Rodziny zbiorów, suma rodziny zbiorów

[Ester315]

Czy dla dowolnych rodzin zbiorów \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\)
a) jeżeli \(\displaystyle{ A \subseteq B}\), to \(\displaystyle{ \bigcup_{}^{} A \subseteq \bigcup_{}^{} B}\)
b) jeżeli \(\displaystyle{ \bigcup_{}^{} A \subseteq \bigcup_{}^{} B}\), to \(\displaystyle{ A \subseteq B}\) ?

[Jan Kraszewski]

A jak myślisz? Próbowałaś to dowodzić lub obalać?

JK

[Jakub Gurak]

Czyli jeżeli mamy jeden zbiór zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{A},}\) i drugi zbiór zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{B}, }\) taki że \(\displaystyle{ \mathbb {A}\subset\mathbb{B}, }\) czyli do rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb {A}}\) dodajemy zbiory- jako elementy- tworząc większą rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), to czy suma mniejszej rodziny zawiera się w sumie większej rodziny Sprawdź to, rysunek na płaszczyźnie może pomóc.

Odnośnie b)

Jeżeli zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są niepuste rozłączne, to rozważmy rodziny zbiorów:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ A,B\right\}, }\)
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ A \cup B\right\} .}\)

Wtedy \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb {A}=A\cup B}\), również \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}=A\cup B, }\) mimo to \(\displaystyle{ \mathbb{A}\not\subset\mathbb{B} }\) i \(\displaystyle{ \mathbb{B}\not\subset\mathbb{A}, }\) gdyż \(\displaystyle{ A,B\neq A \cup B}\) (na podstawie naszych założeń ).