Zbiory nieprzeliczalne

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9517
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2116 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Dasio11 » 28 paź 2019, o 18:57

Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest dowolnym porządkiem liniowym, to w zbiorze \(\displaystyle{ X \times \mathbb{Z}}\) z porządkiem leksykograficznym każdy element ma następnik i poprzednik. A skoro \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ [0, 1) \times \mathbb{Z}}\), to wystarczy przenieść porządek leksykograficzny z \(\displaystyle{ [0, 1) \times \mathbb{Z}}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

Nawiasem mówiąc, zachodzi też implikacja przeciwna: jeśli w porządku \(\displaystyle{ Y}\) każdy element ma następnik i poprzednik, to \(\displaystyle{ Y \cong X \times \mathbb{Z}}\) dla pewnego porządku \(\displaystyle{ X}\). Szkic: na \(\displaystyle{ Y}\) rozważamy relację równoważności

\(\displaystyle{ a \sim b \iff [a, b] \cup [b, a] \text{ jest skończony}}\).

Klasy abstrakcji tej relacji są wypukłe i izomorficzne z \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\), więc na \(\displaystyle{ X = Y / {\sim}}\) istnieje naturalny porządek indukowany i wtedy \(\displaystyle{ Y \cong X \times \mathbb{Z}}\). Niestety w tym dowodzie używa się Aksjomatu Wyboru.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2039
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 305 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: matmatmm » 28 paź 2019, o 20:51

Dasio11 pisze:
28 paź 2019, o 18:57
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest dowolnym porządkiem liniowym, to w zbiorze \(\displaystyle{ X \times \mathbb{Z}}\) z porządkiem leksykograficznym każdy element ma następnik i poprzednik.
Skoro tak, to można chyba równie dobrze przenieść porządek leksykograficzny z \(\displaystyle{ \RR\times\ZZ}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19414
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 3279 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: a4karo » 28 paź 2019, o 20:59

Dasio11 pisze:
28 paź 2019, o 18:57
Jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest dowolnym porządkiem liniowym, to w zbiorze \(\displaystyle{ X \times \mathbb{Z}}\) z porządkiem leksykograficznym każdy element ma następnik i poprzednik. A skoro \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ [0, 1) \times \mathbb{Z}}\), to wystarczy przenieść porządek leksykograficzny z \(\displaystyle{ [0, 1) \times \mathbb{Z}}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).
Nawiasem mówiąc ten porządek tak wiele nie różni sie od naturalnego (przynajmniej w graficznym zapisie) :D.

W naturalnym mamy
$$x<y \Leftrightarrow \begin{cases}[x]<[y] & \text{ gdy } [x]\neq [y]\\ \{x\}<\{y\} & \text{ gdy } [x]=[y]\end{cases},$$

a w "Dasiowym"

$$x\prec y \Leftrightarrow \begin{cases}[x]<[y] & \text{ gdy } \{x\}= \{y\}\\ \{x\}<\{y\} & \text{ gdy } \{x\}\neq \{y\}\end{cases}.$$

(Oczywiście \(\displaystyle{ [x]}\) to część całkowita a \(\displaystyle{ \{x\}}\) oto część ułamkowa liczby.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2039
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 305 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: matmatmm » 28 paź 2019, o 21:03

Jeszcze powstaje pytanie, czy do równoliczności \(\displaystyle{ \RR\times\ZZ\sim\RR}\) nie trzeba aksjomatu wyboru. Pewnie nie, ale standardowe twierdzenie o mocy iloczynu kartezjańskiego tzn.
\(\displaystyle{ |X\times Y|=\max\{|X|,|Y|\}}\)
zdaje się, że tego wymaga.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9517
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2116 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Dasio11 » 28 paź 2019, o 21:21

matmatmm pisze:
28 paź 2019, o 21:03
Jeszcze powstaje pytanie, czy do równoliczności \(\displaystyle{ \RR\times\ZZ\sim\RR}\) nie trzeba aksjomatu wyboru.
Dlatego pisałem o przenoszeniu struktury z \(\displaystyle{ [0, 1) \times \mathbb{Z}}\) na \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), bo taka równoliczność jest oczywista. Ale ponieważ \(\displaystyle{ [0, 1)}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) na mocy twierdzenia Cantora-Bernsteina niewymagającego Aksjomatu Wyboru, bijekcję z \(\displaystyle{ \mathbb{R} \times \mathbb{Z}}\) do \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) też można wskazać efektywnie.

Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Borneq » 29 paź 2019, o 11:36

Dasio11 pisze:
28 paź 2019, o 17:38
A \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) można nawet uporządkować tak, żeby każdy element miał zarówno następnik, jak i poprzednik - i to bez aksjomatu wyboru.
Dla mnie takie uporządkowanie kojarzy się właśnie z przeliczalnością.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jan Kraszewski » 29 paź 2019, o 12:35

Borneq pisze:
29 paź 2019, o 11:36
Dla mnie takie uporządkowanie kojarzy się właśnie z przeliczalnością.
No to masz po prostu złą intuicję.

JK

Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Borneq » 29 paź 2019, o 14:06

Jan Kraszewski pisze:
28 paź 2019, o 14:17
Ależ skąd, są zbiory nieprzeliczalne dobrze uporządkowane (bez udziału Aksjomatu Wyboru). Najprostszy przykład to \(\displaystyle{ \aleph_1}\).
\(\displaystyle{ \aleph_1}\) odnosi się do liczności zbioru Ordinal_number z WIkipedii
Według obrazka
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... ww.svg.png
(podaję link bo tag "img" nie działa)
Mamy odcinbki o \(\displaystyle{ \aleph_0}\) elementach których jest \(\displaystyle{ \aleph_0}\) czyli mamy \(\displaystyle{ \aleph_0^2}\)
Ale to nie wszystko, fraktalnie moze być to wszystko powtarzane, a następnie znowu, czyli mamy \(\displaystyle{ \aleph_0^{\aleph_0}}\)
To byłoby równe continuum, czyli zgodnie z hipotezą continuum mam jakiś błąd.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jan Kraszewski » 29 paź 2019, o 14:18

Borneq pisze:
29 paź 2019, o 14:06
\(\displaystyle{ \aleph_1}\) odnosi się do liczności zbioru Ordinal_number z WIkipedii
Według obrazka
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... ww.svg.png
Szczerze mówiąc nie mam pojęcia, co miałby znaczyć Twój post. Zalinkowany przez Ciebie rysunek nie ma żadnego związku z \(\displaystyle{ \aleph_1}\).

JK

Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Borneq » 29 paź 2019, o 14:35

W wikipedii w sekcji "Aleph-one" w "Aleph number" czytamy:
\(\displaystyle{ \aleph _{1}}\) is the cardinality of the set of all countable ordinal numbers
Obrazek odnosi się do https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2039
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 305 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: matmatmm » 29 paź 2019, o 14:52

Borneq pisze:
29 paź 2019, o 14:06
\(\displaystyle{ \aleph_1}\) odnosi się do liczności zbioru Ordinal_number z WIkipedii
Według obrazka
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ ... ww.svg.png
(podaję link bo tag "img" nie działa)
Mamy odcinbki o \(\displaystyle{ \aleph_0}\) elementach których jest \(\displaystyle{ \aleph_0}\) czyli mamy \(\displaystyle{ \aleph_0^2}\)
Ale to nie wszystko, fraktalnie moze być to wszystko powtarzane, a następnie znowu, czyli mamy \(\displaystyle{ \aleph_0^{\aleph_0}}\)
To jest jakieś dziwne machanie rękami. Skoro twierdzisz, że \(\displaystyle{ \aleph_1=\aleph_0^{\aleph_0}}\), to przedstaw porządne rozumowanie. Na pewno znajdziemy błąd, bo pod założeniem zaprzeczenia hipotezy continuum \(\displaystyle{ \aleph_1<\mathfrak{c}}\).

Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Borneq » 29 paź 2019, o 15:27

Mamy:
\(\displaystyle{ \aleph _{1}}\) is the cardinality of the set of all countable ordinal numbers, called \(\displaystyle{ \omega _{1}}\) or sometimes \(\displaystyle{ \Omega}\) . This \(\displaystyle{ \omega _{1}}\) is itself an ordinal number larger than all countable ones, so it is an uncountable set.
i mamy: https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Further on, there will be \(\displaystyle{ \omega^3}\), then \(\displaystyle{ \omega^4}\), and so on, and \(\displaystyle{ \omega^{\omega}}\) then \(\displaystyle{ \omega^{\omega^{\omega}}}\), then later \(\displaystyle{ \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}\), and even later \(\displaystyle{ \epsilon_0}\) (epsilon nought) (to give a few examples of relatively small—countable—ordinals). This can be continued indefinitely far ("indefinitely far" is exactly what ordinals are good at: every time one says "and so on" when enumerating ordinals, it defines a larger ordinal). The smallest uncountable ordinal is the set of all countable ordinals, expressed as \(\displaystyle{ \omega_1}\).
Ja odnosiłem sie do górnego obrazka \(\displaystyle{ \omega^{\omega}}\), natomiast dla nieskończonego ciągu potęgowego (=\(\displaystyle{ \omega_1}\) ?)powinno to być nawet dużo większe od continuum.

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2039
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 305 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: matmatmm » 29 paź 2019, o 16:06

Co powinno być większe od continuum?

Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Borneq » 29 paź 2019, o 16:10

Liczba \(\displaystyle{ \aleph_1}\) która jest definiowana jako liczność zbioru liczb porządkowych gdzie mamy \(\displaystyle{ \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}\) itd niekończony ciąg potęgowy.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27864
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jan Kraszewski » 29 paź 2019, o 16:17

Borneq pisze:
29 paź 2019, o 14:35
W wikipedii w sekcji "Aleph-one" w "Aleph number" czytamy:
\(\displaystyle{ \aleph _{1}}\) is the cardinality of the set of all countable ordinal numbers
Obrazek odnosi się do https://en.wikipedia.org/wiki/Ordinal_number
Obrazek odnosi się do \(\displaystyle{ \omega^2}\), co z \(\displaystyle{ \aleph _{1}}\) nie ma nic wspólnego. Niestety, piszesz różne rzeczy o których nie masz pojęcia.
matmatmm pisze:
29 paź 2019, o 14:52
bo pod założeniem zaprzeczenia hipotezy continuum \(\displaystyle{ \aleph_1<\mathfrak{c}}\).
A Ty chyba nie wiesz, co to jest hipoteza continuum.
Borneq pisze:
29 paź 2019, o 15:27
Ja odnosiłem sie do górnego obrazka \(\displaystyle{ \omega^{\omega}}\), natomiast dla nieskończonego ciągu potęgowego (=\(\displaystyle{ \omega_1}\) ?)powinno to być nawet dużo większe od continuum.
Powtarzam - nie rozumiesz, o czym piszesz. W szczególności nie odróżniasz potęgowania porządkowego od kardynalnego.
Borneq pisze:
29 paź 2019, o 16:10
Liczba \(\displaystyle{ \aleph_1}\) która jest definiowana jako liczność zbioru liczb porządkowych gdzie mamy \(\displaystyle{ \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}}\) itd niekończony ciąg potęgowy.
I jeszcze raz ten sam komentarz, co powyżej.

JK

ODPOWIEDZ