Zbiór dwuelementowy - konstrukcja funkcji

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1745
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec

Zbiór dwuelementowy - konstrukcja funkcji

Post autor: matmatmm » 19 sie 2019, o 00:12

Mamy takie oto zdanie:

Dla każdego zbioru \(A\), jeśli istnieją \(p,q\) takie, że \(A=\{p,q\}\), to istnieje funkcja \(f:\{0,1\}\rightarrow A\) taka, że \(A=\{f(0),f(1)\}\)

przy czym napis \(T=\{\alpha,\beta\}\) oznacza dla mnie formalnie tutaj

\(\forall_x\left( x\in T \iff \left( x=\alpha \vee x=\beta\right) \right)\)

Pytanie zasadnicze, jak to niepozorne zdanie udowodnić w aksjomatycznej teorii mnogości !?

Mój jedyny pomysł jest taki, żeby dla dowolnego takiego zbioru \(A\) zastosować twierdzenie Zermelo o dobrym uporządkowaniu i przy tym mam nieodparte wrażenie, że bez pewnika wyboru się nie obejdzie. Czy komuś coś wiadomo na temat możliwości udowodnienia tego w ZF?

-- 18 sie 2019, o 23:43 --

Napisałem strasznie głupi post. Istnienie tej funkcji jest oczywiste. Chodziło mi tutaj o to, że wskazanie tej funkcji nie jest jednoznaczne, więc chcąc przyporządkować każdemu zbiorowi \(A\) (z innego z góry ustalonego zbioru \(\Omega\)) taką funkcję \(f\), będzie potrzebny pewnik wyboru. No cóż, temat już jest.

ODPOWIEDZ