Suma uogólniona

[p13]

Mam pytanie odnośnie tej sumy uogólnionej:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{3}{n} ; \frac{4}{n} \right] \wedge n \in N }\)

Czy jej wynikiem będzie para liczb \(\displaystyle{ \left\{ 3, 4 \right\} }\)?
Liczę na jakieś wskazówki, bo nie do końca łapię ten temat.
Z góry dziękuję.

[Dasio11]

Nie. Ta suma uogólniona składa się dokładnie z tych liczb rzeczywistych, które należą do przynajmniej jednego przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right]}\). Liczba \(\displaystyle{ \frac{3}{5}}\) należy do przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right]}\), zatem należy do sumy uogólnionej. Dlatego ta suma nie wynosi \(\displaystyle{ \{ 3, 4 \}}\).

[p13]

Zapomniałem dodać, że \(\displaystyle{ n \in N}\).
Nie do końca rozumiem, \(\displaystyle{ \{ 3, 4 \}}\) mam traktować jako przedział?

Dodano po 17 minutach 56 sekundach:
W takim razie ta suma to 2? Bo jakby podstawić 2, to mamy: 1,5 i 2, więc 2 załapie się do tego przedziału...?

[Dasio11]

Zapis \(\displaystyle{ \{ 3, 4 \}}\) oznacza zbiór składający się z dwóch elementów: \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\). Ten zbiór nie jest przedziałem.

W takim razie ta suma to 2?

Co przez to rozumiesz? Powtórzę: powyższa suma uogólniona jest zbiorem składającym się z tych liczb rzeczywistych, które należą do przynajmniej jednego przedziału postaci \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\).

Przykładowo: wszystkie liczby z przedziału \(\displaystyle{ [3, 4]}\) są elementami sumy uogólnionej, bo należą do przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right]}\) dla \(\displaystyle{ n = 1}\). Wszystkie liczby z przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{2}, 2 \right]}\) są elementami sumy uogólnionej, bo należą do przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right]}\) dla \(\displaystyle{ n = 2}\). Liczba \(\displaystyle{ 7}\) nie jest elementem sumy uogólnionej, bo nie ma takiej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), dla której liczba \(\displaystyle{ 7}\) należałaby do przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right]}\).

Niezbyt ściśle można by napisać tak:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right] = [3, 4] \cup \left[ \frac{3}{2}, 2 \right] \cup \left[ 1, \frac{4}{3} \right] \cup \left[ \frac{3}{4}, 1 \right] \cup \left[ \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right] \cup \ldots}\)

[p13]

Zapis \(\displaystyle{ \{ 3, 4 \}}\) oznacza zbiór składający się z dwóch elementów: \(\displaystyle{ 3}\) i \(\displaystyle{ 4}\). Ten zbiór nie jest przedziałem.

W takim razie ta suma to 2?

Co przez to rozumiesz? Powtórzę: powyższa suma uogólniona jest zbiorem składającym się z tych liczb rzeczywistych, które należą do przynajmniej jednego przedziału postaci \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right]}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\).

Przykładowo: wszystkie liczby z przedziału \(\displaystyle{ [3, 4]}\) są elementami sumy uogólnionej, bo należą do przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right]}\) dla \(\displaystyle{ n = 1}\). Wszystkie liczby z przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{2}, 2 \right]}\) są elementami sumy uogólnionej, bo należą do przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right]}\) dla \(\displaystyle{ n = 2}\). Liczba \(\displaystyle{ 7}\) nie jest elementem sumy uogólnionej, bo nie ma takiej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), dla której liczba \(\displaystyle{ 7}\) należałaby do przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right]}\).

Niezbyt ściśle można by napisać tak:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right] = [3, 4] \cup \left[ \frac{3}{2}, 2 \right] \cup \left[ 1, \frac{4}{3} \right] \cup \left[ \frac{3}{4}, 1 \right] \cup \left[ \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right] \cup \ldots}\)

A mógłbyś tak dokładnie to wytłumaczyć? O co chodzi w tej sumie. Nie rozumiem czemu 7 nie mieści się w przedziale, a np. 5 już tak...

[Jan Kraszewski]

A mógłbyś tak dokładnie to wytłumaczyć?

Trudno wytłumaczyć to dokładniej niż Dasio11.

Zrobiłeś rysunek?

O co chodzi w tej sumie.

A rozumiesz, o co chodzi w sumie dwóch zbiorów? Tutaj chodzi o dokładnie to samo, tylko zbiorów jest dużo więcej.

Nie rozumiem czemu 7 nie mieści się w przedziale, a np. 5 już tak...

Ani \(\displaystyle{ 7}\), ani \(\displaystyle{ 5}\) nie należy do tej sumy. Gdybyś zrobił rysunek, to może byś to zobaczył.

JK

[p13]

Ok, już zrozumiałem.
Mam tylko pytanie, czy mogę zostawić poniższy wynik:

Niezbyt ściśle można by napisać tak:

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{3}{n}, \frac{4}{n} \right] = [3, 4] \cup \left[ \frac{3}{2}, 2 \right] \cup \left[ 1, \frac{4}{3} \right] \cup \left[ \frac{3}{4}, 1 \right] \cup \left[ \frac{3}{5}, \frac{4}{5} \right] \cup \ldots}\)

Czy powinienem to jakoś inaczej zapisać?

[Dasio11]

Nawet jeśli pominąć fakt, że ten zapis jest nieścisły, to powinieneś zapisać wynik w jak najprostszej postaci, a powyższa zdecydowanie nią nie jest. Jeśli zapytałbym Cię teraz, czy liczba \(\displaystyle{ \frac{3}{17}}\) jest elementem takiej sumy, to prawdopodobnie nie wiedziałbyś. A gdy zapiszesz sumę w najprostszej postaci, to odpowiedź na to pytanie stanie się trywialna.

Przykładowo \(\displaystyle{ \left[ 1, \frac{4}{3} \right] \cup \left[ \frac{3}{4}, 1 \right]}\) można prościej zapisać jako \(\displaystyle{ \left[ \frac{3}{4}, \frac{4}{3} \right]}\).

[p13]

Dziękuję za wyjaśnienie i cierpliwość.

Dodano po 21 godzinach 11 minutach 3 sekundach:
Czy idąc za ciosem:

\(\displaystyle{ \cup r \in R \left\{ ( x_{1}, x_{2}) \in R^{2} : ( x_{1} - r )^{2} + (x_{2} + 2r ) ^{2} \le r^{2} +1 \right\} }\)

to będzie: \(\displaystyle{ \left\{ (1,1);(0,0);(0,z);(z;0)\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ z \in R}\) (dowolna rzeczywista)??

Dodano po 11 minutach 35 sekundach:
a w:

\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty } (\left[ 0, n \right] \cup [ n^{2} , \infty [,) }\) to będzie \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) ?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \cup r \in R \left\{ ( x_{1}, x_{2}) \in R^{2} : ( x_{1} - r )^{2} + (x_{2} + 2r ) ^{2} \le r^{2} +1 \right\} }\)

Co to jest?!

to będzie: \(\displaystyle{ \left\{ (1,1);(0,0);(0,z);(z;0)\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ z \in R}\) (dowolna rzeczywista)??

Co to jest??!!

Zapisz porządnie to zadanie.

\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty } (\left[ 0, n \right] \cup [ n^{2} , \infty [,) }\) to będzie \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) ?

Nie.

JK

[p13]

\(\displaystyle{ \cup r \in R \left\{ ( x_{1}, x_{2}) \in R^{2} : ( x_{1} - r )^{2} + (x_{2} + 2r ) ^{2} \le r^{2} +1 \right\} }\)

Co to jest?!

\(\displaystyle{ \bigcup_{r \in \RR}^{} \left\{ ( x_{1}, x_{2}) \in \RR^{2} : ( x_{1} - r )^{2} + (x_{2} + 2r ) ^{2} \le r^{2} +1 \right\} }\)

\(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^{ \infty } (\left[ 0, n \right] \cup [ n^{2} , \infty [,) }\) to będzie \(\displaystyle{ \left[ 0,1\right] }\) ?

Nie.

A faktycznie, czyli będzie to: \(\displaystyle{ ]0, \infty [ }\) ?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \bigcup_{r \in \RR}^{} \left\{ ( x_{1}, x_{2}) \in \RR^{2} : ( x_{1} - r )^{2} + (x_{2} + 2r ) ^{2} \le r^{2} +1 \right\} }\)

No i jak wg Ciebie wygląda odpowiedź?

A faktycznie, czyli będzie to: \(\displaystyle{ ]0, \infty [ }\) ?

To jest dużo gorsza odpowiedź niż poprzednia. Tamta miała jakiś związek z rzeczywistością (choć była zła), ta jest zupełnie oderwana od rzeczywistości.

JK

[p13]

\(\displaystyle{ \bigcup_{r \in \RR}^{} \left\{ ( x_{1}, x_{2}) \in \RR^{2} : ( x_{1} - r )^{2} + (x_{2} + 2r ) ^{2} \le r^{2} +1 \right\} }\)

No i jak wg Ciebie wygląda odpowiedź?

Przyznam szczerze, że nie wiem jak rozwiązać ten przykład. Próbowałem przenieść prawą stronę nierówności na lewo i próbować rozwiązać nierówność kwadratową (najpierw uznając r za niewiadomą, potem jeden z x-ów, ale nawet nie będę się bardziej pogrążał dodając to co mi powychodziło. Czy mógłbym liczyć na jakieś wskazówki ?

A faktycznie, czyli będzie to: \(\displaystyle{ ]0, \infty [ }\) ?

To jest dużo gorsza odpowiedź niż poprzednia. Tamta miała jakiś związek z rzeczywistością (choć była zła), ta jest zupełnie oderwana od rzeczywistości.

JK

Fakt, chyba myślałem o sumie... Ale nie rozumiem czemu pierwsza odpowiedź była błędna. Drugi składnik sumy chyba nic nie daje, bo \(\displaystyle{ n^{2} }\) dąży do \(\displaystyle{ \infty }\), także nigdy nie otrzymamy wspólnej części dla wszytkich n. Chyba, że chodzi o to, że przy zerze powinien być przedział zamknięty?

[Jan Kraszewski]

Przyznam szczerze, że nie wiem jak rozwiązać ten przykład. Próbowałem przenieść prawą stronę nierówności na lewo i próbować rozwiązać nierówność kwadratową (najpierw uznając r za niewiadomą, potem jeden z x-ów, ale nawet nie będę się bardziej pogrążał dodając to co mi powychodziło. Czy mógłbym liczyć na jakieś wskazówki ?

To nie jest proste zadanie, ale warto zawsze zacząć od zrozumienia, jakie zbiory sumujesz. Widzisz to?

Fakt, chyba myślałem o sumie... Ale nie rozumiem czemu pierwsza odpowiedź była błędna. Drugi składnik sumy chyba nic nie daje, bo \(\displaystyle{ n^{2} }\) dąży do \(\displaystyle{ \infty }\), także nigdy nie otrzymamy wspólnej części dla wszytkich n. Chyba, że chodzi o to, że przy zerze powinien być przedział zamknięty?

Zrobiłeś rysunek? Przecież podstawowa czynność przy rozwiązywaniu takiego zadania to zobaczenie ze trzech pierwszych zbiorów, a nie snucie przypuszczeń w stylu "Drugi składnik sumy chyba nic nie daje, bo \(\displaystyle{ n^{2} }\) dąży do \(\displaystyle{ \infty }\), także nigdy nie otrzymamy wspólnej części dla wszytkich n".

JK

[p13]

To może pokażę swój tok rozumowania, bo nie widzę swojego błędu.
dla n = 1 : iloczyn to zbiór liczb rzeczywistych dodatnich
dla n = 2: iloczyn to: \(\displaystyle{ \left\langle 0 ,1 \right\rangle \cup \left\langle 4, \infty \right ) }\)
dla n = 3: iloczyn to: \(\displaystyle{ \left\langle 0,1\right\rangle \cup \left\langle 9, \infty \right ) }\)

Nie wiem jak określić iloczyn uogólniony dla drugiego składnika sumy, kiedy lewa strona przedziału cały czas rośnie - rozumiem to tak, że z każdym następnym n przedział z drugiego składnika ograniczamy z lewej strony, ale nigdy nie określimy wspólnej części, gdyż jest ona w nieskończoności.