Relacja w zbiorze

[sobek34]

W zbiorze liczb rzeczywistych określono relacje \(\displaystyle{ R}\) warunkową \(\displaystyle{ xRy}\) wtw gdy \(\displaystyle{ x-y <0}\)
1) które z następujących par są w tej relacji
a) \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2} + \frac{1}{2} , \sqrt{2}\right) }\)
b) \(\displaystyle{ \left( \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}\right) }\)
2) Zbadać czy \(\displaystyle{ R}\) jest relacją równoważność
3)Jeśli jest to relacja równoważność to wyznacz klasę \(\displaystyle{ \left[ \sqrt{2}\right] }\)
Proszę o rozwiązanie i wyjaśnienie ponieważ nie wiem za bardzo jak sie do tego zabrać ?
Prosiłbym także o jakieś dobre źródło do nauki tego typu zadań

[terefere123]

1)
Para \(\displaystyle{ (x, y)}\) jest w relacji wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x - y < 0}\)
Jeśli \(\displaystyle{ ( \sqrt{2}+ \frac{1}{2} , \sqrt2)}\) jest w relacji to znaczy, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}+ \frac{1}{2} - \sqrt2 < 0}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2} < 0}\) a to nieprawda czyli nie należy do tej relacji.

2)
Żeby sprawdzić czy relacja jest relacją równoważności trzeba sprawdzić czy ma cechy takiej relacji, czyli czy jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Sprawdzamy zwrotność czyli, że każda para \(\displaystyle{ (x,x) \in \RR \times \RR}\) jest w relacji. Czyli \(\displaystyle{ x - x < 0}\) a to nieprawda czyli relacja nie jest relacją równoważności.

[Jan Kraszewski]

Najprościej zauważyć, że relacja \(\displaystyle{ R}\) to po prostu relacja ostrej mniejszości na liczbach rzeczywistych.

JK