Ciągi Cauchy'ego są ograniczone

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Ciągi Cauchy'ego są ograniczone

Post autor: Jakub Gurak »

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych mnie nie interesuje. Ale wyjątkiem może być ten dowód z ważniaka, że Ciągi Cauchy'ego są ograniczone( w domyśle każdy taki ciąg).

Chciałbym popracować nad tym dowodem.

Ciąg \(\displaystyle{ a:\NN \rightarrow \QQ}\) nazywamy ograniczonym, gdy ma ograniczenie, czyli taką liczbę \(\displaystyle{ M>0}\)( chyba wymierną,nie dopowiedzieli tutaj, ale chyba wymierną, bo liczb rzeczywistych tutaj jeszcze nie skonstruowaliśmy), że \(\displaystyle{ \left| a_n\right|<M}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in\NN.}\)

Spróbuję popracować nad dowodem, że

każdy ciąg Cauchyego \(\displaystyle{ a:\NN \rightarrow \QQ}\) jest ograniczony.

Niech \(\displaystyle{ a:\NN \rightarrow \QQ}\) będzie ciągiem Cauchyego. Weźmy dodatnią liczbę wymierną \(\displaystyle{ R}\). Do niej dobierzemy takie \(\displaystyle{ n }\) naturalne, że wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ p,k>n}\), czyli poczynając od (\(\displaystyle{ n+1}\)) będą spełniać \(\displaystyle{ \left| a_p-a_k\right|<R. }\) A więc dla dowolnych naturalnych \(\displaystyle{ p,k>n}\) mamy: \(\displaystyle{ \left| a_p-a_k\right|<R. }\) Za \(\displaystyle{ M}\) biorą największą liczbę spośród \(\displaystyle{ \left| a_0\right|,\left| a_1\right|,\ldots,\left| a_n\right|}\) oraz (jeszcze jedna) \(\displaystyle{ \left| a_{n+1}\right|+R}\) powiększoną o \(\displaystyle{ 1}\). Hm, za prędko. Te liczby tworzą niepusty skończony ( :?:) zbiór złożony z liczb wymiernych, a więc liniowo uporządkowany, a w liniowo uporządkowanym zbiorze każdy niepusty skończony zbiór ma element największy. Musimy zatem jeszcze uzasadnić, że to te liczby tworzą zbiór skończony. Niewątpliwie liczba naturalna von Neumanna \(\displaystyle{ n'}\) jest zbiorem skończonym, gdyż \(\displaystyle{ n'\sim n'}\). Rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \QQ}\) daną jako \(\displaystyle{ f(n)=\left| a_n\right|}\). Wtedy te liczby tworzą zbiór \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f}\left( n'\right) \cup \left\{ \left| a_{n+1}\right|+R\right\} }\), więc pierwsza składowa tej sumy jako obraz zbioru skończonego jest zbiorem skończonym, po dodaniu jednego elementu mamy dalej zbiór skończony złożony z liczb wymiernych liniowo uporządkowanych, zatem ma element największy. \(\displaystyle{ M}\) jest to jedna z takich liczb (powiększona o \(\displaystyle{ 1}\)), a więc dodatnia liczba wymierna. Spróbuje wykazać, że dla każdego \(\displaystyle{ m\in\NN}\) mamy: \(\displaystyle{ \left| a_m\right| <M. }\)
Niech \(\displaystyle{ m\in\NN.}\) Rozważmy przypadki: \(\displaystyle{ m \le n}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ M}\) jest o jeden większa od elementu największego zbioru \(\displaystyle{ \stackrel{ \rightarrow }{f}\left( n'\right) \cup \left\{ \left| a_{n+1}\right|+R\right\} }\), więc jest silnie większa od każdego takiego elementu, skąd (z definicji tej funkcji) \(\displaystyle{ \left| a_m\right| =f(m)<M}\).
Jeśli \(\displaystyle{ m=n+1}\), to podobnie \(\displaystyle{ M}\) jest silnie większa od każdego elementu rozważanego zbioru, (którego bierzemy
element największy), więc \(\displaystyle{ \left| a_{n+1}\right| <\left| a_{n+1}\right|+R <M}\) , a więc \(\displaystyle{ \left| a_m\right| <M}\).
Jeśli \(\displaystyle{ m>n+1}\), to \(\displaystyle{ M>\left| a_{n+1}\right|+R>\left| a_{n+1}\right|+\left| a_m-a _{n+1} \right| \ge \left| a _{n+1}+a _{m}-a _{n+1}\right| =\left| a_m\right|, }\) a więc \(\displaystyle{ \left| a_m\right|<M. \square}\)

Dobrze :?:
ODPOWIEDZ