Obraz i przeciwobraz funkcji dwóch zmiennych

[Zdenerwowany Student]

Witajcie.
Mam do zrobienia zadanie o treści:
Wyznacz zbiory:
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ A\right], f\left[ B\right] }\) gdzie
\(\displaystyle{ f: \RR^{2} ∋ \left( x_{1}, x_{2} \right)↦ x^{2}_{1} + x^{2}_{2} \in \RR,}\)
\(\displaystyle{ A=\left[ 1;4\right],B= \RR^{2} \setminus \left\{ \left( 0;0\right) \right\} }\)
O ile obraz i przeciwobraz funkcji jest dla mnie zrozumiały i dla prostych funkcji (tzn. jednej zmiennej) jest prosty do zrobienia to tutaj nie wiem od czego mam w ogóle zacząć. Nie wiem nawet jak wygląda wykres takiej funkcji, ani jakie są zależności pomiędzy \(\displaystyle{ x_{1}}\) a \(\displaystyle{ x_{2}}\).
Dlatego proszę o pomoc, rozwiązanie tego zadania, lub jeśli to za dużo to przynajmniej o naprowadzenie czy jakąś podpowiedź.
Z góry dzięki!

[Jan Kraszewski]

Wykres Ci nie pomoże, więc zapomnij o nim. Skorzystaj z definicji obrazu i przeciwobrazu.

JK

[Zdenerwowany Student]

Wykres Ci nie pomoże, więc zapomnij o nim. Skorzystaj z definicji obrazu i przeciwobrazu.

JK

Ok coś ruszyłem,
Na razie doszedłem do tego, że:
\(\displaystyle{ f\left[ B\right]= \RR_{+} \setminus \left\{ 0\right\} }\)
I jedyne z czym mam problem to zapisanie zbioru wartości \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ A\right] }\), Wiem tylko, że dla \(\displaystyle{ y \in \left\langle 1;4\right\rangle }\), będzie nieskończenie wiele okręgów:

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/M5vDLXg

- wykres \(\displaystyle{ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}\), płaszczyzna zaznaczona na szaro jest na wysokości \(\displaystyle{ y=1}\), płaszczyzna zaznaczona na fioletowo \(\displaystyle{ y=4}\).
I tak jak mówiłem wiem, że tych płaszczyzn będzie nieskończenie wiele, czyli jakby, będzie nieskończenie wiele okręgów o promieniu \(\displaystyle{ r=x_{1}=x_{2}}\), dla \(\displaystyle{ y \in \left[ 1;4\right] }\)
I wpadłem na taki pomysł zapisu, chociaż coś czuję, że może być gdzieś błąd. Oprócz tego, poszperałem trochę i znalazłem parametryczny zapis koła, co wykorzystam.
A więc
jeśli \(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}}\) i są równe promieniowi to:
\(\displaystyle{ f(x_{1},x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \Rightarrow y=2 x^{2} }\)
dla \(\displaystyle{ y=1}\):
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}= \frac{ \sqrt{2} }{2} }\)
dla \(\displaystyle{ y=4}\):
\(\displaystyle{ x_{1}=x_{2}= \sqrt{2} }\).
Więc na poziomie \(\displaystyle{ y=1}\) mamy najmniejszy okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r=x_{1}=x_{2}= \frac{ \sqrt{2} }{2} }\), na poziomie \(\displaystyle{ y=4}\) okrąg o promieniu \(\displaystyle{ r=x_{1}=x_{2}= \sqrt{2} }\).


jako, że zapis parametryczny koła to:
\(\displaystyle{ x_{1}(t)=r\cos(t) }\),
\(\displaystyle{ x_{2}(t)=r\sin(t) }\). \(\displaystyle{ t \in \left[ 0;2 \pi \right] }\), a r to promień okręgu.
To myślałem, żeby \(\displaystyle{ f^{-1}\left[ A\right] }\) zapisać następująco:
\(\displaystyle{ f^{-1}\left[ A\right] = \left\{\bigcup_{r \in \left[ \frac{ \sqrt{2} }{2}; \sqrt{2} \right] }^{} \left[\bigcup_{t \in \left[ 0;2 \pi \right] }^{} x_{1}(t)=r\cos(t) \right]\right\} \cup \left\{\bigcup_{r \in \left[ \frac{ \sqrt{2} }{2}; \sqrt{2} \right] }^{}\left[\bigcup_{t \in \left[ 0;2 \pi \right] }^{} x_{2}(t)=r\sin(t)[ \right]\right\} }\)

Szczerze powiedziawszy nie wiem czy dobrze to zapisałem, czy w ogóle dobrze rozumuję i szczerze wydaje mi się, że przekombinowałem to:
gdyby coś było nie jasne, to chciałem tutaj przy pomocy sumy uogólnionej punktów należących do okręgów, które są tworzone dla każdej płaszczyzny o wyskości \(\displaystyle{ y \in \left[ 1;4\right] }\) zapisać przeciwobraz tej funkcji.

[Zdenerwowany Student]

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/uvotCGs

- okręgi, które miałem na myśli

[Jan Kraszewski]

Przeciwobraz masz źle i przekombinowany. Przecież

\(\displaystyle{ f^{-1}[A]=\{(x,y)\in\RR^2:1^2\le x^2+y^2\le 2^2\}}\)

a to - jak nietrudno zauważyć - jest domknięty pierścień kołowy o wewnętrznym promieniu \(\displaystyle{ 1}\) i zewnętrznym promieniu \(\displaystyle{ 2}\).

JK