Granica górna i dolna ciągu zbiorów

[jul1a]

Obliczyć \(\displaystyle{ \limsup A_n}\) i \(\displaystyle{ \liminf A_n}\) jeśli:
\(\displaystyle{ A_n = \left( e^{-n} , 1 + \dfrac{(-1)^{n}}{n}\right)}\)

Z definicji \(\displaystyle{ \limsup A_n = \bigcap \bigcup A_n}\) a \(\displaystyle{ \liminf A_n = \bigcup \bigcap A_n }\).Zaczęłam od rozpisania \(\displaystyle{ A_n}\) i zaznczenia pierwszych wyrazów na przedziale wyszło,że \(\displaystyle{ \limsup A_n = \bigcap \bigcup A_n = \left( 0,\dfrac{3}{2}\right) }\), a \(\displaystyle{ \liminf A_n = \bigcup \bigcap A_n =\left( 0,\dfrac{1}{e}\right) }\) w odpowiedziach jest jednak,że \(\displaystyle{ \limsup A_n = \bigcap \bigcup A_n = (0,1] }\) , \(\displaystyle{ \liminf A_n = \bigcup \bigcap A_n = (0,1) }\) nie rozumiem jednak dlaczego tak jest?

[Jan Kraszewski]

Z definicji \(\displaystyle{ \limsup A_n = \bigcap \bigcup A_n}\) a \(\displaystyle{ \liminf A_n = \bigcup \bigcap A_n }\).

Dość marne te definicje dopóki nie napiszesz, po czym sumujesz i po czym kroisz.

JK

[jul1a]

\(\displaystyle{ \limsup_{n\in\NN} \left( e^{-n}, 1+\dfrac{(-1)^{n}}{n}\right) = \bigcap_{n \in \NN} \bigcup^{\infty}_{i=n} \left( e^{-i}, 1+\dfrac{(-1)^{i}}{i}\right)= \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( 0,\dfrac{3}{2}\right) = \left( 0,\dfrac{3}{2}\right) }\)

tak to powinno wyglądać?

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \limsup_{n\in\NN} \left( e^{-n}, 1+\dfrac{(-1)^{n}}{n}\right) = \bigcap_{n \in \NN} \bigcup^{\infty}_{i=n} \left( e^{-i}, 1+\dfrac{(-1)^{i}}{i}\right)\color{red}= \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( 0,\dfrac{3}{2}\right) }\)

Indeksy zgadzają się, ale skąd wzięłaś tę czerwony fragment?

Policz jeszcze raz \(\displaystyle{ \bigcup^{\infty}_{i=n} \left( e^{-i}, 1+\dfrac{(-1)^{i}}{i}\right)}\). Wynik będzie zależał od \(\displaystyle{ n}\).

JK

[jul1a]

to będzie \(\displaystyle{ \bigcap \Big(0,1+ \dfrac{(-1)^{n}}{n} \Big)}\) ?

[Jan Kraszewski]

Nie. Poza tym znów zapominasz o indeksach (choć w sumie tego przekroju w ogóle tam nie powinno być, bo pytałem się o sumę...).

Wynik będzie zależał od parzystości \(\displaystyle{ n}\). Jeżeli masz tylko wyliczyć tę granicę górną, to nie musisz zapisywać tej sumy wzorem, ale powinnaś widzieć, jak ona wygląda. Wtedy zrozumiesz, dlaczego w odpowiedziach jest poprawnie.

JK