Przedziały początkowe

[Jakub Gurak]

Napiszę tu trochę o przedziałach początkowych w zbiorach liniowo uporządkowanych. Przypominam najpierw definicję:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. Zbiór \(\displaystyle{ A\subset X}\) nazywamy przedziałem początkowym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\), gdy dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y\in X}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ x\in A,y<x \Longrightarrow y\in A.}\)

Czyli \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, jeśli wraz z każdym swoim elementem ma również w sobie wszystkie mniejsze od niego elementy \(\displaystyle{ X}\). (Chętnie bym pokazał ilustrację, ale są problemy z określeniem wymiarów obrazka, itd., a link można podać tylko jeden, a mam też tu do odesłania też ważniejszy link- także przepraszam).

Zauważmy, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x\in X:}\) zbiory

\(\displaystyle{ O(x)=\left\{ y\in X\Bigl| \ \ y<x\right\},}\)
\(\displaystyle{ \overline{O \left( x\right)}=\left\{ y\in X\Bigl| \ \ y \le x\right\}, }\) są przedziałami początkowymi.

Np. pierwszy zbiór \(\displaystyle{ O(x)=\left\{ y\in X\Bigl| \ \ y<x\right\} }\) jest przedziałem początkowym- jeśli bowiem \(\displaystyle{ a \in O(x),b<a}\), to wtedy \(\displaystyle{ b<a<x}\), a więc \(\displaystyle{ b<x}\), a więc \(\displaystyle{ b\in O(x)}\). Czyli zbór postaci \(\displaystyle{ O(x)}\) jest zawsze przedziałem początkowym. Dowód, że zbiory postaci \(\displaystyle{ \overline{O \left( x\right)}}\) są przedziałami początkowymi, jest podobny. Zbiór taki będziemy nazywać domkniętym przedziałem początkowym. Bardzo łatwo sprawdzić, że cały \(\displaystyle{ X}\) jest przedziałem początkowym( nieistotnym), pozostałe przedziały początkowe (różne od całego \(\displaystyle{ X}\)) nazywamy istotnymi.

Przypominam, zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) nazywamy zbiorem dobrze uporządkowanym, gdy każdy niepusty podzbiór \(\displaystyle{ X}\) ma element najmniejszy.

Twierdzenie: W zbiorze dobrze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) każdy jego przedział początkowy istotny (różny od \(\displaystyle{ X}\)) jest postaci \(\displaystyle{ O(x)}\), dla pewnego \(\displaystyle{ x\in X.}\)

Dowód:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym. Niech \(\displaystyle{ A \subset X }\)będzie przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ X}\), różnym od \(\displaystyle{ X}\). Wtedy zbiór \(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest niepusty, i jest podzbiorem \(\displaystyle{ X}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, więc zbiór \(\displaystyle{ X \setminus A}\) ma element najmniejszy \(\displaystyle{ x\in X \setminus A}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ x\in X,x\not\in A}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A=O(x)}\). Inluzja w lewo: niech \(\displaystyle{ y\in A}\), i przypuśćmy, że \(\displaystyle{ y\not\in O(x)}\), wtedy \(\displaystyle{ y\not<x}\), a ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest dobrze uporządkowany, więc i liniowo, więc musi być \(\displaystyle{ x \le y}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, \(\displaystyle{ y\in A, x \le y}\), więc musi \(\displaystyle{ x\in A}\). Otrzymaliśmy sprzeczność, wobec czego \(\displaystyle{ A\subset O(x)}\). Inkluzja w prawo: Przypuśćmy (dla dowodu nie wprost), że istnieje element \(\displaystyle{ y\in X}\), który jest silnie mniejszy od \(\displaystyle{ x}\), i nie należy do \(\displaystyle{ A}\). Wtedy \(\displaystyle{ y\in X \setminus A}\), a ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest elementem najmniejszym \(\displaystyle{ X \setminus A}\), więc \(\displaystyle{ x \le y}\), co przeczy temu, że \(\displaystyle{ y<x}\). Wobec czego druga inkluzja jest dowiedziona, a więc \(\displaystyle{ A=O(x).\square}\)

Podamy przykład zbioru dobrze uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\), oraz jego przedziału początkowego różnego od \(\displaystyle{ X}\), który nie może być postaci \(\displaystyle{ \overline{O \left( x\right)}.}\)

Rozważmy zbiór liczb naturalnych \(\displaystyle{ \NN}\), oraz jeden element \(\displaystyle{ T}\), który nie należy do \(\displaystyle{ \NN}\)( np. \(\displaystyle{ T=\NN}\), gdyż \(\displaystyle{ \NN\not\in\NN}\)). Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ X=\NN \cup \left\{ T\right\}}\), który uporządkujemy przez \(\displaystyle{ \sqsubseteq= \le\cup \left( X\times \left\{ T\right\} \right). }\) Czyli zwykły porządek na liczbach naturalnych zmieniamy dodając jeden element \(\displaystyle{ T}\) jako największy. Ponieważ zbiór liczb naturalnych jest uporządkowany liniowo przez zwykły porządek, ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ T\right\} }\) jest uporządkowany liniowo, i ponieważ zbiory \(\displaystyle{ \NN,\left\{ T\right\}}\) są rozłączne, więc ich suma porządkowa (czyli nasz porzadek \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\)) jest porządkiem liniowym. Ponieważ zbiór liczb naturalnych jest wręcz dobrze uporządkowany przez zwykły porządek, to łatwo sprawdzić, że również nasz \(\displaystyle{ X}\) jest dobrze uporządkowany przez \(\displaystyle{ \sqsubseteq}\). Zbiór \(\displaystyle{ \NN \subset X}\) jest przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ X}\). Aby to pokazać: niech \(\displaystyle{ x\in \NN,y\sqsubseteq x}\)( \(\displaystyle{ y\in X}\)). Pokażemy, że \(\displaystyle{ y\in \NN}\). Gdyby tak nie było, a mamy \(\displaystyle{ y\in\NN \cup \left\{ T\right\}}\), więc musiałoby być \(\displaystyle{ y=T}\), a więc ponieważ \(\displaystyle{ y\sqsubseteq x}\), więc \(\displaystyle{ T\sqsubseteq x}\), a ponieważ \(\displaystyle{ T}\) jest tutaj największy, a \(\displaystyle{ x \neq T}\) otrzymujemy sprzeczność. Wobec czego \(\displaystyle{ \NN}\) jest przedziałem początkowym. Jest niewątpliwie różny od \(\displaystyle{ X}\). Nie może być on postaci \(\displaystyle{ \overline{O \left( x\right)},}\) dla żadnego \(\displaystyle{ x\in X}\). Jeśli bowiem \(\displaystyle{ x\in\NN}\), to \(\displaystyle{ \overline{O \left( x\right)}=\left\{ y\in X\Bigl| \ \ y\sqsubseteq x\right\} =\left\{ n\in\NN\Bigl| \ \ n \le x\right\}}\), i wtedy (\(\displaystyle{ x+1}\)) nie należy do tego zbioru(a \(\displaystyle{ x+1\in\NN}\)). Wobec czego \(\displaystyle{ \overline{O \left( x\right)} \neq \NN.}\) Pozostaje możliwość \(\displaystyle{ x=T}\), ale wtedy oczywiście \(\displaystyle{ \overline{O \left( T\right)}=X \neq\NN.}\) Wobec czego \(\displaystyle{ \NN}\) nie może być tej postaci. \(\displaystyle{ \square}\)

Bardzo łatwo pokazać, że w zbiorze liniowo uporządkowanym suma dowolnej niepustej rodziny przedziałów początkowych jest przedziałem początkowym. Trzy dni temu wykazałem, że również przekrój dowolnej niepustej rodziny przedziałów początkowych jest przedziałem początkowym( ale spostrzeżenie nie jest do kolekcji, tylko zauważyłem to w związku z tym, że jeśli \(\displaystyle{ \emptyset \neq x\subset\NN}\) jest dowolnym zbiorem złożonym z liczb naturalnych von Neumanna, to \(\displaystyle{ \bigcap x}\) jest liczbą naturalną von Neumanna (co więcej \(\displaystyle{ \bigcap x\in x,}\) i jest to najmniejsza liczba naturalna występująca w \(\displaystyle{ x}\)), a liczby naturalne von Neumanna, to istotne przedziały początkowe w \(\displaystyle{ \NN }\)). A więc wykażemy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb{B}}\) rodziną przedziałów początkowych, to \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{B} }\) jest przedziałem początkowym.

Dowód:

Niewątpliwie \(\displaystyle{ \bigcap \mathbb{B}\subset X.}\) Niech \(\displaystyle{ x\in\bigcap \mathbb{B},}\) a element \(\displaystyle{ y\in X}\) niech spełnia \(\displaystyle{ y<x. }\)Pokażemy, że \(\displaystyle{ y\in \bigcap\mathbb{B}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x\in\bigcap \mathbb{B},}\) więc \(\displaystyle{ x\in A,}\) dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\). Niech\(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\). Wtedy \(\displaystyle{ y<x\in A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\) jest przedziałem początkowym, więc \(\displaystyle{ y\in A}\). Z dowolności \(\displaystyle{ A}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ y\in A}\) dla każdego \(\displaystyle{ A\in\mathbb{B}}\), co oznacza z definicji przekroju mnogościowego (i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest niepusta), więc \(\displaystyle{ y\in \bigcap \mathbb{B}. \square}\)

Na koniec: Niech \(\displaystyle{ \left( X,\le\right) }\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym, a \(\displaystyle{ \mathcal{R}}\) rodziną wszystkich jego istotnych przedziałów początkowych. Wtedy \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left( \mathcal{R}, \subset \right). }\)

Dowód:

Zdefiniujmy funkcję \(\displaystyle{ f:X \rightarrow \mathcal{R}}\) jako:

\(\displaystyle{ f(x)=O(x).}\)

Pokażemy, że ta funkcja jest podobieństwem.

1. Własność funkcji "na". Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie przedziałem początkowym różnym od \(\displaystyle{ X}\). Wtedy, z udowodnionego twierdzenia wynika, że \(\displaystyle{ A=O(x),}\) dla pewnego \(\displaystyle{ x\in X}\). Wtedy, \(\displaystyle{ f(x)=O(x)=A}\), a więc \(\displaystyle{ A}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\). Z dowolności wyboru \(\displaystyle{ A}\) wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na".
2. Różnowarościowość. Weźmy dowolne elementy \(\displaystyle{ x,y\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ x \neq y}\). Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany liniowo, więc \(\displaystyle{ x<y}\) lub \(\displaystyle{ y<x}\). Zajmijmy się najpierw pierwszym przypadkiem. Wtedy \(\displaystyle{ x\in O(y)}\), oraz \(\displaystyle{ x\not\in O(x)}\), zatem \(\displaystyle{ O(x) \neq O(y)}\), z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) lewa strona tej różności jest równa \(\displaystyle{ f(x)}\), a prawa \(\displaystyle{ f(y)}\), skąd wynika, że \(\displaystyle{ f(x)\neq f(y)}\). Drugi przypadek jest analogiczny. A więc \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa, a więc jest bijekcją.
3. Monotoniczność: Weźmy dowolne \(\displaystyle{ x,y\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ x<y}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ f(x) \subset f(y)}\). Niech \(\displaystyle{ z\in f(x).}\) Oznacza to, że \(\displaystyle{ z\in O(x)}\), a więc \(\displaystyle{ z<x}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x<y}\), więc z przechodniości porządku \(\displaystyle{ z<y}\), a więc \(\displaystyle{ z\in O(y)=f(y)}\). Wobec dowolności wyboru \(\displaystyle{ z}\), otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(x) \subset f(y)}\), a więc \(\displaystyle{ f}\) jest monotoniczna, i jest podobieństwem \(\displaystyle{ \square.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \left( X,\le\right) }\) jest tutaj zbiorem dobrze uporządkowanym, a zbiór (liniowo) uporządkowany \(\displaystyle{ \left( \mathcal{R}, \subset \right) }\) jest do niego podobny, to ponieważ dobre uporządkowanie jest przenoszone przez podobieństwo, więc \(\displaystyle{ \left( \mathcal{R}, \subset \right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym. Możemy zatem stosować ten chwyt dowolną skończoną ilość razy otrzymując kolejno \(\displaystyle{ \left( \mathcal{R} \left( X\right) , \subset \right);\left( \mathcal{R}\left( \mathcal{R}\left( X\right) \right) , \subset \right);\ldots }\) zbiory dobrze uporządkowane podobne. Nie mniej jednak różne, i dla \(\displaystyle{ n}\)-tej takiej rodziny jej pierwsze \(\displaystyle{ n}\)-elementów, to pierwsze \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych von Neumanna. Hm, kto by się ich tu spodziewał, a jednak. Więcej o tym pisałem tutaj

Szkoda tylko, że nikt tego mi nie sprawdził.

[Jakub Gurak]

Jeśli natomiast zbiór liniowo uporządkowany jest gęsty, to rodzina jego wszystkich istotnych przedziałów początkowych jest liniowo uporządkowana przez inkluzję, ale nie koniecznie w sposób gęsty. Aby to uzasadnić rozważmy zbiór liczb wymiernych z naturalnym porządkiem- zbiór liniowo uporządkowany gęsty. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ \mathcal{R(\QQ)} }\) rodzinę jego istotnych przedziałów początkowych uporządkowaną przez inkluzję. Wiemy , że dla zbioru \(\displaystyle{ X}\), inkluzja na każdej rodzinie podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) jest relacją porządku, skąd \(\displaystyle{ \subset}\) na \(\displaystyle{ \mathcal{R(\QQ)}}\) jest również relacją porządku, i \(\displaystyle{ \left(\mathcal{R}(\QQ),\subset\right) }\) jest zbiorem uporządkowanym. Łatwo sprawdzić, że dla zbioru liniowo uporządkowanego \(\displaystyle{ X}\) rodzina jego wszystkich (łącznie z całym zbiorem \(\displaystyle{ X}\)) przedziałów początkowych jest wręcz liniowo uporządkowana przez inkluzję( i również rodzina wszystkich istotnych (różnych od \(\displaystyle{ X}\)) przedziałów początkowych jest liniowo uporządkowana przez inkluzję), skąd rodzina \(\displaystyle{ \mathcal{R(\QQ)}}\) jest liniowo uporządkowana przez inkluzję, i \(\displaystyle{ \left( \mathcal{R(\QQ)},\subset\right) }\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym. Jednak nie jest to porządek gęsty. Aby to uzasadnić, rozważmy zbiór liczb wymiernych ujemnych \(\displaystyle{ \QQ_{-}}\), istotny przedział początkowy zbioru \(\displaystyle{ \QQ}\), zatem \(\displaystyle{ \QQ_{-}\in\mathcal{R(\QQ)}}\), oraz zbiór \(\displaystyle{ \QQ_{-}\cup\left\{ 0\right\}=\overline {O(\left( 0\right)}}\) istotny (bo np. \(\displaystyle{ 1\in\QQ \setminus \overline {O(\left( 0\right)}}\) przedział początkowy zbioru \(\displaystyle{ \QQ}\), a więc \(\displaystyle{ \QQ_{-}\cup\left\{ 0\right\}\in\mathcal{R}\left( \QQ\right)}\). Wtedy niewątpliwie \(\displaystyle{ \QQ_{-}\subset \QQ_{-}\cup\left\{ 0\right\}}\). Jeśli przedział początkowy \(\displaystyle{ A}\) lezy pomiędzy \(\displaystyle{ \QQ_{-}}\) a \(\displaystyle{ \QQ_{-} \cup \left\{ 0\right\}}\), to \(\displaystyle{ \QQ_{-}\subset A \subset \QQ_{-}\cup \left\{ 0\right\}}\), to \(\displaystyle{ A=\QQ_{-}}\) lub \(\displaystyle{ A=\QQ_{-}\cup \left\{ 0\right\}}\), wobec czego pomiędzy zbiorami \(\displaystyle{ \QQ_{-}}\) a \(\displaystyle{ \QQ_{-}\cup \left\{ 0\right\}}\) nie można włożyć zbioru pośredniego, a więc \(\displaystyle{ \left( \mathcal{R}\left(\QQ\right),\subset \right) }\) nie jest gęsty, i zbiory uporządkowane \(\displaystyle{ \left(\mathcal{R}\left(\QQ\right), \subset \right) }\) i \(\displaystyle{ \left(\QQ,\le \right) }\) nie są podobne.

Podobnie jeśli zbiór liniowo uporządkowany jest ciągły, to rodzina jego wszystkich istotnych przedziałów początkowych jest liniowo uporządkowana przez inkluzję, ale nie koniecznie w sposób ciągły. Weżmy \(\displaystyle{ \RR}\) z naturalnym porządkiem- zbiór liniowo uporządkowany ciągły. Wtedy podobnie wystarczy rozważyć przedziały początkowe: zbiór liczb rzeczywistych ujemnych \(\displaystyle{ \RR_{-}}\) i zbiór liczb rzeczywistych ujemnych wraz z zerem, wtedy \(\displaystyle{ \RR_{-}\subset \RR_{-}\cup\left\{ 0\right\}}\), i podobnie nie da się pomiędzy tymi zbiorami włożyć zbioru pośredniego, a więc ten porządek nie jest gęsty, a więc nie jest ciągły, i zbiory uporządkowane \(\displaystyle{ \left( \mathcal{R}\left( \RR\right), \subset \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( \RR, \le \right) }\) nie są podobne.

w zbiorze liniowo uporządkowanym suma dowolnej niepustej rodziny przedziałów początkowych jest przedziałem początkowym. Trzy dni temu wykazałem, że również przekrój dowolnej niepustej rodziny przedziałów początkowych jest przedziałem początkowym

Niech zatem \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) rodziną wszystkich przedziałów początkowych uporządkowaną liniowo przez inkluzję. Wtedy dla dowolnej niepustej rodziny przedziałów początkowych \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), mamy \(\displaystyle{ \bigcap {A} }\) jest przedziałem początkowym, i jest to infimum takiej rodziny przedziałów początkowych. Np. jeśli \(\displaystyle{ X=\RR_{+} \cup\left\{ 0\right\}}\) zbiór z naturalnym porządkiem, oraz jeśli rozważymy przeliczalną rodzinę przedziałów początkowych \(\displaystyle{ \left\{ A_n\right\} n\in\NN_{+}}\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ A_n}\) dane są jako \(\displaystyle{ A_n=\left[ 0,\frac{1}{n} \right]}\) , to wtedy \(\displaystyle{ \bigcap_{n\in\NN} A_n=\left\{ 0\right\} }\)jest przedziałem początkowym, i jest to takie infimum takich przedziałów początkowych. Formalnie, w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}, \subset \right)}\) każdy niepusty podzbiór ma infimum (dokładnie) jedno, więc również każdy niepusty łańcuch ma dokładnie jedno infimum( choć to tu, to chyba to samo, bo jesteśmy w rodzinie liniowo uporządkowanej, a w zbiorze liniowo uporządkowanym każdy podzbiór jest łańcuchem).

Podobnie dla supremum, dla dowolnej niepustej rodziny przedziałów początkowych \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), mamy \(\displaystyle{ \bigcup {A} }\) jest przedziałem początkowym (niekoniecznie istotnym, może być też równym całemu zbiorze \(\displaystyle{ X}\)), i jest to supremum takiej rodziny przedziałów początkowych. Formalnie, w \(\displaystyle{ \left( \mathbb{B}, \subset\right)}\) każdy niepusty podzbiór ma supremum (dokładnie jedno), więc również każdy niepusty łańcuch ma dokładnie jedno supremum. Jest to już dla mnie szósty przykład, (czy też może rodzina przykładów) na zbiór uporządkowany, w którym każdy niepusty łańcuch(choć często nie ma również problemu z łańcuchem pustym) ma supremum.

[Jakub Gurak]

Udowodniłem wczoraj (i dziś), że jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym, to albo \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=O(x)=\left\{ z\in X: \ z<x\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), albo \(\displaystyle{ A}\) jest postaci \(\displaystyle{ A=\overline {O(y)}=\left\{ z\in X: \ z \le y\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ y\in X.}\) Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.

Zacznijmy może najpierw od obserwacji, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) nie każdy przedział początkowy różny od \(\displaystyle{ X}\) nie musi być postaci \(\displaystyle{ O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\). Wystarczy rozważyć zbiór liczb rzeczywistych z naturalnym porządkiem (liniowym), a za przedział początkowy wziąć \(\displaystyle{ \RR _{-} \cup \left\{ 0\right\} =\overline {O(0)}}\)- zbiór liczb rzeczywistych ujemnych wraz z zerem. Jest to nie wątpliwie przedział początkowy w \(\displaystyle{ \RR}\) różny od \(\displaystyle{ \RR}\). Łatwo się przekonać, że nie może on być postaci \(\displaystyle{ O(x)}\), dla żadnej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x\in\RR.}\)

Podobnie można się przekonać, że w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) nie każdy przedział początkowy \(\displaystyle{ X}\) różny od \(\displaystyle{ X}\) nie musi być postaci \(\displaystyle{ \overline {O(x)}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\)

Co więcej, w zbiorze liniowo uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) nie każdy niepusty i różny od \(\displaystyle{ X}\) przedział początkowy jest jednej z tych dwóch postaci. Aby to pokazać rozważmy zbiór liczb rzeczywistych bez zera z naturalnym porządkiem, a jako przedział początkowy weźmy zbiór liczb rzeczywistych ujemnych \(\displaystyle{ \RR_{-}}\). Jest to przedział początkowy, gdyż jeśli \(\displaystyle{ x\in \RR_{-}, y\in \RR \setminus \left\{ 0\right\} , y<x}\), to \(\displaystyle{ y\in \RR_{-}}\) (to należy pokazać) ,ale to jest dość oczywiste, gdyż wtedy \(\displaystyle{ y<x<0}\), a więc \(\displaystyle{ y<0.}\) A więc jest to przedział początkowy w \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0\right\} }\). Ponieważ \(\displaystyle{ 0\not\in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) , to \(\displaystyle{ \RR_{-}}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ O(x)}\), dla żadnego \(\displaystyle{ x\in\RR \setminus \left\{ 0\right\} }\), (byłby postaci \(\displaystyle{ O(0)}\), ale \(\displaystyle{ 0}\) nie należy do naszego zbioru \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) ), jak również \(\displaystyle{ \RR_{-}}\) nie jest postaci \(\displaystyle{ \overline {O(x)}}\), dla żadnego \(\displaystyle{ x\in \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\), łatwo się o tym można przekonać.

Zauważmy, że przyczyną takiego stanu rzeczy było to, że \(\displaystyle{ 0}\) było luką w \(\displaystyle{ \RR \setminus \left\{ 0\right\}}\) , stąd zacząłem podejrzewać, ze w zbiorach liniowo uporządkowanych ciągłych (gdzie nie ma luk) już tak nie jest, co udowodniłem. Wykażemy zatem, że:

Jeśli \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym ciągłym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) niepustym i różnym od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedziałem początkowym, to \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), lub \(\displaystyle{ A=\overline {O(x)}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X.}\)

Dowód:

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) ma element największy \(\displaystyle{ a\in A}\), to \(\displaystyle{ A=\overline {O(a)}, a\in X}\).

Dowód:    

Niech \(\displaystyle{ x\in\overline {O(a)}. }\) Wtedy \(\displaystyle{ x \le a\in A}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, a \(\displaystyle{ x\in X, x \le a\in A,}\) więc również \(\displaystyle{ x\in A}\). Co dowodzi inkluzji w jedną stronę \(\displaystyle{ \overline{O(a)} \subset A}\). Aby pokazać inkluzję w drugą stronę, to niech \(\displaystyle{ x\in A}\), ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ x\le a}\), a więc \(\displaystyle{ x\in\overline{O(a)}}\). Tak więc \(\displaystyle{ A\subset \overline {O(a)}}\), i \(\displaystyle{ A=\overline{O(a)}.}\)

Rozważmy teraz przypadek, gdy w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego. Ponieważ \(\displaystyle{ A \neq X}\), to \(\displaystyle{ \emptyset \neq X\not\subset A}\), a zatem zaprzeczając definicji inkluzji otrzymujemy, że istnieje element \(\displaystyle{ x\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\). Ja teraz stwierdzam, że \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\).

dowód:    

Aby pokazać, że \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), to weźmy \(\displaystyle{ y\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ y \le x}\). Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy \(\displaystyle{ x,y\in X}\), ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany liniowo \(\displaystyle{ y\not \le x}\), więc musi być \(\displaystyle{ y>x}\), ponieważ \(\displaystyle{ x<y\in A}\), a zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, więc wnioskujemy, że również \(\displaystyle{ x\in A}\), a mamy, że \(\displaystyle{ x\not\in A}\)-sprzeczność.

Zatem \(\displaystyle{ x}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem ograniczonym od góry i niepustym, a porządek na \(\displaystyle{ X}\) jest ciągły, więc taki niepusty zbiór \(\displaystyle{ A}\) ograniczony od góry ma supremum \(\displaystyle{ a\in X.}\) Po pierwsze zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ a\not\in A}\). (Gdyby \(\displaystyle{ a\in A}\), ale \(\displaystyle{ a}\) jako supremum dla \(\displaystyle{ A}\) jest jego ograniczeniem górnym, zatem \(\displaystyle{ a\in A}\) i \(\displaystyle{ a}\) jest większe lub równe od każdego elementu \(\displaystyle{ A}\), zatem \(\displaystyle{ a}\) jest elementem największym \(\displaystyle{ A}\), co jest sprzeczne z założeniem, że w \(\displaystyle{ A}\) nie ma elementu największego).
Ja teraz stwierdzam, że \(\displaystyle{ A=O(a).}\)
Aby to wykazać, to niech \(\displaystyle{ b\in O(a).}\) Wtedy \(\displaystyle{ b\in X, b<a}\). Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ b\not\in A.}\) Ja teraz stwierdzam, że wtedy \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\).

Dowód:    

Weźmy \(\displaystyle{ c\in A}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ c \le b}\). Przypuśćmy, że tak nie jest. Ponieważ \(\displaystyle{ c\not \le b, b,c\in X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest uporządkowany liniowo, więc musi być \(\displaystyle{ c>b}\), a ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest przedziałem początkowym, i \(\displaystyle{ b<c\in A}\), więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ b\in A}\)-sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ c \le b}\), i \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest supremum dla \(\displaystyle{ A}\), czyli najmniejszym ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), a \(\displaystyle{ b}\) jest ograniczeniem górnym \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ a \le b}\), a \(\displaystyle{ b<a}\)-sprzeczność. Wobec czego musi być \(\displaystyle{ b\in A}\), a zatem \(\displaystyle{ O(a)\subset A}\). Pozostaje wykazać drugą inkluzję, to jednak jest proste:

Prosty dowód:    

Niech \(\displaystyle{ b\in A}\), wtedy \(\displaystyle{ b\in X}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\), to \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), mamy \(\displaystyle{ b\in A}\), wiec \(\displaystyle{ a \ge b.}\) Pozostaje wykluczyć równość \(\displaystyle{ a=b}\). Ale gdyby byłoby \(\displaystyle{ a=b\in A}\), to oczywiście \(\displaystyle{ a\in A}\), a mamy \(\displaystyle{ a\not\in A}\)-sprzecznosć. Wobec czego \(\displaystyle{ a \neq b}\), a zatem \(\displaystyle{ a>b}\), a stąd \(\displaystyle{ b\in O(a). }\)

A zatem \(\displaystyle{ A=O(a). \square}\)


Udowodnijmy jeszcze, że w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right) }\), niepusty i różny od całego zbioru \(\displaystyle{ X}\) przedział początkowy \(\displaystyle{ A}\), jest postaci \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\) albo \(\displaystyle{ A=\overline {O(y)}}\), gdzie \(\displaystyle{ y\in X}\) (tzn. że nie może być obu tych postaci).

Dowód:

Wiemy już, że przedział początkowy \(\displaystyle{ A}\) jest jedną z tych postaci. Przypuśćmy, nie wprost, że jest obu tych postaci, Tzn. \(\displaystyle{ A=O(x)}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\), i \(\displaystyle{ A=\overline{O(y)}}\), gdzie \(\displaystyle{ y\in X.}\) Niewątplwie \(\displaystyle{ O(x) \neq \overline {O(x)}}\), a więc \(\displaystyle{ x \neq y.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ y<x}\), ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le}\) jest ciągły, a wiec i gęsty, więc otrzymujemy pewien element \(\displaystyle{ z\in X}\), taki, że \(\displaystyle{ y<z<x}\). Wtedy \(\displaystyle{ z\in O(x)=A}\), lecz \(\displaystyle{ z\not\in \overline {O(y)}=A}\) (gdyby byłoby \(\displaystyle{ z\in\overline {O(y)}}\), to byłoby \(\displaystyle{ z \le y}\), a \(\displaystyle{ z>y}\)-sprzeczność). A zatem \(\displaystyle{ z\not\in \overline{O(y)}=A}\), i \(\displaystyle{ z\in O(x)=A}\)-sprzeczność.
Ponieważ porządek \(\displaystyle{ \le }\) jest liniowy, więc pozostaje przypadek \(\displaystyle{ y>x}\), podobnie go można sprawdzić, co kończy dowód.\(\displaystyle{ \square}\)

A zatem w zbiorze liniowo uporządkowanym ciągłym \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) sprawa jest czytelna jeśli chodzi o to jak wygładają istotne (różne od całego zbioru ) i niepuste przedzialy poczatkowe: są albo postaci \(\displaystyle{ O(x)=\left\{ z\in X:\ z<X\right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\); albo postaci \(\displaystyle{ \overline {O(x)}=\left\{ z\in X: \ z \le x\right\}}\)gdzie \(\displaystyle{ x\in X}\) -sprawa jasna.