Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
Pokaż, że jeśli \(\displaystyle{ \left| A\right| =\left| B\right| }\) to \(\displaystyle{ \left| Sym(A)\right| = \left| Sym(B)\right| }\) \(\displaystyle{ Sym(A)}\) to zbiór permutacji \(\displaystyle{ A}\)
Moja próba:
Ukryta treść:
Z \(\displaystyle{ \left| A\right| =\left| B\right| }\) wiemy, że istnieje funkcja \(\displaystyle{ f}\): \(\displaystyle{ A \rightarrow B}\) która jest bijekcją.
Oznaczenie: \(\displaystyle{ Bij(X, Y)}\) to zbiór wszystkich bijekcji z \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ Y}\) \(\displaystyle{ Sym(A) = Bij(A, A)}\)
Weźmy dow. \(\displaystyle{ g \in Bij(A,A)}\)
Wtedy \(\displaystyle{ f\circ g}\) to bijekcja z \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ B}\) (złożenie bijekcji jest bijekcją)
Zatem możemy stworzyć taką funkcje \(\displaystyle{ h}\) gdzie \(\displaystyle{ h}\): \(\displaystyle{ Bij(A, A) \rightarrow Bij(A, B)}\) która jest bijekcją. \(\displaystyle{ h(g) = f \circ g}\)
Czyli \(\displaystyle{ \left| Bij(A,A)\right| = \left| Bij(A,B)\right| }\)
Bierzemy teraz dow. bijekcje \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ Bij(A,B)}\)
Mamy, że \(\displaystyle{ f^{-1}}\): \(\displaystyle{ B \rightarrow A}\) (bijekcja)
I jeśli złożymy \(\displaystyle{ x \circ f^{-1}}\) otrzymamy bijekcje z B w B
Więc znów możemy stworzyć funkcje \(\displaystyle{ k}\) taką, że \(\displaystyle{ k}\): \(\displaystyle{ Bij(A, B) \rightarrow Bij(B,B)}\) (też bijekcja) \(\displaystyle{ k(x) = x \circ f^{-1} }\)
A więc \(\displaystyle{ \left| Bij(A,B)\right| = \left| Bij(B,B)\right| }\)
Prosiłbym o sprawdzenie mojej próby i jeśli jest jakaś lepsza droga to prosiłbym o jej pokazanie. Dziękuje.
Re: Dowód - moce
: 3 sty 2020, o 15:07
autor: Jan Kraszewski
Dobrze, ale zamiast na raty prościej byłoby zrobić to za jednym zamachem.
JK
Re: Dowód - moce
: 3 sty 2020, o 15:23
autor: terefere123
Znalazłem mały błąd u siebie, w sensie pomyliłem kolejność \(\displaystyle{ x \circ f^{-1}}\) ale już poprawione.
Jan Kraszewski pisze: ↑3 sty 2020, o 15:07
Dobrze, ale zamiast na raty prościej byłoby zrobić to za jednym zamachem.
Za jednym zamachem tzn. stworzyć od razu taką bijekcje \(\displaystyle{ h(g) = f \circ g \circ f^{-1}}\): \(\displaystyle{ Bij(A,A) \rightarrow Bij(B, B)}\), tak?
Re: Dowód - moce
: 3 sty 2020, o 16:05
autor: Jan Kraszewski
Tak.
Oczywiście wypadałoby jeszcze dodać dowód, że \(h\) jest bijekcją (bądź odpowiednie dwie funkcje w pierwszym dowodzie są bijekcjami), bo na razie tylko stwierdziłeś, że są, bez żadnego uzasadnienia.