Zbiór dwuelementowy - konstrukcja funkcji
: 19 sie 2019, o 00:12
Mamy takie oto zdanie:
Dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A}\), jeśli istnieją \(\displaystyle{ p,q}\) takie, że \(\displaystyle{ A=\{p,q\}}\), to istnieje funkcja \(\displaystyle{ f:\{0,1\}\rightarrow A}\) taka, że \(\displaystyle{ A=\{f(0),f(1)\}}\)
przy czym napis \(\displaystyle{ T=\{\alpha,\beta\}}\) oznacza dla mnie formalnie tutaj
\(\displaystyle{ \forall_x\left( x\in T \iff \left( x=\alpha \vee x=\beta\right) \right)}\)
Pytanie zasadnicze, jak to niepozorne zdanie udowodnić w aksjomatycznej teorii mnogości !?
Mój jedyny pomysł jest taki, żeby dla dowolnego takiego zbioru \(\displaystyle{ A}\) zastosować twierdzenie Zermelo o dobrym uporządkowaniu i przy tym mam nieodparte wrażenie, że bez pewnika wyboru się nie obejdzie. Czy komuś coś wiadomo na temat możliwości udowodnienia tego w ZF?
-- 18 sie 2019, o 23:43 --
Napisałem strasznie głupi post. Istnienie tej funkcji jest oczywiste. Chodziło mi tutaj o to, że wskazanie tej funkcji nie jest jednoznaczne, więc chcąc przyporządkować każdemu zbiorowi \(\displaystyle{ A}\) (z innego z góry ustalonego zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)) taką funkcję \(\displaystyle{ f}\), będzie potrzebny pewnik wyboru. No cóż, temat już jest.
Dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A}\), jeśli istnieją \(\displaystyle{ p,q}\) takie, że \(\displaystyle{ A=\{p,q\}}\), to istnieje funkcja \(\displaystyle{ f:\{0,1\}\rightarrow A}\) taka, że \(\displaystyle{ A=\{f(0),f(1)\}}\)
przy czym napis \(\displaystyle{ T=\{\alpha,\beta\}}\) oznacza dla mnie formalnie tutaj
\(\displaystyle{ \forall_x\left( x\in T \iff \left( x=\alpha \vee x=\beta\right) \right)}\)
Pytanie zasadnicze, jak to niepozorne zdanie udowodnić w aksjomatycznej teorii mnogości !?
Mój jedyny pomysł jest taki, żeby dla dowolnego takiego zbioru \(\displaystyle{ A}\) zastosować twierdzenie Zermelo o dobrym uporządkowaniu i przy tym mam nieodparte wrażenie, że bez pewnika wyboru się nie obejdzie. Czy komuś coś wiadomo na temat możliwości udowodnienia tego w ZF?
-- 18 sie 2019, o 23:43 --
Napisałem strasznie głupi post. Istnienie tej funkcji jest oczywiste. Chodziło mi tutaj o to, że wskazanie tej funkcji nie jest jednoznaczne, więc chcąc przyporządkować każdemu zbiorowi \(\displaystyle{ A}\) (z innego z góry ustalonego zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\)) taką funkcję \(\displaystyle{ f}\), będzie potrzebny pewnik wyboru. No cóż, temat już jest.