Zawieranie się zbiorów potęgowych.

[terefere123]

Sprawdź czy prawdziwe jest: jeśli \(\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B) \cap P(C)}\), to \(\displaystyle{ A \subseteq B \cap C}\)

Zakładam, że \(\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B) \cap P(C)}\) jest prawdziwe dla dowolnych \(\displaystyle{ A, B, C}\)
I teraz chciałbym to rozpisać ale gubię się z kwantyfikatorami. \(\displaystyle{ X}\) dow. zbiór
\(\displaystyle{ (\forall X)(X \subseteq A \rightarrow X \subseteq C \wedge X \subseteq B) }\)
W dobrym miejscu jest ten kwantyfikator? Jak dalej z tym ruszyć, rozpisywać to aż do \(\displaystyle{ x \in X \rightarrow x \in A}\) itd.?

[Jan Kraszewski]

I teraz chciałbym to rozpisać ale gubię się z kwantyfikatorami. \(\displaystyle{ X}\) dow. zbiór
\(\displaystyle{ (\forall X)(X \subseteq A \rightarrow X \subseteq C \wedge X \subseteq B) }\)

Ale co to jest? Bo na pewno nie teza.

JK

[terefere123]

\(\displaystyle{ P(A)}\) rozumiem tak że jeśli \(\displaystyle{ X \in P(A)}\) to \(\displaystyle{ X \subseteq A}\) no i w taki sposób pozamieniałem tą teze

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ P(A)}\) rozumiem tak że jeśli \(\displaystyle{ X \in P(A)}\) to \(\displaystyle{ X \subseteq A}\) no i w taki sposób pozamieniałem tą teze

Tezę?!

Teza mówi, że \(\displaystyle{ A \subseteq B \cap C}\) i to ją masz udowodnić. Ty co najwyżej rozpisałeś założenie (nie bardzo wiadomo po co).

JK

[terefere123]

Przepraszam, chciałem napisać założenie. To jak to zacząć nie rozpisując założenia?

[Jan Kraszewski]

Musisz pamiętać, że dowód nie polega na transformowaniu założenia do tezy poprzez manipulacje na znaczkach.

Masz dwie możliwości: albo (1) znasz dwa fakty: \(\displaystyle{ P(X) \cap P(Y)=P(X \cap Y)}\) oraz \(\displaystyle{ P(X) \subseteq P(Y) \Rightarrow X \subseteq Y}\) (dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ X,Y}\)) - wtedy korzystając z tych faktów i założenia łatwo otrzymać tezę
albo (2) rozumujesz bezpośrednio - ustalasz dowolne \(\displaystyle{ x\in A}\) i starasz się pokazać, że \(\displaystyle{ x\in B\cap C}\). W tym wypadku musisz wymyślić, jak skorzystać z założenia.

JK

[terefere123]

Ustalam dow. \(\displaystyle{ x \in A}\) Z def. zbioru potegowego wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ a \in X}\) i \(\displaystyle{ X \subseteq P(A)}\). Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B) \cap P(C)}\) czyli \(\displaystyle{ X }\) jest również w \(\displaystyle{ P(B)}\) i \(\displaystyle{ P(C)}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ x \in B}\) i \(\displaystyle{ x \in C}\) czyli \(\displaystyle{ A \subseteq B \cap C}\)

[Jan Kraszewski]

Ustalam dow. \(\displaystyle{ x \in A}\) Z def. zbioru potegowego wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ a \in X}\) i \(\displaystyle{ X \subseteq P(A)}\).

No popatrz, to się nijak nie trzyma kupy. Najpierw piszesz:

"Z def. zbioru potegowego wynika, że istnieje takie \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ a \in X}\)"

Po pierwsze - co to jest \(\displaystyle{ a}\)? Po drugie - co to ma wspólnego z poprzednim zdaniem? Po trzecie - co to ma wspólnego z def. zbioru potęgowego? Próbowałeś rzucić zaklęcie i zupełnie Ci nie wyszło.

Dalej piszesz:

"i \(\displaystyle{ X \subseteq P(A)}\)"

A to skąd wyczarowałeś?

JK

[terefere123]

Trochę mi się znaczki pomieszały. \(\displaystyle{ a}\) miało być \(\displaystyle{ x}\) a zawieranie się należeniem

Ustalam dow. \(\displaystyle{ x \in A}\) Podzbiór \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ x \in X}\) i \(\displaystyle{ X \subseteq A}\) Czyli \(\displaystyle{ X \in P(A)}\). Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B) \cap P(C)}\) czyli \(\displaystyle{ X }\) jest również w \(\displaystyle{ P(B)}\) i \(\displaystyle{ P(C)}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ x \in B}\) i \(\displaystyle{ x \in C}\) czyli \(\displaystyle{ A \subseteq B \cap C}\)

[Jan Kraszewski]

No teraz prawie dobrze, ale wypadałoby sprecyzować, czym jest \(X\), bo na razie tylko zadeklarowałeś, że chciałbyś mieć taki zbiór, ale nie wiadomo, skąd go wziąłeś.

No i nie skracaj wnioskować, np. skoro \(x\in B\) i \(x\in C\), to \(x\in B\cap C\), czyli \(A\subseteq B\cap C\).

JK

[terefere123]

Ustalam dow. \(\displaystyle{ x \in A}\) Ustalam zbiór \(\displaystyle{ X}\) taki, że \(\displaystyle{ x \in X}\) i \(\displaystyle{ X \subseteq A}\) Czyli \(\displaystyle{ X \in P(A)}\). Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B) \cap P(C)}\) czyli \(\displaystyle{ X }\) jest również w \(\displaystyle{ P(B)}\) i \(\displaystyle{ P(C)}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ x \in B}\) i \(\displaystyle{ x \in C}\) czyli \(\displaystyle{ x∈B∩C}\), czyli \(\displaystyle{ A \subseteq B \cap C}\)

Nie wiem jak bym mógł ten \(\displaystyle{ X}\) lepiej zdefiniować.

Czy dla \(\displaystyle{ P(A)⊆P(B) \cup P(C)}\), to \(\displaystyle{ A⊆B \cup C}\) dowód byłby identyczny? Boje się pułapki z kwantyfikatorami, wiem też, że \(\displaystyle{ P(A) \cup P(B) \neq P(A \cup B)}\) dlatego pytam.

[Jan Kraszewski]

Nie wiem jak bym mógł ten \(\displaystyle{ X}\) lepiej zdefiniować.

Po prostu wskazać taki zbiór. Dopóki tego nie zrobisz, dowód nie jest w pełni dobry, bo nie wiadomo, czy taki zbiór istnieje.

Czy dla \(\displaystyle{ P(A)⊆P(B) \cup P(C)}\), to \(\displaystyle{ A⊆B \cup C}\) dowód byłby identyczny? Boje się pułapki z kwantyfikatorami, wiem też, że \(\displaystyle{ P(A) \cup P(B) \neq P(A \cup B)}\) dlatego pytam.

Spróbuj ten dowód napisać i zobacz.

JK

[terefere123]

Może być tak: \(\displaystyle{ X = \left\{ x\right\} }\) ?

Napisałem sobie go na kartce. Wszystko robię tak samo tylko są 3 przypadki kiedy (wszytko zdefiniowane tak samo jak w poprzednim) \(\displaystyle{ X \in P(B)}\) i \(\displaystyle{ \neg (X \in P(C))}\) na odwrót i że \(\displaystyle{ X}\) jest w obu i wychodzi mi, że to też prawda.

[Jan Kraszewski]

Może być tak: \(\displaystyle{ X = \left\{ x\right\} }\) ?

No jasne. I w ogóle nie używamy \(\displaystyle{ X}\).

`Napisałem sobie go na kartce. Wszystko robię tak samo tylko są 3 przypadki kiedy (wszytko zdefiniowane tak samo jak w poprzednim) \(\displaystyle{ X \in P(B)}\) i \(\displaystyle{ \neg (X \in P(C))}\) na odwrót i że \(\displaystyle{ X}\) jest w obu i wychodzi mi, że to też prawda.

Nie rozumiem, jakie trzy przypadki?

JK

[terefere123]

Tu już ten 2 dowód:

Ustalam dow. \(\displaystyle{ x \in A}\) Zbiór \(\displaystyle{ X = \left\{ x\right\} }\) Czyli \(\displaystyle{ X \in P(A)}\). Z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B) \cup P(C) }\) czyli \(\displaystyle{ X }\) jest również w \(\displaystyle{ P(B)}\) lub \(\displaystyle{ P(C)}\) a z tego wynika, że \(\displaystyle{ x \in B}\) lub \(\displaystyle{ x \in C}\) czyli \(\displaystyle{ x∈B \cup C}\), czyli \(\displaystyle{ A \subseteq B \cup C}\)

Faktycznie bez sensu te przypadki chciałem robić.