Relacje.

[colma]

Dzień dobry,

Mam kilka zadań do przerobienia, jednak nie mam załączonych odpowiedzi. Prosiłbym o pomoc w znalezieniu poprawnych.


1. Wskaż zdanie prawdziwe
a) Ten sam element zbioru częściowo uporządkowanego może być jednocześnie elementem minimalnym i maksymalnym.
b) Zbiór częściowo uporządkowany może mieć co najwyżej jeden element maksymalny.
c) Każdy skończony zbiór uporządkowany ma dokładnie jeden element maksymalny i dokładnie jeden element minimalny.
d) Jeżeli zbiór jest uporządkowany i nieskończony, to nie posiada elementów maksymalnych.

2. Niech r będzie relacją porządku określoną w zbiorze liczb naturalnych następująco: \(\displaystyle{ x \; r \; y \iff x \text{ jest dzielnikiem } y}\). Które z wymienionych zdań nie jest prawdziwe?
a) Kresem górnym zbioru \(\displaystyle{ \{ 2k: k<16 \}}\) jest liczba \(\displaystyle{ 31}\).
b) Każdy skończony podzbiór zbioru liczb naturalnych ma w sensie relacji \(\displaystyle{ r}\) kres górny
c) Kresem górnym zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,3,4,5\}}\) jest liczba \(\displaystyle{ 60}\).
d) Ograniczeniem dolnym zbioru \(\displaystyle{ \{6,9,27\}}\) są liczby \(\displaystyle{ 1,3}\).

3. Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ A = \{\{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}, \{2, 4\}, \{3, 4\}, \{1, 2, 4\}, \{2, 3, 4\}\}}\) uporządkowany przez relację zawierania. Wskaż zdania prawdziwe.
a)Kresem górnym zbioru \(\displaystyle{ \{\{1, 2, 4\}, \{2, 3, 4\}\}}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \{1,2,3,4\}}\)
b)Elementem najmniejszym w tym zbiorze jest \(\displaystyle{ \{1\}}\)
c)Ograniczeniami górnymi zbioru \(\displaystyle{ \{\{2\}, \{4\}\}}\) są zbiory \(\displaystyle{ \{1,2,4\}}\) i \(\displaystyle{ \{2,4\}}\)
d)Kresem dolnym zbioru \(\displaystyle{ \{\{2\}, \{4\}\}}\) jest \(\displaystyle{ \{2\}}\).

4. Wskaż relację, która jest częściowym porządkiem.
Relacja pełna w zbiorze liczb rzeczywistych.
Relacja r w zbiorze \(\displaystyle{ P(X)}\), taka że\(\displaystyle{ A \; r \; B \iff A+B =B}\) dla dowolnych podzbiorów \(\displaystyle{ A, B}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\).
Relacja \(\displaystyle{ r= \{(x,y): x \cdot x = y \cdot y \text{ oraz } x,y \text{ są liczbami rzeczywistymi} \}}\)
Relacja \(\displaystyle{ r}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \{0,1,2,3,4,5\}}\), taka że \(\displaystyle{ (i, j) \in r \iff j=(i+1) \bmod 6}\).

5. Niech \(\displaystyle{ d(n)}\) będzie liczbą różnych dzielników pierwszych liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\). W zbiorze\(\displaystyle{ \NN \setminus \{0,1\}}\) określamy relację \(\displaystyle{ r}\) wzorem: \(\displaystyle{ x \; r \; y \iff d(x)<d(y) \text{ lub } ( d(x) = d(y) \text{ i } x y)}\). Wskaż zdania prawdziwe.
a) Elementem najmniejszym w zbiorze \(\displaystyle{ \NN \setminus \{0,1\}}\) uporządkowanym przez relację \(\displaystyle{ r}\) jest liczba \(\displaystyle{ 2}\).
b) W zbiorze \(\displaystyle{ \NN \setminus \{0,1\}}\) uporządkowanym przez relację \(\displaystyle{ r}\) nie ma elementów minimalnych.
c) W zbiorze \(\displaystyle{ \NN \setminus \{0,1\}}\) uporządkowanym przez relację \(\displaystyle{ r}\) są \(\displaystyle{ 3}\) elementy maksymalne.
d) Relacja \(\displaystyle{ r}\) częściowo porządkuje zbiór \(\displaystyle{ \NN \setminus \{0,1\}}\).

[a4karo]

Popraw \(\LaTeX{a}\).

Pokażesz jakieś swoje próby rozwiązania?

[colma]

Oczywiście, wrzucam poniżej.
1) A, D
2) A, B
3) A, C, D
4) A, B,C
5) Tutaj nawet nie próbowałem strzelać, bo nie do końca rozumiem pytanie.

[Jan Kraszewski]

1) A, D

Tylko A.

2) A, B

Tylko A.

3) A, C, D

Tylko A i C (przy czym podane w C ograniczenia to nie są jedyne ograniczenia).

4) A, B,C

Tylko B (pod warunkiem, że chodziło o \(\displaystyle{ A\cup B=B}\)).

5) Tutaj nawet nie próbowałem strzelać, bo nie do końca rozumiem pytanie.

Po pierwsze źle przepisałeś definicję relacji: \(\displaystyle{ x \; r \; y \iff d(x)<d(y) \text{ lub } ( d(x) = d(y) \text{ i } x \red{??} y}\). Po drugie, czego nie rozumiesz?

JK