pewien niuans

[foundofmath]

Załóżmy, że mamy jedynie aksjomaty (specyficzne) ekstensjonalności, zbioru pustego, pary i wyróżniania. Wówczas możemy rozszerzyć język o (rozumiane standardowo) \(\displaystyle{ \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \bigcap }\) stosowane do zbiorów niepustych, gdyż mamy istnienie i jednoznaczność odpowiednich desygnatów. W systemie tym mamy: Dla każdego niepustego \(\displaystyle{ x}\) istnieje singleton przekroju \(\displaystyle{ x}\) tj. \(\displaystyle{ \forall x (x \neq \emptyset \Rightarrow (\exists z(\forall y (y \in z \Leftrightarrow y=\bigcap x)) ))}\) skąd \(\displaystyle{ \emptyset \neq \emptyset \Rightarrow (\exists z(\forall y (y \in z \Leftrightarrow y=\bigcap \emptyset)) )}\), lecz \(\displaystyle{ \bigcap \emptyset}\) pozostaje nieokreślone. Gdzie jest błąd i jak to poprawić, nie rezygnując z użycia \(\displaystyle{ \emptyset,\bigcap}\) ?

[krl]

Sam piszesz, że \(\displaystyle{ \bigcap}\) stosujesz tylko dla zbiorów niepustych. Dlatego nie jest to typowy "symbol funkcyjny" i nie możesz swobodnie podstawiać w formułach z jego użyciem symbolu \(\displaystyle{ \emptyset}\) za zmienną \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ \bigcap x}\).
Rozszerzenie języka o symbol \(\displaystyle{ \bigcap}\) nie jest tu typowym rozszerzeniem definicyjnym. Ale nadal istnieje tłumaczenie formuł z użyciem tego symbolu na formuły języka \(\displaystyle{ ZF}\), w szczególności można tak przetłumaczyć formułę rozważaną przez Ciebie. To powinno rozwiać Twoje wątpliwości.

[Jakub Gurak]

Nie jestem ekspertem, ale ja to widzę tak:

Dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) definiujemy:

\(\displaystyle{ \bigcap x=\left\{ z \in\bigcup x\Bigl| \ \ \bigwedge\limits_{a \in x} z \in a\right\}.}\)

Widać więc, że zawsze \(\displaystyle{ \bigcap x\subset\bigcup x, }\) więc w szczególności \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset\subset\bigcup\emptyset=\emptyset }\), czyli \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset\subset\emptyset, }\) a ponieważ \(\displaystyle{ \emptyset}\) zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru, więc \(\displaystyle{ \emptyset\subset\bigcap\emptyset.}\) Łącząc te dwa fakty otrzymujemy \(\displaystyle{ \bigcap\emptyset=\emptyset.}\)

Natomiast jeśli rodzina zbiorów \(\displaystyle{ x}\) jest niepusta, to można łatwo udowodnić, że dowony element \(\displaystyle{ z}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcap x }\) gdy z należy do każdego zbioru \(\displaystyle{ a \in x.}\)

Czyli gdy rodzina zbiorów jest niepusta, to przekrój tej rodziny ma znaczenie identyczne z tym używanym w naiwnej teorii mnogości( czyli dla niepustej rodziny \(\displaystyle{ x}\) warunek przynależności do \(\displaystyle{ \bigcup x}\) możemy opuścić (potem stosując definicję przekroju trzeba jeszcze na to uważać, czy rodzina nie jest pusta)).

[Jan Kraszewski]

Dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) definiujemy:

\(\displaystyle{ \bigcap x=\left\{ z \in\bigcup x\Bigl| \ \ \bigwedge\limits_{a \in x} z \in a\right\}.}\)

Nie wiem, czy uważnie przeczytałeś pierwszy post: nie masz aksjomatu sumy.

JK