Zbiory nieprzeliczalne

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 870
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 55 razy

Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jakub Gurak » 5 paź 2019, o 02:56

Chciałbym zebrać tu parę ogólnych własności zbiorów nieprzeliczalnych. Po pierwsze, zbiór równoliczny ze zbiorem nieprzeliczalnym jest nieprzeliczalny. Nadzbiór zbioru nieprzeliczalnego jest nieprzeliczalny( gdyż podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego jest co najwyżej przeliczalny). Jeszcze jeden fakt: zbiór większej lub równej mocy niż zbiór nieprzeliczalny jest nieprzeliczalny. Dowód jest odrobinę trudniejszy niż poprzednie fakty:

Dowód:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem nieprzeliczalnym. A \(\displaystyle{ Y}\) zbiorem takim, że \(\displaystyle{ \left| X\right| \le \left| Y\right|.}\) Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest nieprzeliczalny. Przypuśćmy, że tak nie jest. Wtedy \(\displaystyle{ Y}\) jest co najwyżej przeliczalny. Z nierówności mocy mamy funkcję różnowartościową \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y.}\) Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa i 'na' zbiór wartości \(\displaystyle{ f_P}\), zatem jest bijekcją między \(\displaystyle{ X}\) a \(\displaystyle{ f_P}\), i te zbiory są równoliczne. Ponieważ \(\displaystyle{ f_P \subset Y}\), który to zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest co najwyżej przeliczalny, więc również \(\displaystyle{ f_P}\) jest co najwyżej przeliczalny, i \(\displaystyle{ X}\) jest co najwyżej przeliczalny. Otrzymujemy więc sprzeczność, która kończy dowód.\(\displaystyle{ \square}\)

Kolejne dwa fakty mówią, że zbiory nieprzeliczalne są odporne na dodawanie zbiorów co najwyżej przeliczalnych, i odporne na ujmowanie zbiorów co najwyżej przeliczalnych. Po takich operacjach(dodaniu zbioru do sumy lub odjęciu zbioru jako różnicy) moc zbioru pozostaje taka jaka była. Tzn.

1.Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest dowolnym zbiorem nieprzeliczalnym, a \(\displaystyle{ B}\) dowolnym zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to \(\displaystyle{ A \setminus B\sim A.}\)

oraz

2. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest dowolnym zbiorem nieprzeliczalnym, a \(\displaystyle{ B}\) dowolnym zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to \(\displaystyle{ A \cup B\sim A.}\)

Dowód 1. tu

Dowód 2. Załóżmy najpierw, że zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są rozłączne. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest nieprzeliczalny, a więc nieskończony. Możemy zatem odnaleźć w nim nieskończony zbiór przeliczalny \(\displaystyle{ C\subset A}\). Ponieważ \(\displaystyle{ B}\) jest co najwyżej przeliczalny, więc \(\displaystyle{ C \cup B}\) jest przeliczalny. Również \(\displaystyle{ C}\) jest przeliczalny, zatem istnieje bijekcja \(\displaystyle{ f:C \cup B \rightarrow C}\). Ustalmy ją. Niech \(\displaystyle{ g}\) będzie funkcją identyczności na \(\displaystyle{ A\setminus C}\), która jest bijekcją. Zatem \(\displaystyle{ h=f \cup g }\) jako suma bijekcji na rozłącznych dziedzinach (\(\displaystyle{ C \cup B}\) i \(\displaystyle{ A \setminus C}\)) i mających rozłączne zbiory wartości jest bijekcją z \(\displaystyle{ \left( C \cup B\right) \cup \left( A\setminus C\right)=A \cup B }\), w \(\displaystyle{ C \cup \left( A\setminus C\right)=A }\), a więc \(\displaystyle{ A \cup B\sim A.}\)
Jeśli zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) nie są rozłączne, to jednak zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B \setminus A}\) są rozłączne :), i \(\displaystyle{ B \setminus A}\) jako podzbiór zbioru co najwyżej przeliczalnego \(\displaystyle{ B}\) jest co najwyżej przeliczalny, możemy zatem zastosować udowodnioną część do zbiorów rozłącznych dostając, że \(\displaystyle{ A \cup \left( B \setminus A\right) \sim A }\), czyli \(\displaystyle{ A \cup B\sim A.\square }\)

Można też trochę podobnie uzasadnić, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem nieskończonym, a \(\displaystyle{ a}\) ustalonym elementem, to \(\displaystyle{ X \cup \left\{ a\right\}\sim X.}\) Znowu trzeba w \(\displaystyle{ X}\) odnaleźć nieskończony zbiór przeliczalny \(\displaystyle{ Y\subset X}\), a następnie bijekcję \(\displaystyle{ f:\NN \rightarrow Y}\), i rozważyć funkcję \(\displaystyle{ g:X \cup \left\{ a\right\} \rightarrow X,}\) która elementowi \(\displaystyle{ a}\) przypisuje element \(\displaystyle{ f(0)}\),\(\displaystyle{ f(0)}\) przesuwa na \(\displaystyle{ f(1)}\), \(\displaystyle{ f(1)}\) na \(\displaystyle{ f(2)}\), itd., a na elementach \(\displaystyle{ X \setminus Y}\) jest identycznością, taka funkcja jest bijekcją, a więc \(\displaystyle{ X \cup \left\{ a\right\}\sim X.}\)

Natomiast już fakt, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem nieskończonym, \(\displaystyle{ a\in X}\), to \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ a\right\}}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ X}\), czyli wyrzucając jeden element ze zbioru nieskończonego otrzymamy zbiór tej samej mocy, dowód tego jest natychmiastowym wnioskiem z poprzedniego.

Jeśli bowiem \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, to \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ a\right\} }\) jest nieskończony( bo gdy dodamy do zbioru skończonego jeden element to otrzymamy nadal zbiór skończony),więc \(\displaystyle{ X \setminus \left\{ a\right\} }\) jest nieskończony, więc stosując poprzedni fakt otrzymujemy, że \(\displaystyle{ X=X \setminus \left\{ a\right\} \cup \left\{ a\right\}\sim X \setminus \left\{ a\right\}.}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Bran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 354
Rejestracja: 19 lut 2019, o 19:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 143 razy
Pomógł: 11 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Bran » 5 paź 2019, o 16:55

Jakub Gurak pisze:
5 paź 2019, o 02:56
1.Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest dowolnym zbiorem nieprzeliczalnym, a \(\displaystyle{ B}\) dowolnym zbiorem co najwyżej przeliczalnym, to \(\displaystyle{ A \setminus B\sim A.}\)
Da się to udowodnić jakoś inaczej?

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 870
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 55 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jakub Gurak » 5 paź 2019, o 17:38

Nie ma problemu w udowodnieniu, że taka różnica jest zbiorem nieprzeliczalnym- w przeciwnym razie \(\displaystyle{ A=A \setminus B \cup \left( A \cap B\right) }\) byłby zbiorem co najwyżej przeliczalnym jako suma dwóch zbiorów co najwyżej przeliczalnych). Natomiast jeśli chcemy wiedzieć, że ta różnica jest dokładnie tej samej mocy co zbiór \(\displaystyle{ A}\), to może być ciężko, z tego powodu, że dla zbiorów nieprzeliczalnych prosto udowodnić coś jest ciężko- przychodzi mi na myśl wydawać by się mogło bardzo prosty fakt, że jeżeli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, to suma dwóch zbiorów mocy zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest tej mocy- niestety ten fakt ma dowód nieoczywisty oparty na twierdzeniu Hessenberga. :?

Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Borneq » 28 paź 2019, o 10:35

Taki problem mnie nurtuje. Zbiór nieprzeliczalny to na przykład zbiór liczb rzeczywistych (lub np. odcinek \(\displaystyle{ (0,1)}\))
Jak otrzymać zbiór o mocy większej od tego zbioru?
Wiki:
Twierdzenie Cantora – twierdzenie teorii mnogości udowodnione przez Georga Cantora mówiące, że każdy zbiór ma moc mniejszą niż rodzina jego wszystkich podzbiorów, czyli jego zbiór potęgowy.
No dobra, ale czy w ogóle istnieje taki byt jak "rodzina jego wszystkich podzbiorów"
Gdy mamy zbiór skończony lub przeliczalny, to każdemu jego elementowi możemy przypisać liczbę 0 lub 1 w zależności od tego czy należy do podzbioru czy nie. Natomiast z nieprzeliczalnym jest problem. Owszem jakaś liczba będzie miała 0 lub 1, ale te zera lub jedynki będą należały do całego zakresu, bo nie ma czegoś takiego jak sąsiadująca liczba rzeczywista! Można oczywiście te zakresy których jest przeliczalna ilość posortować inaczej, np. tak jak liczby wymierne, co nie spowoduje zwiększenia ich ilości.
Ostatnio zmieniony 28 paź 2019, o 11:02 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jan Kraszewski » 28 paź 2019, o 11:09

Borneq pisze:
28 paź 2019, o 10:35
No dobra, ale czy w ogóle istnieje taki byt jak "rodzina jego wszystkich podzbiorów"
To jest pytanie filozoficzne. A czy istnieje zbiór nieskończony?
Borneq pisze:
28 paź 2019, o 10:35
Gdy mamy zbiór skończony lub przeliczalny, to każdemu jego elementowi możemy przypisać liczbę 0 lub 1 w zależności od tego czy należy do podzbioru czy nie. Natomiast z nieprzeliczalnym jest problem. Owszem jakaś liczba będzie miała 0 lub 1, ale te zera lub jedynki będą należały do całego zakresu, bo nie ma czegoś takiego jak sąsiadująca liczba rzeczywista!
Co to znaczy "zera lub jedynki będą należały do całego zakresu"? Zauważ też, że nie ma czegoś takiego jak "sąsiadująca liczba wymierna", więc czymkolwiek jest Twój problem (bo szczerze mówiąc nie bardzo wiem, do czego odnosi się ten akapit), może wystąpić też w zbiorach przeliczalnych.

JK

Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Borneq » 28 paź 2019, o 11:23

Zbiór nieskończony istnieje - \(\displaystyle{ \NN}\), dowód przekątniowy pokazuje że nawet istnieje \(\displaystyle{ \RR}\), choć nie mozemy wskazać więcej niż przeliczalną ilość tych liczb, bo
- liczb o skońćzonym rozwinięciu jest przeliczalnie wiele
- liczb wymiernych jest przeliczalnie wiele
- liczb algebraicznych jest przeliczalnie wiele
- nawet liczb takich jak \(\displaystyle{ e}\) czy \(\displaystyle{ \pi}\) czyli dowolnej liczby wyprowadzonej dowolnym wzore lub algorytmem jest przeliczalnie wiele
Ale dowód przekątniowy pokazuje że jednak \(\displaystyle{ \RR}\) jest więcej niż przeliczalnie.
Sąsiadowanie - liczby wymierne możemy przedstawić w innej kolejności typu \(\displaystyle{ 1, \frac{1}{2}, \frac{2}{1},.... \frac{378}{457},\frac{378}{458}}\)
i wtedy \(\displaystyle{ \frac{378}{457}}\) będzie sąsiadem \(\displaystyle{ \frac{378}{458}}\)
"będą nalezały do całego zakresu", bo dla \(\displaystyle{ \RR}\) nie będzie 0,1,0,0,1,1,0,1 tylko 0,...0,1....1,0....0 itd
Ostatnio zmieniony 28 paź 2019, o 11:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jan Kraszewski » 28 paź 2019, o 11:51

Borneq pisze:
28 paź 2019, o 11:23
Zbiór nieskończony istnieje - \(\displaystyle{ \NN}\),
Ale dlaczego uważasz, że zbiór \(\displaystyle{ \NN}\) istnieje?
Borneq pisze:
28 paź 2019, o 11:23
dowód przekątniowy pokazuje że nawet istnieje \(\displaystyle{ \RR}\),
Dowód przekątniowy nie ma nic wspólnego z istnieniem zbioru \(\displaystyle{ \RR}\). Zbiór liczb rzeczywistych istnieje na tyle, na ile istnieje zbiór liczb naturalnych.
Borneq pisze:
28 paź 2019, o 11:23
Sąsiadowanie - liczby wymierne możemy przedstawić w innej kolejności typu \(\displaystyle{ 1, \frac{1}{2}, \frac{2}{1},.... \frac{378}{457},\frac{378}{458}}\) i wtedy \(\displaystyle{ \frac{378}{457}}\) będzie sąsiadem \(\displaystyle{ \frac{378}{458}}\)
"będą nalezały do całego zakresu", bo dla \(\displaystyle{ \RR}\) nie będzie 0,1,0,0,1,1,0,1 tylko 0,...0,1....1,0....0 itd
Ale co to jest "cały zakres"?

JK

Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Borneq » 28 paź 2019, o 12:15

Dowód przekątniowy pokazuje że R jest nieprzeliczalne, czyli że istnieje zbiór nieprzeliczalny.
"cały zakres" mamy zbiór R: teraz jak definiujemy jego pozdbziór? tak że do podzbioru należą [0; 0,0001), (0,2..0,20003), itd - definiujemy przynależność zakresami albo wyszczególniamy punkty, choćby zakres był bardzo mały to zawsze tych zakresów i pojedynczych punktów będzie tylko przeliczalna ilość, Np punkt x=2 należy to nie możemy znaleźć "sąsiadującego" punktu jak to jest dla przeliczalnych, co najwyżej bardzo bliski punkt 2,0000......00001 ale między tymi punktami będzie już continuum punktów.

Innymi słowy: przy definicji podzbioru zbioru przeliczalnego otrzymamy z zer i jedynek liczbę binarną o nieskończonej, przeliczalnej liczbie cyfr, taką samą jak liczba rzeczywista, takich liczb jest continuum tak jak podzbiorów.
Tymczasem nie da się zdefiniować podzbiorów zbioru nieprzeliczalnego by powstala liczba o nieprzeliczalnej liczbie cyfr, zawsze zdefiniowana przez zakresy będzie miała przeliczalną ilość cyfr.
Ostatnio zmieniony 28 paź 2019, o 12:18 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jan Kraszewski » 28 paź 2019, o 12:46

Borneq pisze:
28 paź 2019, o 12:15
Dowód przekątniowy pokazuje że \(\displaystyle{ \RR}\) jest nieprzeliczalne, czyli że istnieje zbiór nieprzeliczalny.
Używasz słowa "istnieje" w różnych znaczeniach. Dowód przekątniowy nic nie mówi o istnieniu zbioru \(\displaystyle{ \RR}\), on mówi tylko, że zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest nieprzeliczalny, więc określa jakąś własność bytu, o którym zakładamy, że już istnieje.
Borneq pisze:
28 paź 2019, o 12:15
Np punkt \(\displaystyle{ x=2}\) należy to nie możemy znaleźć "sąsiadującego" punktu jak to jest dla przeliczalnych,
Dla przeliczalnych też może nie być sąsiadującego, chyba że zmienimy uporządkowanie. No ale wtedy to będzie zupełnie inny porządek.
Borneq pisze:
28 paź 2019, o 12:15
co najwyżej bardzo bliski punkt \(\displaystyle{ 2,0000......00001}\) ale między tymi punktami będzie już continuum punktów.
No chyba, że sobie dobrze uporządkujemy \(\displaystyle{ \RR}\), wtedy liczby rzeczywiste będą stały jedna za drugą. Różnica w stosunku do przeliczalnych jest tylko taka, że będziemy potrzebowali aksjomatu wyboru.

JK

Awatar użytkownika
Borneq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 221
Rejestracja: 23 lip 2010, o 07:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: geo:lat=0 geo:lon=0
Podziękował: 13 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Borneq » 28 paź 2019, o 13:27

A w jaki sposób dobrze uporządkujemy \(\displaystyle{ \RR}\)? Czy da się , bo sądziłem że na tym polega nieprzeliczalność, że się nie da. Czy aksjomat wyboru nie jest takim nadmiarowym aksjomatem:
https://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomat_wyboru
Większość matematyków uznaje i stosuje AC, jednak w dowodach twierdzeń zazwyczaj wyraźnie zaznacza się, gdy zakłada się AC. Dowody te nazywa się nieefektywnymi; zwykle są one także niekonstruktywne, gdy mówią jedynie o istnieniu danego obiektu, jednak nie wskazują go (nie podają konstrukcji; por. intuicjonizm).
poza tym prowadzi do paradoksów jak z rozkładem kuli

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jan Kraszewski » 28 paź 2019, o 14:17

Borneq pisze:
28 paź 2019, o 13:27
Czy da się , bo sądziłem że na tym polega nieprzeliczalność, że się nie da.
Ależ skąd, są zbiory nieprzeliczalne dobrze uporządkowane (bez udziału Aksjomatu Wyboru). Najprostszy przykład to \(\displaystyle{ \aleph_1}\).
Borneq pisze:
28 paź 2019, o 13:27
Czy aksjomat wyboru nie jest takim nadmiarowym aksjomatem:
Co to znaczy "nadmiarowym"? Dobór aksjomatów zawsze jest arbitralny. Większość matematyków zgodziła się, że aksjomatyka ZFC jest dobrym wyborem. Aksjomat Wyboru ma konsekwencje paradoksalne, ale też ma konsekwencje bardzo użyteczne (np. bez AC nie pokażesz równoważności definicji Heinego i Cauchy'ego ciągłości funkcji w punkcie). Po prostu uznano, że korzyści przewyższają niedogodności. Nawiasem mówiąc, jednym z aksjomatów ZFC jest aksjomat zbioru potęgowego, który zapewnia istnienie zbioru potęgowego.

JK

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 870
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 55 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jakub Gurak » 28 paź 2019, o 17:08

Borneq pisze:
28 paź 2019, o 13:27
A w jaki sposób dobrze uporządkujemy \(\displaystyle{ \RR}\)? Czy da się , bo sądziłem że na tym polega nieprzeliczalność, że się nie da.
Przede wszystkim nieprzeliczalność to moc zbioru, a porządek to zupełnie co innego. Nie należy tego zbytnio mieszać(choć pewne związki mogą mieć).
Jan Kraszewski pisze:
28 paź 2019, o 14:17
Aksjomat Wyboru ma konsekwencje paradoksalne, ale też ma konsekwencje bardzo użyteczne
Np. dowolne dwa zbiory są porównywalne na moc (czyli jeden z nich ma moc mniejszą lub równą od drugiego ), albo suma przeliczanie wielu zbiorów dwuelementowych jest zbiorem przeliczalnym- te intuicyjne fakty wymagają aksjomatu wyboru(dowodu, że wymagają to nie znam).
Borneq pisze:
28 paź 2019, o 10:35
No dobra, ale czy w ogóle istnieje taki byt jak "rodzina jego wszystkich podzbiorów"
jednym z aksjomatów ZFC jest aksjomat zbioru potęgowego, który zapewnia istnienie zbioru potęgowego.
No ale może autora zastanawia czy(gdy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony )czy jest potrzeba rozważenia wszystkich jego podzbiorów (również nieskończonych), czy może wystarczy rozważyć rodzinę jedynie wszystkich skończonych podzbiorów(na co nam wszystkie nieskończone podzbiory). Otóż
Borneq pisze:
28 paź 2019, o 11:23
Zbiór nieskończony istnieje - \(\displaystyle{ \NN}\),
W związku z czym: w konstrukcji von Neumanna liczb naturalnych przyjmuję się aksjomat nieskończoności, ze istnieje przynajmniej jeden zbiór, który ma w sobie wszystkie liczby naturalne von Neumanna (jako zbiory). Taki zbiór nazywają induktywnym. Ale taki zbiór może mieć niestety jeszcze inne elementy. I aby wyznaczyć najmniejszy z takich zbiorów, który będzie nam służył jako \(\displaystyle{ \NN,}\) ustala się zbiór induktywny \(\displaystyle{ X}\), i rozwaza rodzinę wszystkich jego podzbiorów induktywnych, i przekrój takiej rodziny będzie poszukiwanym najmniejszym zbiorem induktywnym, czyli zbiorem \(\displaystyle{ \NN.}\) Rozważa się tutaj rodzinę podzbiorów induktywnych, a więc nieskończonych. Czyli przydaje się rozwazanie rodziny nieskończonych podzbiorów zbioru aby dobrze zdefiniować zbiór liczb naturalnych von Neumanna. 8-) :lol:

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27863
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4641 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jan Kraszewski » 28 paź 2019, o 17:13

Jakub Gurak pisze:
28 paź 2019, o 17:08
No ale może autora zastanawia czy(gdy zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony )czy jest potrzeba rozważenia wszystkich jego podzbiorów (również nieskończonych), czy może wystarczy rozważyć rodzinę jedynie wszystkich skończonych podzbiorów(na co nam wszystkie nieskończone podzbiory).
Nie sądzę. Myślę, że Borneq interesują podzbiory "definiowalne" (cokolwiek rozumie pod tym pojęciem).

JK

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9517
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 2116 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Dasio11 » 28 paź 2019, o 17:38

A \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) można nawet uporządkować tak, żeby każdy element miał zarówno następnik, jak i poprzednik - i to bez aksjomatu wyboru.

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 870
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 55 razy

Re: Zbiory nieprzeliczalne

Post autor: Jakub Gurak » 28 paź 2019, o 18:44

W jaki sposób :?: To chyba niełatwe.
Ostatnio zmieniony 28 paź 2019, o 18:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: niełatwe.

ODPOWIEDZ