Rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ X}\) nazywamy liczbą porządkową (von Neumanna), gdy
1.Każdy element \(\displaystyle{ X}\) jest podzbiorem zbioru \(\displaystyle{ X}\).
2 .\(\displaystyle{ A,B\in X \Longrightarrow A \in B \vee B\in A \vee A=B. }\)
Drugi warunek mówi, że dla dowolnych dwóch różnych zbiorów rodziny \(\displaystyle{ X}\) jeden jest elementem drugiego.
Przykładem może być rodzina pusta \(\displaystyle{ \left\{ \right\} }\) (formalnie), a także \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \right\} \right\} =\left\{ \emptyset\right\} }\) rodzina jednozbiorowa złożona ze zbioru pustego. Każdy zbiór tej rodziny jest jej podzbiorem, gdyż jedynym zbiorem w tej rodzinie jest zbiór pusty, który jest podzbiorem każdego zbioru, w szczególności \(\displaystyle{ \left\{ \left\{ \right\} \right\}, }\) oraz każde dwa zbiory tej rodziny są równe \(\displaystyle{ \left\{ \right\},}\) stąd drugi warunek również jest spełniony. Zatem jest to liczba porządkowa.
Można łatwo pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, to \(\displaystyle{ X \cup \left\{ X\right\}}\) jest również liczbą porządkową.
Z tego możemy wnioskować. że każda liczba naturalna von Neumanna jest liczbą porządkową. Wykażemy teraz, że
Każdy element liczby porządkowej jest liczbą porządkową.
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie liczbą porządkową, i niech \(\displaystyle{ x\in X.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą porządkową. Z pierwszej własności liczb porządkowych otrzymujemy \(\displaystyle{ x\subset X}\), a więc \(\displaystyle{ x}\) jest rodziną zbiorów. Sprawdźmy najpierw punkt drugi:
Niech \(\displaystyle{ a,b\in x}\) będą takie, że \(\displaystyle{ a \neq b.}\) Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ x\subset X}\), więc \(\displaystyle{ a,b\in X}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, oraz \(\displaystyle{ a \neq b}\), więc \(\displaystyle{ a\in b}\) lub \(\displaystyle{ b\in a}\). Zatem warunek jest spełniony.
Weźmy dowolny element \(\displaystyle{ a\in x.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ a\subset x.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ x \subset X}\), więc \(\displaystyle{ a\in X}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, więc \(\displaystyle{ a\subset X}\). Przypuśćmy dla dowodu nie wprost, że \(\displaystyle{ a \not\subset x}\), wtedy istnieje element \(\displaystyle{ b\in a}\), taki, że \(\displaystyle{ b\not\in x}\). Ponieważ jednak \(\displaystyle{ a\subset X}\), więc \(\displaystyle{ b\in X. }\) Więc ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, \(\displaystyle{ b,x\in X}\) oraz \(\displaystyle{ b\not\in x}\), więc \(\displaystyle{ x\in b }\) lub elementy \(\displaystyle{ b,x}\) są sobie równe. W ostatnim przypadku ponieważ \(\displaystyle{ a\in x=b\in a}\), i to wyklucza aksjomat regularności- sprzeczność. W pozostałym przypadku \(\displaystyle{ a\in x\in b\in a}\), i również otrzymujemy sprzeczność z aksjomatem regularności. Wobec tego konieczne jest aby \(\displaystyle{ a\subset x.}\)
Zatem \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą porządkową. \(\displaystyle{ \square}\)
Wnioskiem z tego twierdzenia może być fakt, że dla dowolnej liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\) oraz dowolnych jej elementów \(\displaystyle{ a,b\in X}\) mamy: \(\displaystyle{ a\in b\Longleftrightarrow a \subsetneq b.}\)
Czyli dla dowolnych dwóch elementów liczby porządkowej należenie jest tym samym co inkluzja właściwa ( początkujący studenci
nie musicie tego akurat zapamiętywać- zwróćcie uwagę, że aby udowodnić ten fakt, to trzeba rozróżniać między należeniem a inkluzją.) Dowód:
Zgodnie z tematem postu wykażemy teraz, że każde dwie liczby porządkowe podobne muszą być równe.
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą liczbami porządkowymi uporządkowanymi inkluzją podobnymi. Niech \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) będzie podobieństwem. Pokażemy, że \(\displaystyle{ X=Y.}\)
Niech \(\displaystyle{ A=\left\{ x\in X\Bigl| \ \ f\left( x\right) \neq x \right\}. }\)
Przypuśćmy, że \(\displaystyle{ A \neq \left\{ \right\}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A\subset X}\), a \(\displaystyle{ \left( X, \subset \right) }\) jest zbiorem dobrze uporządkowanym, więc istnieje element \(\displaystyle{ a\in A}\) najmniejszy w \(\displaystyle{ A.}\) Wtedy, pokażemy najpierw, że \(\displaystyle{ f(a)\supset a}\)
Niech \(\displaystyle{ b\in a}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a\in X}\)- \(\displaystyle{ a}\) jest elementem liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą porządkową, więc każdy element \(\displaystyle{ a}\) jest podzbiorem \(\displaystyle{ a}\), ponieważ \(\displaystyle{ b\in a}\), więc \(\displaystyle{ b\subset a. }\) Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, a \(\displaystyle{ a}\) jej elementem, więc również jej podzbiorem, czyli \(\displaystyle{ a\subset X}\), ponieważ \(\displaystyle{ b\in a}\), więc \(\displaystyle{ b\in X}\). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest podobieństwem, wiec z monotoniczności \(\displaystyle{ f }\)otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(b)\subset f(a).}\) Mamy \(\displaystyle{ a,b\in X, b\in a}\), więc oczywiście \(\displaystyle{ b \neq a}\), ponieważ mamy też \(\displaystyle{ b\subset a}\), więc \(\displaystyle{ b\subsetneq a}\), zatem ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszy w \(\displaystyle{ A}\), więc \(\displaystyle{ b\not\in A}\), a zatem z definicji \(\displaystyle{ A}\) nie może być \(\displaystyle{ f(b) \neq b}\), zatem musi być \(\displaystyle{ f(b)=b}\), ponieważ \(\displaystyle{ b \neq a}\), a \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, więc jest różnowartościowa, a zatem \(\displaystyle{ f(b) \neq f(a)}\), mamy \(\displaystyle{ f(b)\subset f(a)}\), więc \(\displaystyle{ f(b)\subsetneq f(a)}\), ponieważ elementy \(\displaystyle{ f(b),f(a)}\) należą do \(\displaystyle{ Y}\)- liczby porządkowej, więc z faktu, że wtedy należenie jest tym samym co inkluzja właściwa, wynika, że \(\displaystyle{ f(b)\in f(a)}\), czyli \(\displaystyle{ b\in f(a)}\), i \(\displaystyle{ a\subset f(a).}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ a\in A,}\) więc \(\displaystyle{ a \neq f(a)}\), a więc z poprzedniej części \(\displaystyle{ f(a) \supsetneq a.}\) Więc istnieje \(\displaystyle{ z\in f(a) }\)taki, że \(\displaystyle{ z\not\in a.}\) Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ z\in f(a)\in Y}\), to \(\displaystyle{ z\in Y}\) (\(\displaystyle{ Y}\) jest liczbą porządkową). Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją, więc jest 'na' zbiór \(\displaystyle{ Y}\), więc istnieje \(\displaystyle{ b\in X}\), takie, że \(\displaystyle{ f(b)=z}\), że \(\displaystyle{ z}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\). Wtedy ponieważ \(\displaystyle{ f(b)=z\in f(a)}\), więc \(\displaystyle{ a \neq b}\) ( jęśli byłoby \(\displaystyle{ a=b}\), to wtedy \(\displaystyle{ f(b)=f(a)\in f(a)}\), co wyklucza aksjomat regularności ). Zatem \(\displaystyle{ a \neq b}\). Ponieważ \(\displaystyle{ a,b\in X}\), i \(\displaystyle{ a \neq b}\) więc z definicji liczb porządkowych mamy, że \(\displaystyle{ a\in b}\) lub \(\displaystyle{ b\in a.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ b\in a}\), to znowu, z faktu, źe dla elementów liczby porządkowej należenie jest tym samym co inkluzja właściwa otrzymujemy, że \(\displaystyle{ b\subsetneq a,}\) więc \(\displaystyle{ b\not\in A}\) (bo \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejszym elementem \(\displaystyle{ A}\)), więc z definicji zbioru \(\displaystyle{ A}\) musi być \(\displaystyle{ f(b)=b}\), a więc \(\displaystyle{ f(b)=z=b\in a}\), czyli \(\displaystyle{ z\in a}\)- sprzeczność.
Pozostaje przypadek, że \(\displaystyle{ a\in b}\). Zatem ponieważ \(\displaystyle{ a,b}\) należą do liczby porządkowej \(\displaystyle{ X}\), więc \(\displaystyle{ a\subset b}\), więc z monotoniczności \(\displaystyle{ f}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(a)\subset f(b)}\). Mamy \(\displaystyle{ f(b)=z\in f(a)}\), więc \(\displaystyle{ f(b)\in f(a)}\), zatem podstawiając pod inkluzję \(\displaystyle{ f(a)\subset f(b)}\), otrzymamy \(\displaystyle{ f(b)\in f(b)}\)- sprzeczność.
Pokazaliśmy, że założenie o niepustości zbioru \(\displaystyle{ A}\) prowadzi do sprzeczności. Zbiór ten więc musi być pusty, co oznacza, że nie ma elementów \(\displaystyle{ x\in X}\) dla których \(\displaystyle{ f(x) \neq x}\), czyli zawsze \(\displaystyle{ f(x)=x}\), a więc \(\displaystyle{ f}\) jest identycznością. A zatem \(\displaystyle{ X=\stackrel{ \rightarrow }{f}(X)=Y. \square}\)
Wniosek: Jedynymi skończonymi liczbami porządkowymi von Neumanna są liczby naturalne,czyli
Każda skończona liczba porządkowa jest liczbą naturalną.
Dowód:
Ustalmy dowolną skończoną liczbę porządkową \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ jest skończona, to jest równoliczna z pewną liczbą naturalną \(\displaystyle{ n}\) von Neumanna. Wiemy, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez inkluzję( a więc i liniowo). Również liczba naturalna jest liniowo uporządkowana przez inkluzję( czyli przez naturalny porządek) i jest liczbą porzadkową. Mamy zatem dwa zbiory liniowo uporządkowane- liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) i liczba porządkowa \(\displaystyle{ X}\). Są to zbiory \(\displaystyle{ n}\)- elementowe( z założenia są równoliczne), a dokładniej skończone . A dwa liniowo uporządkowane zbiory skończone i równoliczne są podobne. A dwie liczby porządkowe podobne uporządkowane inkluzją są równe. Czyli liczbą porządkowa \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą naturalną \(\displaystyle{ n}\).\(\displaystyle{ \square}\)
Jeszcze jeden wniosek: Dla każdych dwóch liczb porządkowych jedna jest podzbiorem drugiej.
Dowód:
Niech \(\displaystyle{ X,Y}\) będą liczbami porządkowymi. Wiemy, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez inkluzję, wobec czego \(\displaystyle{ \left( X, \subset \right), \left( Y, \subset \right)}\) są zbiorami dobrze uporządkowanymi. W takim razie jeden z nich jest podobny do przedziału początkowego drugiego (no, to nie jest błahy fakt, ale znany, niedawno napisałem na forum dowód pod hasłem "Ciekawa idea dowodu"- także zainteresowani mogą zobaczyć). Zatem jeden z nich, powiedzmy, że \(\displaystyle{ X}\) jest przekształcany przez podobieństwo na przedział początkowy drugiej liczby porządkowej \(\displaystyle{ Y}\), czyli jej podzbiór, nazwijmy ten przedział początkowy jako \(\displaystyle{ B\subset Y}\). Ponieważ każdy przedział początkowy liczby porządkowej jest liczbą porządkową (proste), to \(\displaystyle{ B}\) jest liczbą porządkową. Ponieważ \(\displaystyle{ X}\) jest podobny do liczby porządkowej \(\displaystyle{ B}\). To \(\displaystyle{ X=B}\), ponieważ w takim wypadku \(\displaystyle{ B\subset Y}\), więc \(\displaystyle{ X\subset Y}\). Drugi przypadek symetrycznie prowadzi do inkluzji \(\displaystyle{ Y\subset X.}\) \(\displaystyle{ \square}\)
Można chyba ten fakt dowodzić w sposób bardziej tradycyjny, ale można też tak, co prawda to nie mój pomysł, ale w ten sposób robili to na ważniaku, więc tak też można, też gdy to poznałem byłem zdumiony.
