Matematyka.pl

Niech dany będzie zbiór \(\displaystyle{ X}\). Który z podanych poniżej zbiorów jest przeliczalny?
\(\displaystyle{ X=\lbrace x \in \RR : x ^{2} -x=0 \rbrace \\
A.\ X^{\NN} \\
B.\ \NN^{X}\\
C.\ P(X \cap \NN)\\
D.\ P(X \setminus \NN)}\)

Zacznij od wyznaczenia \(\displaystyle{ X}\) w jawnej postaci przez podanie jego elementów, potem zastanów się czym są zbioru a każdego podpunktu
Wskazówka:
\(\displaystyle{ 1)}\) Zbiór \(\displaystyle{ X^{\NN}}\) to zbiór nieskończonych ciągów złożonych z \(\displaystyle{ 0}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\). Każdą liczbę z \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) można zapisać binarnie.
\(\displaystyle{ 2)}\) zbiór \(\displaystyle{ X \cap \NN}\) jest skończony więc \(\displaystyle{ \mathcal{P}\left( X \cap \NN \right) }\) jaki jest?
\(\displaystyle{ 3)}\) Czym jest zbiór \(\displaystyle{ X \setminus \NN}\)? Więc czym jest \(\displaystyle{ \mathcal{P}\left( X \setminus \NN \right) }\)

Należałoby jeszcze sprecyzować, która definicja słowa "przeliczalność" jest tu używana.

JK

Definicja: zbiór jest przeliczalny jesli jest skończony lub równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.
Czyli \(\displaystyle{ X=\{0,1\}}\)
\(\displaystyle{ 1) \ \left\{ 0,1\right\} ^\NN}\) nie jest równoliczny \(\displaystyle{ \NN}\) więc odpada
\(\displaystyle{ 2)\ P(X \cap \NN) }\) tez jest skończony czyli jest przeliczalny
\(\displaystyle{ 3)\ X \setminus \NN }\) to zbiór pusty, więc \(\displaystyle{ P(X \setminus \NN) }\) też jest pusty. Zbiór pusty nie jest skończony czyli nie jest przeliczalny
Tak?

wiktoriaziaja pisze: ↑10 sty 2020, o 22:13\(\displaystyle{ 1) \ \left\{ 0,1\right\} ^\NN}\) nie jest równoliczny \(\displaystyle{ \NN}\) więc odpada

Zgadza się (o ile nie musisz tego uzasadniać).

wiktoriaziaja pisze: ↑10 sty 2020, o 22:13\(\displaystyle{ 2)\ P(X \cap \NN) }\) tez jest skończony czyli jest przeliczalny

Zgadza się (mogłabyś nawet podać, ile ma elementów).

wiktoriaziaja pisze: ↑10 sty 2020, o 22:13\(\displaystyle{ 3)\ X \setminus \NN }\) to zbiór pusty, więc \(\displaystyle{ P(X \setminus \NN) }\) też jest pusty. Zbiór pusty nie jest skończony czyli nie jest przeliczalny

A tu napisałaś aż dwa bardzo nieprawdziwe stwierdzenia.
Po pierwsze, zbiór \(\displaystyle{ P(\emptyset)}\) zdecydowanie nie jest pusty.
Po drugie, zbiór pusty ma zero elementów, więc jak najbardziej jest skończony.

No i masz jeszcze niezrobiony podpunkt B.

JK

W \(\displaystyle{ B}\) są to wszystkie nieskończone ciągi \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \NN}\)

3) \(\displaystyle{ P(X \setminus N)=\left\{ \emptyset \right\}}\)
Mialam chyba złą definicję zbioru skończonego. Czyli B nie jest przeliczalny. A w D: \(\displaystyle{ P(X\setminus\NN)}\) też jest skończony ??

wiktoriaziaja pisze: ↑10 sty 2020, o 22:50W \(\displaystyle{ B}\) są to wszystkie nieskończone ciągi \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \NN}\)

To niestety nie ma sensu - zupełnie nie rozumiesz tego co piszesz. Jak możesz mówić o nieskończonych ciągach, skoro są to funkcje o dwuelementowej dziedzinie?

wiktoriaziaja pisze: ↑10 sty 2020, o 22:50Czyli B nie jest przeliczalny.

Pomyśl jeszcze o tym przykładzie.

wiktoriaziaja pisze: ↑10 sty 2020, o 22:50Mialam chyba złą definicję zbioru skończonego.

To znaczy jaką?

wiktoriaziaja pisze: ↑10 sty 2020, o 22:503) \(\displaystyle{ P(X \setminus N)=\left\{ \emptyset \right\}}\)

A w D: \(\displaystyle{ P(X\setminus\NN)}\) też jest skończony ??

Zastanawiasz się, czy zbiór \(\displaystyle{ \left\{ \emptyset \right\}}\) jest skończony?

JK

Rzeczywiście w B będzie \(\displaystyle{ \left\{ f:X \rightarrow \mathbb{N} \right\} }\) nie ciągi tylko funkcje. W definicji miałam, że zbior \(\displaystyle{ A}\) jest skończony gdy jest niepusty lub istnieje taka liczba \(\displaystyle{ n>0}\), że \(\displaystyle{ A \sim\{0,1,...n\}}\)

wiktoriaziaja pisze: ↑10 sty 2020, o 23:28Rzeczywiście w B będzie \(\displaystyle{ \left\{ f:X \rightarrow \mathbb{N} \right\} }\) nie ciągi tylko funkcje.

Pomijając niepoprawny zapis tego zbioru (oraz fakt, że ciągi to też funkcje...), to istotnie jest to zbiór funkcji z \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ \NN}\). Jaka zatem jest jego moc?

wiktoriaziaja pisze: ↑10 sty 2020, o 23:28W definicji miałam, że zbior \(\displaystyle{ A}\) jest skończony gdy jest niepusty lub istnieje taka liczba \(\displaystyle{ n>0}\), że \(\displaystyle{ A \sim\{\red{0},1,...n\}}\).

Na pewno tak nie miałaś, bo taka "definicja" jest zupełnie bez sensu - zgodnie z nią jedynym nieskończonym zbiorem jest zbiór pusty... Poza tym jest jeszcze jeden błąd, bo gubisz zbiory jednoelementowe

Definicja brzmi tak:

Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończony gdy jest pusty lub istnieje taka liczba \(\displaystyle{ n>0}\), że \(\displaystyle{ A \sim\{1,...n\}}\).

JK