Dowód bez używania aksjomatu regularności

[terefere123]

Pokaż, że dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ A \neq P(A)}\).

Teza: \(\displaystyle{ \forall A (A \neq P(A))}\)
Dowód nie wprost
Zakładam, że \(\displaystyle{ \exists A(A = P(A))}\)
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ (\forall X )(X \in A \Leftrightarrow X \in P(A))}\) a to znaczy, że dow. \(\displaystyle{ X \in A}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ X \subseteq A}\).
Weźmy \(\displaystyle{ X=A}\). Wychodzi nam, że \(\displaystyle{ A \in A \Leftrightarrow A \subseteq A}\).
\(\displaystyle{ A \subseteq A}\) jest zawsze prawdziwe, a \(\displaystyle{ A \in A}\) z aksjomatu regularności fałszywe czyli \(\displaystyle{ 0 \Leftrightarrow 1}\) czyli sprzeczność.

Dałoby się to zrobić bez aksjomatu regularności?

[matmatmm]

Tak. Zobacz twierdzenie Cantora.

[terefere123]

A bez używania żadnych twierdzeń, aksjomatów? Da się jakimś innym sposobem?

[matmatmm]

Jak to bez używania aksjomatów? Wydaje mi się, że konieczne jest rozumowanie analogiczne, jak to w dowodzie twierdzenia Cantora, więc zerknij sobie na dowód twierdzenia Cantora (nie jest trudny) i tezę otrzymasz jako prosty wniosek.

[Gosda]

Załóż nie wprost, że istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f \colon X \to 2^X}\) i rozpatrz zbiór \(\displaystyle{ Y = \{x \in X : x \not \in f(x)\}}\). Istnieje taki \(\displaystyle{ y \in X}\), że \(\displaystyle{ f(y) = Y}\) (dlaczego?). Jeśli \(\displaystyle{ y \in Y = f(y)}\), to \(\displaystyle{ y \not \in Y}\) (z definicji zbioru \(\displaystyle{ Y}\)), sprzeczność. Czyli \(\displaystyle{ y \not \in Y}\), ale to prowadzi do sprzeczności, bo wtedy (rozumując dokładnie tak samo) dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ y \in Y}\).