Jan Kraszewski pisze: ↑16 sty 2020, o 20:19
matmatmm pisze: ↑16 sty 2020, o 19:34Zadziała też argument miarowy:
No ale to trochę strzelanie do komara z armaty.
Podobnie ktoś na tym forum kiedyś argumentował, że zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny, gdyż gdyby był przeliczalny, to miałby miarę Lebesgue'a zero.
Uprośćmy trochę sytuację. Rozważmy argument:
Przedział
\(\displaystyle{ [0,1]}\) jest nieprzeliczalny, gdyż ma miarę Lebesgue'a większą od zera (a każdy zbiór przeliczalny ma miarę Lebesgue'a zero).
Ten dowód wykorzystuje własności miary Lebesgue'a, przypuszczalnie m.in. nieprzeliczalność
\(\displaystyle{ [0,1]}\) (implicite). Implicite zawiera przekątniowy argument Cantora. Więc dowód miarowy nieprzeliczalności
\(\displaystyle{ \mathbb R}\) jest to dowód "naokoło", ukrywający istotę rzeczy.
Ćwiczenie: Spróbować przeprowadzić konstrukcję miary Lebesguę'a dla zbioru liczb wymiernych. On nie jest zupełny w sensie Dedekinda, zaś
\(\displaystyle{ \mathbb R}\) jest. To ta cecha
\(\displaystyle{ \mathbb R}\) odpowiada za to, że miara
\(\displaystyle{ [0,1]}\) jest większa od zera.
Warto dokładnie uświadomić sobie, jak w konstrukcji miary Lebesgue'a (a w szczególności w dowodzie tego, że miara
\(\displaystyle{ [0,1]}\) jest większa od zera) używamy zupełności
\(\displaystyle{ \mathbb R}\) (a więc faktycznie jego nieprzeliczalności).
Oczywiście, w potocznych matematycznych rozumowaniach tego typu argument bywa akceptowany, gdyż jeśli dla kogoś własności miary Lebesgue'a
są bardziej podstawowe niż pojecie (nie)przeliczalności, to w naturalny sposób korzysta z nich w dowodzie nieprzeliczalności zbioru liczb rzeczywistych.
Dodano po 10 minutach 5 sekundach:
Dasio11 pisze: ↑16 sty 2020, o 23:11
To nie uzasadnia, że
W przypadku potocznych dowodów matematycznych zwykle pomijane są oczywiste szczegóły. To, czy szczegół jest oczywisty, jest względne. A zatem w tych przypadkach względne jest również to, czy dany argument jest uzasadnieniem tezy.