Rodzina podwójnie indeksowana - sumy i iloczyny

[Ester315]

Niech \(\displaystyle{ A_{m,k} = \left\{ x \in \RR : m - \frac{1}{2^k} \le x \le m + 2^k\right\} }\) dla \(\displaystyle{ m, k \in \ZZ}\)

Znajdź zbiory podane niżej:

\(\displaystyle{ \bigcap_{m \in \ZZ} \bigcup_{k \in \ZZ}A_{m,k} = \bigcap_{m \in Z}B_{m}}\), gdzie \(\displaystyle{ \bigcap_{m \in \ZZ}B_{m}}\) to iloczyn indeksowanej rodziny zbiorów, o zbiorze indeksów \(\displaystyle{ \ZZ}\).

\(\displaystyle{ \bigcup_{k \in \ZZ} \bigcap_{m \in \ZZ}A_{m,k} = \bigcup_{k \in \ZZ}C_{k}}\), gdzie \(\displaystyle{ \bigcup_{m \in \ZZ}C_{m}}\) to iloczyn indeksowanej rodziny zbiorów, o zbiorze indeksów \(\displaystyle{ \ZZ}\).

\(\displaystyle{ \bigcup_{m \in \ZZ} \bigcap_{k \in \ZZ}A_{m,k} = \bigcup_{m \in \ZZ}C_{m}}\)

\(\displaystyle{ \bigcap_{k\in \ZZ} \bigcup_{m \in \ZZ}A_{m,k} = \bigcap_{k \in \ZZ}B_{k}}\)

Czy ktoś mógłby mi powiedzieć jak dalej rozwiązywać to zadanie? Jak wyznaczyć przedział \(\displaystyle{ x}\)?

[Jan Kraszewski]

Policz najpierw \(\displaystyle{ B_m= \bigcup_{k \in \ZZ}A_{m,k}, C_k=\bigcap_{m \in \ZZ}A_{m,k}.}\)

JK