Operacje na zbiorach dobrze uporządkowanych

[Jan Kraszewski]

No a jak definiujesz sumę porządkową? Nie uważasz, że ta definicja

\(\displaystyle{ \prec=<_{a\times\{0\} } \cup <_{b\times\{1\}} \cup \left((a\times\{0\}) \times (b\times\{1\})\right) }\)

zgodna z tą przytoczoną przez Ciebie powyżej, jest dość niewygodna? Jak dla mnie zdecydowanie lepsza jest wersja

\(\displaystyle{ \left\langle x,i\right\rangle\prec \left\langle y,j\right\rangle\iff... }\)

JK

[Jakub Gurak]

No tak, formalizm nie jest najistotniejszy, ważniejsze rozumienie.

Potrzebuje ścisłej definicji, aby udowodnić łączność dodawania (i może potem rozdzielność mnożenia względem dodawania).

Dowód teraz wydaje mi się oczywisty.

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą liczbami porządkowymi.

Pokażemy, że \(\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c.}\)

Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left( C, \le _{C} \right); }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi rozłącznymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ \left( a, \subset\right); \left( b, \subset\right);\left( c, \subset\right);}\) . Takie zbiory dobrze uporządkowane \(\displaystyle{ A,B,C}\) podobne do nich istnieją, (np.: \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right); \left( b, \subset \right);\left( c, \subset \right)}\), gdyż liczby porządkowe są dobrze uporządkowane przez inkluzję, oraz ponieważ każdy zbiór dobrze uporządkowany jest podobny do siebie samego), ale wtedy nie muszą być rozłączne. Wtedy jednak zbiory \(\displaystyle{ A\times \left\{ 0\right\} ;B \times \left\{ 1\right\} ,C \times \left\{ 2\right\}}\) są rozłączne, i są podobne do \(\displaystyle{ A,B,C}\), z przechodniości podobieństwa są podobne do \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right) ,\left( b, \subset\right); \left( c, \subset\right).}\) A więc takie zbiory dobrze uporządkowane istnieją, oznaczmy je tak jak na początku \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left( C, \le _{C} \right). }\)

Pokazujemy, że zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right)\oplus\left[ \left( B, \le _{B} \right)\oplus\left( C, \le _{C} \right) \right] }\) jest podobny do \(\displaystyle{ \left[ \left( A, \le _{A} \right) \oplus \left( B, \le _{B}\right) \right] \oplus\left( C, \le _{C} \right). }\)

Rozważmy identyczność \(\displaystyle{ I _{A \cup B \cup C} : A \cup \left( B \cup C\right) \rightarrow \left( A\cup B\right) \cup C .}\)

Identyczność jest bijekcją, i jest monotoniczna, gdyż dla \(\displaystyle{ x,y\in A \cup B \cup C}\), mamy

jeśli \(\displaystyle{ x \le_{A\oplus\left( B\oplus C\right) } y}\), to \(\displaystyle{ I_{A \cup B \cup C} \left( x\right) =x \le _{\left( \left( A\oplus B\right)\oplus C \right) } \ I _{A \cup B \cup C} \left( y\right)=y}\) (Dla zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X,Y}\), na zbiorze \(\displaystyle{ X \cup Y}\) sumę porządkową będę oznaczał jako \(\displaystyle{ \le _{X\oplus Y} }\)), I to należy pokazać ( już wiem w czym haczyk leżał).

jeśli \(\displaystyle{ x,y\in A,}\) to \(\displaystyle{ x \le_A y,}\) wtedy \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), i dalej \(\displaystyle{ x \le _{(A\oplus B)\oplus C}y .}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x,y\in C}\), to \(\displaystyle{ x \le _C y,}\) wtedy \(\displaystyle{ x \le _{\left( \left( A\oplus B\right)\oplus C \right) } y.}\)

Pozostają przypadki ( korzystając z rozłączności zbiorów \(\displaystyle{ A,B,C}\))

3.\(\displaystyle{ x\in A, y\in B.}\)

4. \(\displaystyle{ x\in A, y\in C.}\)
5.\(\displaystyle{ x,y\in B.}\)
6-8. \(\displaystyle{ x\in B,y\in A}\) (ale ten przypadek możemy od razu wykluczyć, gdyż z definicji sumy porządkowej każdy element zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest mniejszy od każdego elementu \(\displaystyle{ B \cup C}\)), a mamy \(\displaystyle{ x<_{A\oplus (B\oplus C)}y}\)- sprzeczność. Podobnie od razu wykluczamy przypadki \(\displaystyle{ x\in C, y\in A}\) a także \(\displaystyle{ x\in C, y\in B}\)).
9. \(\displaystyle{ x\in B, y\in C.}\)

Rozważmy je po kolei:
3. Jeśli\(\displaystyle{ x\in A,y\in B}\), wtedy z definicji sumy porządkowej\(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), i \(\displaystyle{ x \le _{(A\oplus B)\oplus C} y.}\)
4. Jeśli \(\displaystyle{ x\in A, y\in C}\), wtedy \(\displaystyle{ x\in A \cup B,y\in C}\), więc z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ x<_{(A\oplus B)\oplus C} y.}\)

5. Jeśli \(\displaystyle{ x,y\in B}\), wtedy \(\displaystyle{ x \le _{B} y}\), wtedy \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus B} y}\), i dalej \(\displaystyle{ x \le _{(A\oplus B)\oplus C} y.}\)

9. Jeśli \(\displaystyle{ x\in B, y\in C}\), to \(\displaystyle{ x\in A \cup B}\), i \(\displaystyle{ x \le_{ (A\oplus B)\oplus C } y}\).

A zatem zawsze mamy: jeśli \(\displaystyle{ x \le _{A\oplus\left( B\oplus C\right) }y}\) , to\(\displaystyle{ I_{A \cup B \cup C} \left( x\right) =x \le_{\left( \left( A\oplus B\right)\oplus C \right) }y=I _{A \cup B \cup C} \left( y\right).}\)

Otrzymujemy zatem, że identyczność jest podobieństwem między \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right)\oplus\left[ \left( B, \le _{B} \right)\oplus\left( C, \le _{C} \right) \right] }\) a \(\displaystyle{ \left[ \left( A, \le _{A} \right) \oplus \left( B, \le _{B}\right) \right] \oplus\left( C, \le _{C} \right). }\), a więc te zbiory dobrze uporządkowane są podobne. Stąd otrzymujemy \(\displaystyle{ a+(b+c)=(a+b)+c}\). A więc dodawanie liczb porządkowych jest łączne. \(\displaystyle{ \square}\)

[Jakub Gurak]

Chyba udało mi się udowodnić rozdzielność mnożenia względem dodawania dla liczb porządkowych. Tzn. wykażemy, że dla dowolnych trzech liczb porządkowych \(\displaystyle{ a,b,c}\) mamy \(\displaystyle{ \left( b+ c\right) \cdot a=\left( b \cdot a\right)+ \left( c \cdot a\right).}\)

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą liczbami porządkowymi. Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left( C, \le _{C} \right) }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right);\left( b, \subset \right) ,\left( c, \subset \right) }\) , ale tak żeby zbiory \(\displaystyle{ B,C}\) były rozłączne. Da się takie zbiory znaleźć, np, \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right); b \times \left\{ 0\right\},c \times \left\{ 1\right\}.}\) Oznaczmy je jako \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right),\left( C, \le _{C} \right).}\) Ponieważ zbiory \(\displaystyle{ B,C}\) są rozłączne, to również zbiory \(\displaystyle{ B \times A}\) i \(\displaystyle{ C \times A}\) są rozłączne- łatwo to nie wprost udowodnić. Zatem nasze zadanie jest poprawnie określone. Przyjmijmy oznaczenia, że dla zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ X,Y}\) sumę porządkową bedę oznaczał jako \(\displaystyle{ \le _{X\oplus Y},}\) a porządek leksykograficzny jako \(\displaystyle{ \le _{X\otimes Y} }\).

Podobieństwem znowu będzie identyczność \(\displaystyle{ I _{\left( B \cup C\right) \times A}:\left( B \cup C\right) \times A \rightarrow \left( B \times A\right) \cup\left( C \times A \right) }\). Jest to bijekcja. Pokażemy, że jest monotoniczna, czyli dla \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right);\left( y _{1},y _{2} \right) \in \left( B \cup C\right) \times A, }\) mamy, że jeśli \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\oplus C \right)\otimes A } \left( y _{1},y _{2} \right),}\) to \(\displaystyle{ I\left( x _{1},x _{2} \right)= \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } I\left( y _{1},y _{2} \right)= \left( y _{1},y _{2} \right).}\) I to należy pokazać.

Rozważmy najpierw przypadek \(\displaystyle{ x _{1}=y _{1}.}\) wtedy z definicji porządku leksykograficznego dostajemy \(\displaystyle{ x _{2} \le _{A} y _{2}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x_{1}=y _{1} \in B\cup C }\). Jeśli \(\displaystyle{ x _{1}= y_1\in B, }\) to ponieważ \(\displaystyle{ x_2\le _{A} y_2}\), więc z definicji porządku leksykograficznego otrzymujemy \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{B\otimes A } \left( y _{1},y _{2} \right) }\), a więc tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } \left( y _{1},y _{2} \right) .}\) Jeśli \(\displaystyle{ x_{1}=y _{1}\in C }\), to rozumujemy symetrycznie.

Rozważmy teraz przypadek \(\displaystyle{ x_1 \neq y_1}\) wtedy \(\displaystyle{ x _{1} \le _{B\oplus C} y_1.}\) Jeśli \(\displaystyle{ x_1,y_1\in B}\), to \(\displaystyle{ x_1 \le _{B} y_1}\) , a zatem \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2\right) \le _{B\otimes A } \left( y _{1},y _{2} \right), }\) a więc tym bardziej \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } \left( y _{1},y _{2} \right)}\) Jeśli \(\displaystyle{ x_1,y_1\in C}\) to rozumujemy symetrycznie. Pozostał (na podstawie definicji sumy porządkowej, gdyż element zbioru \(\displaystyle{ C}\) nie może być mniejszy od elementu zbioru \(\displaystyle{ B}\)- z definicji sumy porządkowej, oraz antysymetrii porządku), więc pozostał przypadek \(\displaystyle{ x_1\in B,y_1\in C}\). Wtedy \(\displaystyle{ \left( x_1,x_2\right) \in B \times A,\left( y_1,y_2\right) \in C \times A}\), zatem z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ \left( x _{1},x _{2} \right) \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right) } \left( y _{1},y _{2} \right) .}\)

Otrzymujemy zatem monotoniczność, i otrzymujemy, że identyczność jest podobieństwem, a więc zbiory dobrze uporządkowane \(\displaystyle{ \left( \left( B \cup C\right) \times A, \le _{\left( B\oplus C\right)\otimes A } \right) }\) oraz \(\displaystyle{ \left( \left( B \cup C\right) \times A, \le _{\left( B\otimes A \right)\oplus \left( C\otimes A\right)} \right) }\) są podobne. A więc odpowiadające im liczby porządkowe są równe, czyli \(\displaystyle{ \left( b+ c\right) \cdot a=\left( b \cdot a\right)+ \left( c \cdot a\right). \square}\)

Oczywiście druga rozdzielność nie musi zachodzić, np. \(\displaystyle{ (\omega+2) \cdot 2=2\omega +2}\) ( \(\displaystyle{ 2\omega+2}\) to już nie są działania na liczbach porządkowych- to jest tylko wynik, zapisany w tradycyjny sposób), natomiast \(\displaystyle{ \left( \omega \cdot 2\right)+\left( 2 \cdot 2\right) =2\omega+4 \neq 2\omega+2. }\)

Mam jeszcze pytanie, czy dla dowolnych liczb porządkowych \(\displaystyle{ a,b,c}\), jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a\neq 0}\), to \(\displaystyle{ b=c.}\)

Myślę, że nie, nawet mam kontrprzykład ale nie jestem jego pewien: \(\displaystyle{ \omega \cdot \omega=\left( \omega+1\right) \cdot \omega }\) ,lecz \(\displaystyle{ \omega \neq \omega+1.}\)

Ale nie jestem pewien czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega+1\right) \cdot \omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \omega+1}\), ciężko mi stwierdzić czy w takim zbiorze będzie ostatni element

[Dasio11]

Tzn. wykażemy, że dla dowolnych trzech liczb porządkowych \(\displaystyle{ a,b,c}\) mamy \(\displaystyle{ \left( b+ c\right) \cdot a=\left( b \cdot a\right)+ \left( c \cdot a\right).}\)
[...]
Oczywiście druga rozdzielność nie musi zachodzić, np. \(\displaystyle{ (\omega+2) \cdot 2=2\omega +2}\) ( \(\displaystyle{ 2\omega+2}\) to już nie są działania na liczbach porządkowych- to jest tylko wynik, zapisany w tradycyjny sposób), natomiast \(\displaystyle{ \left( \omega \cdot 2\right)+\left( 2 \cdot 2\right) =2\omega+4 \neq 2\omega+2. }\)

Jeśli już musisz posługiwać się niestandardową definicją mnożenia liczb porządkowych (która względem definicji standardowej różni się kolejnością mnożenia), to chociaż trzymaj się jej konsekwentnie, żeby nie pisać dwóch sprzecznych stwierdzeń w jednym poście.

[Jakub Gurak]

pomyłka, niedopatrzenie

[Jakub Gurak]

Mam pytanie, czy jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to czy zachodzi implikacja:

\(\displaystyle{ a<b \rightarrow c+a<c+b }\) ?? (silne nierówności)?

Myślę, że tak, uzasadniam to w ten sposób, że ponieważ \(\displaystyle{ a<b }\) to \(\displaystyle{ a \subset b}\), oraz \(\displaystyle{ a \neq b}\), niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left(C, \le _{C}\right) }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ a,b,c}\), tak, że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ A}\) są rozłączne, oraz że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, wtedy suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( C, \le _{C} \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right) }\) jest określoną na istotnym podzbiorze \(\displaystyle{ C \cup B}\), na którym to zbiorze jest określoną suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\), zatem \(\displaystyle{ c+a<c+b, }\) wystarczy

Liczbami porządkowymi nie operuje najsprawniej, to już są dla mnie bardziej abstrakcyjne rzeczy.

Mam jeszcze dwa pytania, czy jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to czy zachodzi implikacja:

\(\displaystyle{ a \le b \rightarrow a+ c \le b+c }\)?

Oraz czy jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to czy \(\displaystyle{ b= c}\)??

Myślę, że nie, nawet mam kontrprzykład, ale nie wiem czy dobry:

\(\displaystyle{ \omega \cdot \omega=\left( \omega+1\right)\cdot\omega,}\) lecz \(\displaystyle{ \omega\neq\omega +1}\).

Ale nie jestem pewny czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right)\cdot\omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right) }\), czy to będzie to samo co \(\displaystyle{ \omega\cdot\omega}\)

[Jan Kraszewski]

Mam pytanie, czy jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to czy zachodzi implikacja:

\(\displaystyle{ a<b \rightarrow c+a<c+b }\) ?? (silne nierówności)?

Zachodzi.

Myślę, że tak, uzasadniam to w ten sposób, że ponieważ \(\displaystyle{ a<b }\) to \(\displaystyle{ a \subset b}\), oraz \(\displaystyle{ a \neq b}\), niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right);\left(C, \le _{C}\right) }\) będą zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi odpowiednio do \(\displaystyle{ a,b,c}\), tak, że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ A}\) są rozłączne, oraz że zbiory \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\) są rozłączne, wtedy suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ \left( C, \le _{C} \right) }\) i \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right) }\) jest określoną na istotnym podzbiorze \(\displaystyle{ C \cup B}\), na którym to zbiorze jest określoną suma porządkowa zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ B}\), zatem \(\displaystyle{ c+a<c+b, }\) wystarczy

Nie (choć intuicja jest dobra). To, co napisałeś, nie jest prawdą - zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mogą nie mieć ze sobą nic wspólnego. Jak chcesz porządne uzasadnienie, to odwołaj się np. do definicji dodawania za pomocą typów porządkowych.

Mam jeszcze dwa pytania, czy jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to czy zachodzi implikacja:

\(\displaystyle{ a \le b \rightarrow a+ c \le b+c }\)?

Zachodzi.

Oraz czy jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to czy \(\displaystyle{ b= c}\)??

Nie zachodzi: \(\displaystyle{ 1\cdot\omega=2\cdot\omega=\omega.}\)

Myślę, że nie, nawet mam kontrprzykład, ale nie wiem czy dobry:

\(\displaystyle{ \omega \cdot \omega=\left( \omega+1\right)\cdot\omega,}\) lecz \(\displaystyle{ \omega\neq\omega +1}\).

Ale nie jestem pewny czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right)\cdot\omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right) }\), czy to będzie to samo co \(\displaystyle{ \omega\cdot\omega}\)

To jest prawda, ale uzasadnienie tego jest nie całkiem trywialne - spróbuj to zrobić.

JK

[Jakub Gurak]

Ale nie jestem pewny czym będzie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right)\cdot\omega }\)- \(\displaystyle{ \omega}\)-krotne odmierzenie \(\displaystyle{ \left( \omega +1 \right) }\)

Oraz czy jeśli \(\displaystyle{ b \cdot a=c \cdot a}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq 0}\) to czy \(\displaystyle{ b= c}\)??

Nie zachodzi: \(\displaystyle{ 1\cdot\omega=2\cdot\omega=\omega.}\)

Nie o to mi chodziło, to znam, chodziło mi o drugą skracalność mnożenia. No ale to ja chyba znowu namieszałem z kolejnością mnożenia czynników. Przepraszam. Czy zatem zachodzi skracalność mnożenia liczb porządkowych z lewej strony( przez liczbę porządkową różną od zera)??

[Jan Kraszewski]

Czy zatem zachodzi skracalność mnożenia liczb porządkowych z lewej strony( przez liczbę porządkową różną od zera)??

Tak. Dowód nie jest trudny - wystarczy pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \alpha\ne 0}\) i \(\displaystyle{ \beta<\gamma}\), to \(\displaystyle{ \alpha\cdot\beta<\alpha\cdot\gamma.}\)

JK

[Jakub Gurak]

Ta własność wynika pewnie stąd, że jeśli \(\displaystyle{ B \subsetneq C}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, to \(\displaystyle{ A \times B \subsetneq A \times C}\) , co jest oczywiste. Dobrze myślę, w ten sposób

A jeśli \(\displaystyle{ \alpha\cdot\beta= \alpha\cdot \gamma }\), \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\), gdyby \(\displaystyle{ \beta\neq\gamma }\), to \(\displaystyle{ \beta <\gamma }\) lub \(\displaystyle{ \gamma<\beta }\). Jeśli \(\displaystyle{ \beta<\gamma}\), to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta< \alpha \cdot \gamma }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma }\)- sprzeczność z założeniem. Jeśli \(\displaystyle{ \gamma< \beta }\) , to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \gamma< \alpha \cdot \beta }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma}\)- sprzeczność.\(\displaystyle{ \square }\) Dobrze

(Potrzebowałem sobie rozpisać )

[Jan Kraszewski]

Ta własność wynika pewnie stąd, że jeśli \(\displaystyle{ B \subsetneq C}\) oraz zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepusty, to \(\displaystyle{ A \times B \subsetneq A \times C}\) , co jest oczywiste. Dobrze myślę, w ten sposób

To zdecydowanie za mało. Musisz skorzystać z definicji mnożenia liczb porządkowych.

A jeśli \(\displaystyle{ \alpha\cdot\beta= \alpha\cdot \gamma }\), \(\displaystyle{ \alpha \neq 0}\), gdyby \(\displaystyle{ \beta\neq\gamma }\), to \(\displaystyle{ \beta <\gamma }\) lub \(\displaystyle{ \gamma<\beta }\). Jeśli \(\displaystyle{ \beta<\gamma}\), to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta< \alpha \cdot \gamma }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma }\)- sprzeczność z założeniem. Jeśli \(\displaystyle{ \gamma< \beta }\) , to Pana fakt daje, że \(\displaystyle{ \alpha \cdot \gamma< \alpha \cdot \beta }\), a więc \(\displaystyle{ \alpha \cdot \beta \neq \alpha \cdot \gamma}\)- sprzeczność.\(\displaystyle{ \square }\) Dobrze

Tak.

JK

[Jakub Gurak]

Czy na zbiorze liczb naturalnych można określić przynajmniej dwa niepodobne do siebie dobre porządki?

Można zatem zadać pytanie analogiczne: Czy na zbiorze liczb całkowitych ujemnych wraz z zerem można określić dwa niepodobne do siebie dobre porządki ?? Wczoraj udało się to zadanie rozwiązać- tak można je określić. Przedstawię teraz dowód tego ciekawego faktu.


Intuicyjnie rzecz biorąc, tymi dwoma porządkami na zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) , będą porządki \(\displaystyle{ \le_1}\) i \(\displaystyle{ \le _2}\), dane jako:

\(\displaystyle{ 0<_1 - 1<_1 -2 <_1 -3 <_1 \ldots ;}\)

oraz

\(\displaystyle{ -1<_2 -2< _2 -3 <_2\ldots <_2 0.}\)

Przedstawię teraz formalizację tych obserwacji.

Łatwo jest zauważyć, że funkcja \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\), dana jako:

\(\displaystyle{ f(n)=-n}\),

jest dobrze określoną bijekcją. A zatem również funkcja do niej odwrotna \(\displaystyle{ f ^{-1}:\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \rightarrow \NN}\) jest bijekcją. Skorzystamy teraz z twierdzenia:

Jeśli (\(\displaystyle{ X, \le _X)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym, a \(\displaystyle{ Y}\) jest zbiorem równolicznym z \(\displaystyle{ X}\) (wtedy istnieje bijekcja z \(\displaystyle{ Y}\) w \(\displaystyle{ X}\)) , i wtedy dla każdej bijekcji \(\displaystyle{ f:Y \rightarrow X}\), relacja \(\displaystyle{ \le _Y}\) na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\), dana jako:

\(\displaystyle{ y_1 \le_Y y_2 \Longleftrightarrow f\left( y_1\right) \le _X f(y_2)}\),

jest relacją liniowego porządku na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\)- łatwo można to udowodnić- jedynie przy dowodzie antysymetrii trzeba skorzystać z różnowartościowości bijekcji \(\displaystyle{ f}\), reszta jest dość oczywista.

Wracając do naszego zadania. Mamy, że funkcja \(\displaystyle{ f^{-1}:\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} \rightarrow \NN}\) jest bijekcją, oraz zbiór \(\displaystyle{ \NN}\) ze zwykłym porządkiem jest uporządkowany w sposób liniowy. Stosując zatem przytoczony fakt otrzymujemy, że relacja \(\displaystyle{ \le _{\ZZ_-}}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}}\) , dana jako:

\(\displaystyle{ x_1 \le _{\ZZ_-} x_2 \Longleftrightarrow \NN \ni -x_1= f ^{-1}(x_1) \le f ^{-1} (x_2)= -x_2\in \NN}\) ,

jest porządkiem liniowym na zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} .}\)

Wtedy porządek \(\displaystyle{ \le _{\ZZ_-}}\) jest podobny do zwykłego porządku \(\displaystyle{ \le}\) na zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \left( \NN, \le \right)}\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, a własność bycia zbiorem dobrze uporządkowanym jest przenoszona przez podobieństwo, więc również zbiór liniowo uporządkowany \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}, \le _{\ZZ_-}\right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym.

Ponieważ każdy podzbiór zbioru dobrze uporządkowanego jest dobrze uporządkowany, więc zbiór liczb całkowitych ujemnych (bez zera) \(\displaystyle{ \ZZ_-}\) z porządkiem \(\displaystyle{ \le _X:= \left( \le _{\ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} }\right) _{|\ZZ_-} }\) , czyli z poprzednim porządkiem z wyrzuconym zerem , taki zbiór jest zbiorem dobrze uporządkowanym, (a więc i liniowo).

Również \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\) jest liniowo uporządkowany przez porządek identycznościowy \(\displaystyle{ \le_0}\) (nawiasem mówiąc, mamy tu odpowiedź na pytanie: czy porządek identycznościowy na niepustym zbiorze może być liniowym porządkiem ) . Zbiory \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\} }\) i \(\displaystyle{ \ZZ_- }\) są rozłączne, gdyż \(\displaystyle{ 0\not\in \ZZ_-}\). W takim razie możemy rozważać sumę porządkową \(\displaystyle{ \ZZ_-\oplus \left\{ 0\right\}}\) , która jest liniowym porządkiem na \(\displaystyle{ \ZZ_- \cup \left\{ 0 \right\}}\), a ponieważ zbiór \(\displaystyle{ \ZZ_-}\) jest dobrze uporządkowany, a \(\displaystyle{ 0 \not\in \ZZ_-}\), więc ponieważ mamy taki prosty fakt, że jeśli do zbioru dobrze uporządkowanego dodamy jeden element spoza zbioru, gdy go dodamy, jako element największy, to otrzymamy zbiór dalej dobrze uporządkowany- dowód tego faktu można znaleźć chyba nawet w tym wątku, a zatem zbiór uporządkowany \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\}, \le _2:= \le _X \oplus \le _0 \right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym.

Zauważmy, że w poprzednim zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} , \le _{\ZZ_-}\right) }\) nie ma elementu największego, gdyż gdyby w tym zbiorze byłby element największy, to w zbiorze do niego podobnym \(\displaystyle{ (\NN, \le )}\) również byłby element największy, a więc w zbiorze liczb naturalnych byłaby liczba największa - sprzeczność. A zatem w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} , \le _{\ZZ_-}\right) }\) nie ma elementu największego.

Zauważmy, że w zbiorze liczb całkowitych ujemnnych wraz z zerem z tym porządkiem \(\displaystyle{ \le _2}\), wtedy \(\displaystyle{ 0}\) jest elementem największym (gdyż rozważanym tu porządkiem- jest to suma porządkowa \(\displaystyle{ \ZZ_-\oplus \left\{ 0\right\}}\), a formalnie dlatego, że \(\displaystyle{ 0}\) jest elementem największym zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 0\right\}}\), a więc jest również elementem największym sumy porządkowej \(\displaystyle{ \ZZ_-\oplus \left\{ 0\right\} }\)- ) , a w \(\displaystyle{ \left( \ZZ_- \cup \left\{ 0\right\} , \le _{\ZZ_-}\right) }\) nie ma elementu największego. Wobec czego te dwa porządki nie mogą być podobne (gdyż podobieństwo zachowuje elementy największe), czyli na zbiorze liczb całkowitych ujemnnych wraz z zerem mamy dwa niepodobne do siebie dobre porządki.\(\displaystyle{ \square}\)


Jest też zadanie z ważniaka: Czy aby dobrze uporządkować zbiór liczb całkowitych potrzebny jest aksjomat wyboru??- odpowiedź brzmi nie. No bo ja bym go uporządkował w poniższy sposób:

\(\displaystyle{ 0<-1<1<-2<2<\ldots }\)

[Jakub Gurak]

W dzisiejsze popołudnie spróbowałem udowodnić poniższe prawo liczb porządkowych:

Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są liczbami porządkowymi, to zachodzi implikacja:

\(\displaystyle{ a<b \Longrightarrow c+a<c+b.}\)

Przedstawię teraz dowód tego faktu i proszę o jego sprawdzenie- nie jestem mistrzem liczb porządkowych.


DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech \(\displaystyle{ a,b,c}\) będą liczbami porządkowymi, takimi, że \(\displaystyle{ a<b}\).

Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _A\right); \left( B, \le _{B} \right); \left( C, \le _C\right)}\) będą trzema zbiorami dobrze uporządkowanymi podobnymi do odpowiednich im zbiorom dobrze uporządkowanym: \(\displaystyle{ \left( a, \subset \right) ; \left( b, \subset \right) ; \left( c, \subset \right) }\), takimi, że zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A \cup B}\)( innymi słowy: zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest rozłączny zarówno ze zbiorem \(\displaystyle{ A}\) jak i ze zbiorem \(\displaystyle{ B}\)), aby można było wykonać dodawanie: \(\displaystyle{ c+a}\), jak i \(\displaystyle{ c+b.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ a<b}\), więc zbiór dobrze uporządkowany \(\displaystyle{ A}\) jest podobny do pewnego istotnego przedziału początkowego \(\displaystyle{ A' }\) zbioru \(\displaystyle{ \left( B, \le _{B}\right) }\), tzn. \(\displaystyle{ A \approx A'}\), gdzie zbiór \(\displaystyle{ A' }\) jest przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ \left( B, \le _B\right)}\) i \(\displaystyle{ A' \subsetneq B }\). Istnieje więc podobieństwo \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A'. }\)

Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie funkcją identyczności na zbiorze \(\displaystyle{ C}\)- jest to bijekcja z \(\displaystyle{ C}\) do \(\displaystyle{ C}\), i jest monotoniczna, wobec czego \(\displaystyle{ g= I_C}\) jest podobieństwem.

Wtedy \(\displaystyle{ h= f \cup g}\) jest bijekcją, jako suma bijekcji \(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\) o rozłącznych dziedzinach (\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ C}\)) i o rozłącznych przeciwdziedzinach \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ C}\). Zbiory \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ C}\) są rozłączne, gdyż:

\(\displaystyle{ \underbrace {A' }_{ \subset B} \cap C\subset B \cap C= }\)

i ponieważ zbiory \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\) są rozłączne, więc ten przekrój jest pusty. Wobec czego również \(\displaystyle{ A' \cap C= \left\{ \right\},}\) i zbiór \(\displaystyle{ A'}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ C}\).

A zatem \(\displaystyle{ h= f \cup g,}\) jest bijekcją, jako suma dwóch bijekcji o rozłączych dziedzinach i o rozłącznych przeciwdziedzinach. Jest to bijekcja ze sumy dziedzin \(\displaystyle{ A \cup C}\) w sumę przeciwdziedzin \(\displaystyle{ A' \cup C}\). Czyli również \(\displaystyle{ h:C \cup A \rightarrow C \cup A'}\)- jest to funkcja z \(\displaystyle{ C \cup A}\) w \(\displaystyle{ C \cup A'.}\)

Wykażemy, że zbiór \(\displaystyle{ C \cup A'}\) jest przedziałem początkowym zbioru dobrze uporządkowanego \(\displaystyle{ \left( C \cup B, \le _C \oplus \le _B\right).}\)

Niewątpliwie \(\displaystyle{ C \cup \underbrace{A'}_ { \subset B} \subset C \cup B}\), jak trzeba.
Aby wykazać, że jest to przedział początkowy w zbiorze \(\displaystyle{ \left( C \cup B, \le _C \oplus \le _B\right)}\) , to niech \(\displaystyle{ x\in C \cup A',}\) i niech \(\displaystyle{ y \in C \cup B}\), będzie takim elementem, że \(\displaystyle{ y \le _{C\oplus B} x}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ y \in C \cup A'.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ y \in C}\), to od razu \(\displaystyle{ y \in C \cup A'.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ y\not\in C}\), to musi być \(\displaystyle{ y \in B}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ y \le _{C\oplus B} x}\), mamy \(\displaystyle{ x\in C \cup B}\), więc \(\displaystyle{ x\not \in C}\) ( w przeciwnym razie ponieważ \(\displaystyle{ y \in B}\), więc z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ \le _{C\oplus B }}\) moglibyśmy wnioskować, że \(\displaystyle{ x< _{C\oplus B}y}\)- sprzeczność). Wobec czego \(\displaystyle{ x\not \in C}\), wobec czego \(\displaystyle{ x \in B}\). Mamy też \(\displaystyle{ y \in B}\), i \(\displaystyle{ y \le _{C\oplus B} x}\), a więc, z definicji sumy porządkowej, otrzymujemy: \(\displaystyle{ y \le _B x}\), a \(\displaystyle{ x \in C \cup A'}\) i \(\displaystyle{ x\not \in C}\), więc \(\displaystyle{ x \in A' }\). Zbiór \(\displaystyle{ A'}\) jest przedziałem początkowym w zbiorze \(\displaystyle{ B}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ y \le _B x \in A'}\), więc wnioskujemy, że \(\displaystyle{ y \in A'}\), i \(\displaystyle{ y \in C \cup A',}\) i zbiór \(\displaystyle{ C \cup A' }\) jest przedziałem początkowym w zbiorze \(\displaystyle{ \left( C \cup B, \le _C \oplus \le _B\right). }\)

Mamy \(\displaystyle{ C \cup A' \neq C \cup B}\), (gdyż \(\displaystyle{ A' \subsetneq B}\), a zbiór \(\displaystyle{ C}\) jest rozłączny ze zbiorem \(\displaystyle{ A \cup B}\)).

Wykażemy, że funkcja \(\displaystyle{ h:C \cup A\stackrel {h}{ \rightarrow } C \cup A'}\) jest monotoniczna.

DOWÓD TEGO FAKTU::    

Niech \(\displaystyle{ x,y \in C \cup A}\), będą takimi elementami, że \(\displaystyle{ x \le _{C \oplus A} y.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x,y \in C}\), wtedy z definicji sumy porządkowej otrzymujemy \(\displaystyle{ x \le _C y}\), a więc tym bardzeij \(\displaystyle{ x\left( \le _{C \oplus A' } \right) y}\), i wtedy:

\(\displaystyle{ h\left( x\right)= g(x)= x \left( \le _{C \oplus A' } \right) y= g(y) = h(y). }\)

Jeśli \(\displaystyle{ x,y \in A}\), wtedy, z definicji sumy porządkowej: \(\displaystyle{ x \le _A y}\) ; ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f:A \rightarrow A'}\) jest podobieństwem, więc z jej monotoniczności otrzymujemy:

\(\displaystyle{ f(x) \le _{A'} f(y)}\), i ponieważ funkcja \(\displaystyle{ h= \left( f \cup g\right)}\) rozszerza funkcje \(\displaystyle{ f}\), więc:

\(\displaystyle{ h\left( x\right) = f\left( x\right) \le _{A'} f(y)=h\left( y\right)}\),

a więc tym bardziej:

\(\displaystyle{ h(x) \le _{ C\oplus A'} h(y).}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x\in C}\), \(\displaystyle{ y \in A}\) ( jest to ostatni przypadek- przypadek symetryczny do tego jest niemożliwy, na mocy założenia \(\displaystyle{ x \le _{C\oplus A} y}\) i na mocy definicji sumy porządkowej); a w naszym pozostałym przypadku, wtedy \(\displaystyle{ h(x)= g(x)= x \in C}\), a \(\displaystyle{ h\left( y\right) = f\left( y\right) \in A'}\), a więc, ponieważ z definicji sumy porządkowej \(\displaystyle{ C\oplus A'}\): każdy element zbioru \(\displaystyle{ C}\) jest mniejszy od każdego elementu zbioru \(\displaystyle{ A'}\), więc wnioskujemy, że: \(\displaystyle{ h\left( x\right) \le _{C\oplus A'} h\left( y\right)}\) , co należało pokazać.

Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest monotoniczna\(\displaystyle{ .\square}\)

Wobec czego funkcja \(\displaystyle{ h}\) jest podobieństwem, a zatem zbiór \(\displaystyle{ C \cup A}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ C \cup A'}\).

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ C \cup A'}\) jest istotnym przedziałem początkowym zbioru \(\displaystyle{ C \cup B}\), więc otrzymujemy: \(\displaystyle{ c+a<c+b.\square}\) Dobrze


Z tego prawa liczb porządkowych łatwo wynika inne prawo liczb porządkowych:

\(\displaystyle{ a \le b \Longrightarrow c+a \le c+b.}\)

Gdyż:

PROSTY DOWÓD TEGO FAKTU:

(Jeśli \(\displaystyle{ a \le b}\)), to jeśli \(\displaystyle{ a<b}\), to od razu \(\displaystyle{ c+a<c+b}\) ( więc w szczególności \(\displaystyle{ c+a \le c+b}\) ),

a jeśli \(\displaystyle{ a=b}\) , to \(\displaystyle{ c+a= c+b}\) ( w szczególności \(\displaystyle{ c+a \le c+b}\))\(\displaystyle{ .\square }\)

[Jakub Gurak]

W ostatni piątek trochę rozważałem matematycznie (bo co miałem robić, skoro dostępu do forum nie miałem (obecnie piszę książkę 'Przystępny wstęp do matematyki' przy pomocy LaTeX-a na matematyka.pl- zapisuje to sobie w kopiach roboczych, i, co jakiś czas, jak ukończę dany podrozdział, to wklejam to do gotowej wersji), w te piątkowe popołudnie mogłem jedynie czytać książkę 'Co to jest matematyka?' R.Courant'a i H.Robbins'a, albo mogłem czytać ważniaka), ale miałem też potrzebę podziałać;
i udowodniłem, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończoną liczbą porządkową, a \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną von Neumanna, to: \(\displaystyle{ n+x=x}\).
Wykazałem też, że jeśli mamy liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z_n}\), to ich ilo\(\displaystyle{ }\)czyn jest równy \(\displaystyle{ 0,}\) dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Zbadałem też zbieżność szeregów liczb zespolonych, ale tylko szeregów postaci: \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN } z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC.}\) Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną von Neumanna, i niech \(\displaystyle{ x}\) będzie nieskończoną liczbą porządkową.
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ n+x=x}\).

DOWÓD TEGO FAKTU:

Niech \(\displaystyle{ \left( X, \le\right) }\) będzie zbiorem dobrze uporządkowanym podobnym do \(\displaystyle{ \left( x, \subset \right)}\) , i rozważmy zbiór liczb naturalnych von Neumanna- zbiór dobrze uporządkowany. Ponieważ \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończoną liczbą porządkową, to zbiór \(\displaystyle{ \NN}\) jest podobny do pewnego przedziału początkowego zbioru \(\displaystyle{ X.}\)

DOWÓD TEGO FAKTU::    

Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest dobrze uporządkowany i zbiór \(\displaystyle{ \NN}\) jest dobrze uporządkowany, więc stosujemy do nich tutaj twierdzenie o podobieństwie dwóch zbiorów dobrze uporządkowanych.
Gdyby zbiór \(\displaystyle{ X}\) był podobny do istotnego przedziału początkowego zbioru \(\displaystyle{ \NN}\), to \(\displaystyle{ A= O\left( n\right)= \left\{ m \in \NN\Bigl| \ m<n\right\} }\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Wtedy zbiór \(\displaystyle{ A}\) bylby skończony, i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do zbioru \(\displaystyle{ A}\), więc istnieje podobieństwo \(\displaystyle{ f:X \rightarrow A}\). Wtedy \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, więc ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończony, więc również zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest skończony, a on jest podobny do nieskończonej liczby porządkowej \(\displaystyle{ x}\), więc jest nieskończony-sprzeczność. Wobec czego zbiór \(\displaystyle{ X}\) nie jest podobny do żadnego istotnego przedziału początkowego zbioru \(\displaystyle{ \NN}\). A zatem musi zajść drugi przypadek, czyli zbiór liczb naturalnych von Neumanna musi być podobny do przedziału początkowego zbioru \(\displaystyle{ X,}\) albo ewentualnie zbiór \(\displaystyle{ X}\) musi być podobny do zbioru \(\displaystyle{ \NN}\). Ponieważ zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest swoim (nieistotnym) przedziałem początkowym, więc w obydwu przypadkach zbiór liczb naturalnych jest podobny do przedziału początkowego zbioru \(\displaystyle{ X.\square}\)

A zatem \(\displaystyle{ \omega \le x}\). A zatem istnieje dokładnie jedna liczba porządkowa \(\displaystyle{ a}\), taka, że: \(\displaystyle{ \omega+a=x}\).
Wykażemy, że: \(\displaystyle{ n+\omega=\omega.}\) To jednak można łatwo udowodnić indukcyjnie:
Niewątpliwie: \(\displaystyle{ 0+\omega=\omega}\); i \(\displaystyle{ 1+\omega=\omega}\)- udowodniono to na ważniaku.
Jeśli \(\displaystyle{ n+\omega=\omega}\), to: \(\displaystyle{ \left( n+1\right)+\omega= n+\left( 1+\omega\right)= n+\omega=\omega}\), gdzie ostatnie przejście wynika z założenia indukcyjnego. Krok indukcyjny został dowiedziony. Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego Lematu.
A zatem, powracając do naszego dowodu(zachowując wprowadzone tam oznaczenia):
\(\displaystyle{ n+x= n+\left( \omega+a\right)= \left( n+\omega\right) +a= \omega+a=x.\square}\)


Udowodnimy teraz drugi fakt:
Niech \(\displaystyle{ z_1,z_2, \ldots, z_n}\) będą liczbami zespolonymi.
Wykażemy, że ich iloczyn jest równy zero, dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 0}\), tzn. mamy równoważność: \(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_n=0 \Leftrightarrow z_1=0 \vee z_2=0 \vee \ldots \vee z_n=0.
}\)

DOWÓD TEGO FAKTU:

Tą równoważność dowodzimy indukcyjnie (ze względu na ilość liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z_n}\)).
Dla \(\displaystyle{ n=1}\) równoważność oczywiście zachodzi.
Dla \(\displaystyle{ n=2}\), zauważmy najpierw, że moduł \(\displaystyle{ \left| z\right|}\), liczby zespolonej \(\displaystyle{ z,}\) jest równy zero, dokładnie wtedy, gdy \(\displaystyle{ z=0}\) (bo moduł liczby \(\displaystyle{ z}\) jest to jej odległość od początku układu). W związku z czym:

\(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2=0 \Leftrightarrow \left| z_1 \cdot z_2\right|=0 \Leftrightarrow \underbrace{\left| z_1\right|}_{ \in\RR} \cdot \underbrace{\left| z_2\right|}_{ \in \RR}=0 \Leftrightarrow \left| z_1\right|=0 \hbox{ lub } \left| z_2\right|=0 \Leftrightarrow z_1=0 \hbox{ lub } z_2=0.}\)
Krok indukcyjny:
Przypuśćmy, że twierdzenie zachodzi dla \(\displaystyle{ n}\). Pokażemy, że zachodzi dla \(\displaystyle{ \left( n+1\right)}\).
Niech \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z _{n+1}}\) będą liczbami zespolonymi. Wtedy:

\(\displaystyle{ z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_n \cdot z _{n+1}=0 \Leftrightarrow \left( z_1 \cdot z _{2} \cdot \ldots \cdot z_n \right) \cdot z _{n+1}=0 \Leftrightarrow \left( z_1 \cdot z _{2} \cdot \ldots \cdot z_n \right)= 0\hbox{ lub } z _{n+1}=0 \Leftrightarrow}\)

co jest równoważne, na mocy założenia indukcyjnego (i na mocy reguły logicznej, mówiącej, że w równoważności można za składniki podstawiać wyrażenia równoważne), więc to zachodzi dokładnie wtedy, gdy:

\(\displaystyle{ \left[ z_1=0 \vee z _{2}=0 \vee \ldots \vee z_n=0 \right] \vee z _{n+1}=0 \Leftrightarrow z_1=0 \vee z_2=0 \vee \ldots \vee z _{n+1}=0}\),

co dowodzi kroku indukcyjnego.

Zasada indukcji matematycznej kończy dowód tego faktu.\(\displaystyle{ \square}\)

Zbadałem też zbieżność szeregów liczb zespolonych (oraz ich sumę), ale tylko szeregów postaci \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC}\).
Wykażemy, że wtedy tylko szereg zerowy jest zbieżny.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Zauważmy, że jeśli mamy ciąg \(\displaystyle{ z:\NN \rightarrow \CC}\) liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left( z_0, z_1, z_2,\ldots\right)}\), to jeśli szereg: \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} z_n}\) jest zbieżny do pewnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ z \in \CC}\), to ciąg \(\displaystyle{ z_n}\) musi być zbieżny do zera \(\displaystyle{ z_n \rightarrow \textbf{0}= \left( 0,0\right).}\)

DOWÓD TEGO FAKTU::    

Dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\), rozważmy sumę:

\(\displaystyle{ S_n=z_0+z_1+ z_2+\ldots+ z_n}\).

Wtedy:

\(\displaystyle{ S _{n+1}-S_n= \left[ z_0+z_1+ \ldots+ z _{n+1} \right]- \left[ z_0+ z_1+\ldots + z_n\right]=z _{n+1}.}\)

W związku z czym:

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to + \infty } z_n= \lim_{ n\to + \infty } z _{n+1} = \lim_{ n\to + \infty } \left[ S _{n+1} - S _{n} \right]= \lim_{ n\to + \infty } \left( S _{n+1} \right)- \lim_{ n\to + \infty }S_n= \left( \sum_{n \in \NN} z_n\right) - \left( \sum_{n \in \NN} z _{n} \right) = z-z\stackrel{z \in \CC}{=} \textbf{0}.\square}\)

Wobec czego jeżeli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC,}\) jest zbieżny, to \(\displaystyle{ z \rightarrow \textbf{0}.}\)

Ponieważ ciąg stale równy \(\displaystyle{ z}\) jest zbieżny do tego elementu \(\displaystyle{ z}\), więc musi być \(\displaystyle{ z=\textbf{0}}\), czyli musi być to szereg zerowy.
Ponieważ:

\(\displaystyle{ \textbf{0}+\textbf{0}= \left( 0+0i\right) + \left( 0+0i\right) = \left( 0+0\right) +\left( 0+0\right) i= 0+0i= \textbf{0}}\),

więc, przez prostą indukcję:

\(\displaystyle{ \left[ \underbrace{\textbf{0}+ \textbf{0}+ \ldots + \textbf{0}}_{n \hbox{ razy }}\right] = \textbf{0}= \left( 0,0\right) ,}\)

a zatem:

\(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN} \textbf{0}= \lim_{ n\to + \infty } \left[ \underbrace{\left( 0,0\right)+ \left( 0,0\right)+ \ldots +\left( 0,0\right)}_{n \hbox{ razy }} \right] = \lim_{ n\to + \infty } \left( 0,0\right) = \left( 0,0\right) = \textbf{0}.\square}\)

[Jan Kraszewski]

udowodniłem, że jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest nieskończoną liczbą porządkową, a \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną von Neumanna, to: \(\displaystyle{ n+x=x}\).
Wykazałem też, że jeśli mamy liczby zespolone \(\displaystyle{ z_1, z_2, \ldots, z_n}\), to ich ilo\(\displaystyle{ }\)czyn jest równy \(\displaystyle{ 0,}\) dokładnie wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest równa \(\displaystyle{ 0}\).
Zbadałem też zbieżność szeregów liczb zespolonych, ale tylko szeregów postaci: \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN } z}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \CC.}\) Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.

No OK, każdy robi w wolnym czasie na co ma ochotę. Ale po co zaspamiać tym forum?

JK