Określanie własności zbioru ze zdania

[terefere123]

1) Napisz krótko jaką własność dla \(\displaystyle{ A, B = ∅}\) wyraża zdanie \(\displaystyle{ (∀x ∈ A)(∃y ∈ B)(x = y)}\)
2) Napisz krótko jaką własność dla \(\displaystyle{ A, B = ∅}\) wyraża zdanie \(\displaystyle{ (∀x ∈ A)(∃y ∈ B)(x \neq y)}\)

Wymyśliłem takie własności:
Ad. 1
Jeśli każdy \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ A}\) ma swój "odpowiednik" w \(\displaystyle{ B}\) to znaczy, że:
1. \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)
2. \(\displaystyle{ A \cap B = A}\)
3. \(\displaystyle{ A \cup B = B}\)
1 i 2 i 3 są równoważne, trochę nie rozumiem o jaki typ własności chodziło autorowi zadania.

Ad. 2
Jeśli wybierzemy jakikolwiek \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ A}\) to w \(\displaystyle{ B}\) zawsze się znajdzie taki punkt \(\displaystyle{ y}\) że \(\displaystyle{ x \neq y}\) czyli:

\(\displaystyle{ B - A \neq ∅}\)
Pisanie, że \(\displaystyle{ B}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ A }\) jest chyba bez sensu. Nie wiem jakie własności mogą tutaj być. :/

[Jan Kraszewski]

1) Napisz krótko jaką własność dla \(\displaystyle{ A, B = ∅}\)

A nie miało być \(\displaystyle{ A, B \ne \emptyset}\) ? Bo mówienie o własnościach zbioru pustego ma mało sensu.

Jeśli każdy \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ A}\) ma swój "odpowiednik" w \(\displaystyle{ B}\) to znaczy, że:
1. \(\displaystyle{ A \subseteq B}\)
2. \(\displaystyle{ A \cap B = A}\)
3. \(\displaystyle{ A \cup B = B}\)
1 i 2 i 3 są równoważne, trochę nie rozumiem o jaki typ własności chodziło autorowi zadania.

Jak dla mnie wystarczy \(\displaystyle{ A \subseteq B}\).

Ad. 2
Jeśli wybierzemy jakikolwiek \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ A}\) to w \(\displaystyle{ B}\) zawsze się znajdzie taki punkt \(\displaystyle{ y}\) że \(\displaystyle{ x \neq y}\) czyli:

\(\displaystyle{ B - A \neq ∅}\)
Pisanie, że \(\displaystyle{ B}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ A }\) jest chyba bez sensu.

Dlaczego? Jak dla mnie odpowiedź \(\displaystyle{ B\not \subseteq A}\) byłaby OK, gdyby była poprawna. Zauważ jednak, że jeśli \(\displaystyle{ A=B=\{1,2\},}\) to warunek jest spełniony, więc Twoja propozycja nie jest dobra.

JK

[terefere123]

1) Napisz krótko jaką własność dla \(\displaystyle{ A, B = ∅}\)

A nie miało być \(\displaystyle{ A, B \ne \emptyset}\) ? Bo mówienie o własnościach zbioru pustego ma mało sensu.

Tak chodzi mi o \(\displaystyle{ A, B \ne \emptyset}\)

Dlaczego? Jak dla mnie odpowiedź \(\displaystyle{ B\not \subseteq A}\) byłaby OK, gdyby była poprawna. Zauważ jednak, że jeśli \(\displaystyle{ A=B=\{1,2\},}\) to warunek jest spełniony, więc Twoja propozycja nie jest dobra.

Faktycznie, źle spojrzałem na te zadanie.
Wypisałem sobie kilka możliwości zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i oto co zaobserwowałem:

Jeśli \(\displaystyle{ B}\) ma 1 element to \(\displaystyle{ B \nsubseteq A}\)
W każdym innym przypadku dla dow. \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) z tym ograniczeniem zdanie jest prawdziwe.

Nie wiem czy można nazwać to własnością...

[Jan Kraszewski]

Ewentualnym ułatwieniem może być zbadanie negacji tego zdania.

To jest równoważne zdaniu \(\displaystyle{ B\not \subseteq A\lor |B|\ne 1}\), co jest równoważne \(\displaystyle{ |B|=1 \Rightarrow B\not \subseteq A}\) lub \(\displaystyle{ B \subseteq A \Rightarrow |B|\ne 1.}\) Można zatem tę własność przeczytać jako "\(\displaystyle{ B}\) nie zawiera się w \(\displaystyle{ A}\) lub \(\displaystyle{ B}\) nie jest zbiorem jednoelementowym" bądź jako "jeśli \(\displaystyle{ B}\) jest zbiorem jednoelementowym, to nie zawiera się w zbiorze \(\displaystyle{ A}\)" bądź jako "jeśli \(\displaystyle{ B}\) zawiera się w \(\displaystyle{ A}\), to jest zbiorem jednoelementowym".

Muszę jednak przyznać, że są to dziwnie brzmiące własności. No ale nie chce być inaczej.

JK