Dowód - moce

[terefere123]

Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ \left| A\right| =\left| B\right| }\) to \(\displaystyle{ \left| Sym(A)\right| = \left| Sym(B)\right| }\)
\(\displaystyle{ Sym(A)}\) to zbiór permutacji \(\displaystyle{ A}\)

Moja próba:

Ukryta treść:    

Z \(\displaystyle{ \left| A\right| =\left| B\right| }\) wiemy, że istnieje funkcja
\(\displaystyle{ f}\): \(\displaystyle{ A \rightarrow B}\) która jest bijekcją.

Oznaczenie: \(\displaystyle{ Bij(X, Y)}\) to zbiór wszystkich bijekcji z \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ Y}\)
\(\displaystyle{ Sym(A) = Bij(A, A)}\)

Weźmy dow. \(\displaystyle{ g \in Bij(A,A)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f\circ g}\) to bijekcja z \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ B}\) (złożenie bijekcji jest bijekcją)
Zatem możemy stworzyć taką funkcje \(\displaystyle{ h}\) gdzie
\(\displaystyle{ h}\): \(\displaystyle{ Bij(A, A) \rightarrow Bij(A, B)}\) która jest bijekcją.
\(\displaystyle{ h(g) = f \circ g}\)
Czyli \(\displaystyle{ \left| Bij(A,A)\right| = \left| Bij(A,B)\right| }\)

Bierzemy teraz dow. bijekcje \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ Bij(A,B)}\)
Mamy, że \(\displaystyle{ f^{-1}}\): \(\displaystyle{ B \rightarrow A}\) (bijekcja)
I jeśli złożymy \(\displaystyle{ x \circ f^{-1}}\) otrzymamy bijekcje z B w B
Więc znów możemy stworzyć funkcje \(\displaystyle{ k}\) taką, że
\(\displaystyle{ k}\): \(\displaystyle{ Bij(A, B) \rightarrow Bij(B,B)}\) (też bijekcja)
\(\displaystyle{ k(x) = x \circ f^{-1} }\)
A więc \(\displaystyle{ \left| Bij(A,B)\right| = \left| Bij(B,B)\right| }\)

\(\displaystyle{ \left| Bij(A,A)\right| = \left| Bij(A,B)\right| = \left| Bij(B,B)\right| }\)
\(\displaystyle{ \left| Bij(A,A)\right| = \left| Bij(B,B)\right| }\)

Prosiłbym o sprawdzenie mojej próby i jeśli jest jakaś lepsza droga to prosiłbym o jej pokazanie. Dziękuje.

[Jan Kraszewski]

Dobrze, ale zamiast na raty prościej byłoby zrobić to za jednym zamachem.

JK

[terefere123]

Znalazłem mały błąd u siebie, w sensie pomyliłem kolejność \(\displaystyle{ x \circ f^{-1}}\) ale już poprawione.

Dobrze, ale zamiast na raty prościej byłoby zrobić to za jednym zamachem.

Za jednym zamachem tzn. stworzyć od razu taką bijekcje \(\displaystyle{ h(g) = f \circ g \circ f^{-1}}\): \(\displaystyle{ Bij(A,A) \rightarrow Bij(B, B)}\), tak?

[Jan Kraszewski]

Tak.

Oczywiście wypadałoby jeszcze dodać dowód, że \(h\) jest bijekcją (bądź odpowiednie dwie funkcje w pierwszym dowodzie są bijekcjami), bo na razie tylko stwierdziłeś, że są, bez żadnego uzasadnienia.

JK