Suma i przecięcie indeksowanej rodziny zbiorów

[Ester315]

Ciąg zbiorów \(\displaystyle{ <A_{n} : n \in \NN>}\) określony jest następująco:
\(\displaystyle{ A_{n} =\left\{ x \in \RR : (-1)^n + \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \le x \le 1 + \frac{5}{n+1} \right\}}\)

Znajdź \(\displaystyle{ \bigcup_{n=0}^{ \infty }}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap_{n=0}^{ \infty }}\) iloczyn indeksowanej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A_{n}}\).

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=0}^{ \infty }}\) - suma indeksowanej rodziny zbiorów, czyli suma rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A = \{ A_{n} : n \in \NN \}}\).
Suma rodziny zbiorów będzie zbiorem elementów, które należą do któregokolwiek ze zbiorów rodziny \(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ \bigcap_{n=0}^{ \infty }}\) - iloczyn indeksowanej rodziny zbiorów, czyli iloczyn rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A = \{ A_{n} : n \in \NN \}}\)
Iloczyn rodziny zbiorów będzie zbiorem elementów, które należą do każdego ze zbiorów rodziny \(\displaystyle{ A}\).

Dodatkowo chcę pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ x:}\)
1) \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n=0}^{ \infty }}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ n \in \NN}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\).
2) \(\displaystyle{ x \in \bigcap_{n=0}^{ \infty }}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\)

Tyle z definicji. Rozumiem, że najpierw mam wyznaczyć zbiór \(\displaystyle{ x}\)-ów spełniających obie nierówności.

W pierwszej nierówności mam \(\displaystyle{ (-1)^n + \frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \le x}\), więc po przekształceniach mam, że \(\displaystyle{ x \ge \frac{(-1)^n \cdot n}{n+1}}\)

Tutaj powinnam znaleźć oba kresy wyrażenia z prawej strony?
Wtedy dla \(\displaystyle{ n}\)-parzystych mam: \(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le \frac{n}{n+1} < 1}\)
dla \(\displaystyle{ n}\)-nieparzystych mam: \(\displaystyle{ -1 < \frac{-n}{n+1} \le \frac{-1}{2} }\)

Więc z tego równania \(\displaystyle{ x}\) muszą znajdować się na prawo od przedziału \(\displaystyle{ \left( -1; - \frac{1}{2} \right> \cup \left<\frac{1}{2} ; 1\right) }\)

Z drugiego równania \(\displaystyle{ x}\) muszą znajdować się na lewo od przedziału \(\displaystyle{ \left( 1; 3,5 \right> }\)

Z tego wynika, że jedyną "dobrą" liczbą jest \(\displaystyle{ x = 1}\).

Proszę powiedzieć czy moje rozważania są jakkolwiek zgodne z tym co powinno wychodzić.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=0}^{ \infty }}\) - suma indeksowanej rodziny zbiorów, czyli suma rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A = \{ A_{n} : n \in \NN \}}\).
Suma rodziny zbiorów będzie zbiorem elementów, które należą do któregokolwiek ze zbiorów rodziny \(\displaystyle{ A}\).

\(\displaystyle{ \bigcap_{n=0}^{ \infty }}\) - iloczyn indeksowanej rodziny zbiorów, czyli iloczyn rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A = \{ A_{n} : n \in \NN \}}\)
Iloczyn rodziny zbiorów będzie zbiorem elementów, które należą do każdego ze zbiorów rodziny \(\displaystyle{ A}\).

Dodatkowo chcę pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ x:}\)
1) \(\displaystyle{ x \in \bigcup_{n=0}^{ \infty }}\) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje \(\displaystyle{ n \in \NN}\) takie, że \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\).
2) \(\displaystyle{ x \in \bigcap_{n=0}^{ \infty }}\) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy \(\displaystyle{ x \in A_{n}}\)

Wszędzie zdecydowanie \(\displaystyle{ \bigcup_{n=0}^{ \infty }\red{A_n}}\) i \(\displaystyle{ \bigcap_{n=0}^{ \infty }\red{A_n}}\).

Z tego wynika, że jedyną "dobrą" liczbą jest \(\displaystyle{ x = 1}\).

Dobrą do czego?

Najlepiej to sobie narysować.

JK