Sprawdzić czy zachodzi równość

[zdl]

Sprawdzić czy dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mamy \(\displaystyle{ P(A \times B) = P(A) \times P(B)}\).

Niech \(\displaystyle{ A=B=\emptyset}\). Wtedy \(\displaystyle{ A}\) składa się ze zbioru mającego jeden element - zbiór pusty. Natomiast \(\displaystyle{ B}\) składa się ze bioru mającego jeden element - uporządkowaną parę, której składowe to zbiory puste. Zatem zbiory nie są równe.

A więc rozumiem, że te \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mają tak jakby inną naturę?

(Czy jest jakiś skrót dla zapisu tagów latex? Długo zajmuje wpisywanie tego.)

Dodano po 1 minucie 23 sekundach:
Czy formalnie rzecz biorąc nie powininem jeszcze udowodnić za pomocą np. definicji Kuratowskiego, że para zbiorów pustych nie jest równa zbiorowi pustemu? Bo w sumie niejawnie to założyłem, a nie wiem czy mogę tak robić.

Dodano po 4 minutach 23 sekundach:
Czyli według Kuratowskiego \(\displaystyle{ B}\) składa się z jednego elementu - \(\displaystyle{ \{\{ \emptyset \}\}}\), a więc ten element nie jest równy zbiorowi pustemu co wzmacnia mój dowód o nierówności \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ P(A \times B) = P(A) \times P(B)}\) równość ta nie zachodzi z wielu względów, choćby dlatego, że zbiory po dwóch stronach równości mają różną ilość elementów (czyli warunek konieczny nie jest spełniony).

\(\displaystyle{ \left| P(A \times B)\right|=2^{\left| A\right| \cdot \left| B\right| } }\)

\(\displaystyle{ \left| P(A) \times P(B)\right|=2^{\left| A\right|+\left| B\right| } }\)

wszak zwykle nie zachodzi \(\displaystyle{ xy=x+y}\)

[krl]

Zasadniczo Twoje rozumowanie/rozwiązanie jest poprawne, jednak jest chaotyczne i z błędami w zapisie. Np. \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) zmieniają znaczenie w trakcie rozwiązania. Te błędy wynikają stąd, że ono jest zbyt mało szczegółowe. Na kolokwium dostałbyś za nie zero punktów. tagi latexa: użyj pełnego edytora.

[Jan Kraszewski]

Sprawdzić czy dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mamy \(\displaystyle{ P(A \times B) = P(A) \times P(B)}\).

Niech \(\displaystyle{ A=B=\emptyset}\). Wtedy \(\displaystyle{ A}\) składa się ze zbioru mającego jeden element - zbiór pusty. Natomiast \(\displaystyle{ B}\) składa się ze zbioru mającego jeden element - uporządkowaną parę, której składowe to zbiory puste. Zatem zbiory nie są równe.

Chyba coś Ci się oznaczenia pomerdały, Ale przykład jest dobry, istotnie

\(\displaystyle{ P(A \times B) =\{\emptyset\}\ne\{\left\langle \emptyset,\emptyset\right\rangle \}= P(A) \times P(B).}\)

A więc rozumiem, że te \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mają tak jakby inną naturę?

Jeżeli pisząc "te \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mają tak jakby inną naturę" masz na myśli zbiory \(\displaystyle{ P(A \times B)}\) i \(\displaystyle{ P(A) \times P(B)}\), to możesz tak myśleć - elementem jednego jest zbiór, a drugiego para uporządkowana.

(Czy jest jakiś skrót dla zapisu tagów latex? Długo zajmuje wpisywanie tego.)

Nad polem edycji masz przycisk latex, który dodaje tagi.

Czy formalnie rzecz biorąc nie powininem jeszcze udowodnić za pomocą np. definicji Kuratowskiego, że para zbiorów pustych nie jest równa zbiorowi pustemu? Bo w sumie niejawnie to założyłem, a nie wiem czy mogę tak robić.

Jak dla mnie nie (ale nie wiem, co jest wymagane od Ciebie). Uważam, że pokazywanie def. Kuratowskiego na wykładzie ze Wstępu do matematyki jest zbędne.

Czyli według Kuratowskiego \(\displaystyle{ B}\) składa się z jednego elementu - \(\displaystyle{ \{\{ \emptyset \}\}}\), a więc ten element nie jest równy zbiorowi pustemu co wzmacnia mój dowód o nierówności \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\).

I znów mylisz oznaczenia, ale poza tym OK.

JK

[zdl]

Racja, pomieszałęm zbiór potęgowy ze zbiorem "zwykłym", ale miałem na myśli to poprawne. Poza tym nie chciałem tutaj przeprowadzać "czystego" dowodu, tylko odnieść się do wybranego przeze mnie kontrprzykładu.

Dziękuję.

Dodano po 5 minutach 54 sekundach:
@Jan Kraszewski: Chyba zapomniał pan o ogranicznikach. Nowe forum - LaTeX

Test1 $$A \cap $$B

Test2 \(A \cup B\)

Test3

$$A \cap B$$