\cap Y \ne \emptyset}\) i
\(\displaystyle{ A\cap B \ne \emptyset}\). Ale to jest sprzeczne z założeniem
\(\displaystyle{ (X \cap Y = \emptyset \vee A \cap B = \emptyset)}\). Otrzymana sprzeczność kończy dowód twierdzenia.
JK