Udowodniłem wczoraj, że zbiory nieskończone, mają taką własność, że są 'odporne', względem mocy, na ujmowanie zbiorów mocy silnie mniejszej od tego zbioru nieskończonego; jak i, zbiory nieskończone, mają taką własność, że są odporne na dodawanie zbiorów mocy mniejszej lub równej od tego zbioru nieskończonego. Zauważmy, że, na ogół, tej własności nie mają zbiory skończone (za wyjątkiem zbiorów jednoelementowych, bo gdy
\(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem jednoelementowym, to zbiór mocy silnie mniejszej musi być pusty, i wtedy
\(\displaystyle{ A \setminus \emptyset= A}\), i
\(\displaystyle{ A \cup \emptyset =A}\), i może za wyjątkiem zbioru pustego, ale nie ma mocy silnie mniejszej od mocy zbioru pustego, równej
\(\displaystyle{ 0}\)). Natomiast zbiory nieskończone mają takie własności, gdyż to wczoraj udowodniłem. Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Niech
\(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem nieskończonym, a
\(\displaystyle{ Y}\) zbiorem mocy silnie mniejszej od mocy zbioru
\(\displaystyle{ X}\). Wykażemy, że:
\(\displaystyle{ X \setminus Y\sim X.}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Załóżmy najpierw przypadek, gdy
\(\displaystyle{ Y\subset X}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ X \setminus Y\subset X}\), a więc
\(\displaystyle{ \left| X \setminus Y\right| \le \left| X\right|.}\)
Przypuśćmy, że
\(\displaystyle{ \left| X \setminus Y\right|<\left| X\right|}\). Ponieważ
\(\displaystyle{ Y\subset X}\), więc
\(\displaystyle{ \left( X \setminus Y \right) \cup Y=X}\). Jeśli zarówno zbiór
\(\displaystyle{ X \setminus Y}\), jak i zbiór
\(\displaystyle{ Y,}\) są zbiorami skończonymi, to zbiór
\(\displaystyle{ X,}\) jako suma dwóch zbiorów skończonych, byłby zbiorem skończonym, a
\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem nieskończonym- sprzeczność. Jeśli zbiór
\(\displaystyle{ X \setminus Y}\) jest nieskończony lub zbiór
\(\displaystyle{ Y}\) jest nieskończony, wtedy zbiory
\(\displaystyle{ X \setminus Y}\) i
\(\displaystyle{ Y}\) są rozłączne, więc moc sumy tych dwóch zbiorów jest równa większej z tych dwóch mocy zbiorów. Z drugiej strony, ponieważ
\(\displaystyle{ \left( X \setminus Y \right) \cup Y =X}\), więc jest to moc samego zbioru
\(\displaystyle{ X}\), a ponieważ zarówno
\(\displaystyle{ \left| X \setminus Y\right| <\left| X\right|}\), jak i
\(\displaystyle{ \left| Y\right|<\left| X\right|}\), to
\(\displaystyle{ \max\left( \left| X \setminus Y\right|, \left| Y\right| \right) = \left| X\right| <\left| X\right|}\), czyli
\(\displaystyle{ \left| X\right| <\left| X\right|}\)- sprzeczność, bo to daje, że
\(\displaystyle{ X\not\sim X}\)-sprzeczność.
Wobec czego
\(\displaystyle{ \left| X \setminus Y\right| \not< \left| X\right|}\) , a
\(\displaystyle{ \left| X \setminus Y\right| \le \left| X\right|}\), wobec czego
\(\displaystyle{ X \setminus Y\sim X}\), i twierdzenie, w przypadku gdy
\(\displaystyle{ Y\subset X,}\) zachodzi.
Jeśli
\(\displaystyle{ Y\not\subset X}\), to mamy
\(\displaystyle{ X \cap Y\subset Y}\), a więc
\(\displaystyle{ \left| X \cap Y\right| \le \left| Y\right|<\left| X\right|}\), a więc
\(\displaystyle{ \left| X \cap Y\right| <\left| X\right|}\)( jakby co, używamy tu twierdzenia Cantora-Bernsteina, gdyż przechodniość silnej nierówności mocy zbiorów jest równoważna twierdzeniu Cantora- Bernsteina), a więc mamy zbiór nieskończony
\(\displaystyle{ X}\), zbiór
\(\displaystyle{ X \cap Y}\) mocy silnie mniejszej od niego, i niewątpliwe
\(\displaystyle{ X \cap Y \subset X}\). Stosując zatem twierdzenie udowodnione powyżej, w tym przypadku, otrzymujemy
\(\displaystyle{ X \setminus Y= X \setminus \left( X \cap Y\right)\sim X}\), a więc
\(\displaystyle{ X \setminus Y\sim X.\square}\)
Rozważmy teraz zbiór nieskończony
\(\displaystyle{ X}\), oraz zbiór
\(\displaystyle{ Y}\) mocy nie większej od niego. Wykażemy, że
\(\displaystyle{ X \cup Y\sim X}\).
OOWÓD TEGO FAKTU:
Rozważmy najpierw przypadek, gdy zbiory
\(\displaystyle{ X}\) i
\(\displaystyle{ Y}\) są rozłączne. Wtedy
\(\displaystyle{ \left| X \cup Y\right|= max \left( \left| X\right|, \left| Y\right| \right)= \left|X \right|}\), a więc
\(\displaystyle{ X \cup Y\sim X}\), i twierdzenie, w przypadku, gdy zbiory
\(\displaystyle{ X,Y}\) są rozłączne, zachodzi.
Jeśli zbiory
\(\displaystyle{ X}\) i
\(\displaystyle{ Y}\) nie są rozłączne. Wtedy już zbiory
\(\displaystyle{ X}\) i
\(\displaystyle{ Y \setminus X}\) są rozłączne, a więc mamy zbiór nieskończony
\(\displaystyle{ X}\), i ponieważ
\(\displaystyle{ Y \setminus X \subset Y}\), a więc
\(\displaystyle{ \left| Y \setminus X\right| \le \left| Y\right| \le \left| X\right|}\), a więc
\(\displaystyle{ \left| Y \setminus X\right| \le \left| X\right|}\), i zbiory
\(\displaystyle{ X}\) i
\(\displaystyle{ Y \setminus X}\) są rozłączne, stosując zatem twierdzenie udowodnione powyżej, w przypadku zbiorów rozłącznych, więc otrzymujemy:
\(\displaystyle{ X \cup Y=X \cup \left( Y \setminus X\right) \sim X}\), czyli
\(\displaystyle{ X \cup Y\sim X.\square}\)
Na koniec udowodnimy, że jeśli
\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem nieskończonym, a
\(\displaystyle{ Y}\) zbiorem mocy silnie mniejszej od niego, to różnica symetryczna
\(\displaystyle{ X\oplus Y\sim X}\) jest równoliczna ze zbiorem
\(\displaystyle{ X}\).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Mamy
\(\displaystyle{ X\oplus Y=\left( X \setminus Y\right) \cup \left( Y \setminus X\right)}\) , a więc, na mocy pierwszego z tych dwóch faktów udowodnionych powyżej, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ X \setminus Y\sim X;}\) ponieważ
\(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem nieskończonym, więc zbiór
\(\displaystyle{ X \setminus Y,}\) jako zbiór z nim równoliczny, będzie nieskończony. Mamy
\(\displaystyle{ Y \setminus X\subset Y}\), a więc
\(\displaystyle{ \left| Y \setminus X\right| \le \left| Y\right|<\left| X\right|}\), a więc
\(\displaystyle{ \left| Y \setminus X\right|<\left| X\right| =\left| X \setminus Y\right|}\), stosując zatem do zbiorów
\(\displaystyle{ X \setminus Y}\) i
\(\displaystyle{ Y \setminus X}\) drugi z powyższych faktów, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ X\oplus Y=\left( X \setminus Y \right) \cup \left( Y \setminus X\right)\sim X \setminus Y\sim X}\), a więc
\(\displaystyle{ X\oplus Y\sim X. \square}\)