Strona 1 z 1

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 15 sie 2019, o 17:52
autor: Szustarol
Witam.
Dopiero rozpoczynam swoją przygodę z teorią mnogości. Swoje wątpliwości chciałbym wyrazić na podstawie
zadania.
Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A}\) następujące warunki są równoważne.
(1) \(\displaystyle{ \bigcup A \subseteq A}\)
(2) Dla dowolnych \(\displaystyle{ x, Z}\), jeśli \(\displaystyle{ x \in Z}\) i \(\displaystyle{ Z \in A}\), to \(\displaystyle{ x \in A}\).
(3) Dla dowolnego \(\displaystyle{ Z}\), jeśli \(\displaystyle{ Z \in A}\), to \(\displaystyle{ Z \subseteq A}\).
(4) \(\displaystyle{ A \subseteq P(A).}\)

Wynikało by z tego, że do rodziny zbiorów mogą należeć również elementy, które nie są zbiorami, jak np. liczby
1, 2, itp. Tylko wtedy pierwszy warunek podany w zadaniu mógłby być spełniony. Wstyd przyznać, ale nie mogłem znaleźć w internecie odpowiedzi, czy tak właśnie jest.
Jeśli tak jest, to w jaki sposób sumujemy rodzinę zbiorów, która zawiera też liczby? Np. czy sumowanie
\(\displaystyle{ \bigcup \{1,2,\{1,2,3\}, 4\} = \{1, 2, 3, 4\}}\) jest poprawne?


Moje kolejne pytanie dotyczy logiki dowodzenia, czy w dowodzie zapis
jesli \(\displaystyle{ x \in A \setminus B,}\) to \(\displaystyle{ (x \in A \wedge x \notin A \cap B)}\) jest poprawny?


Kolejna sprawa, należy sprawdzić, kiedy to jest prawda:
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B = A}\)
Rozwiązuję to w taki sposób:
Weźmy \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cup B \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (1)(x \in A \wedge x \notin B) \vee x \in B}\)
Z drugiej strony (2)\(\displaystyle{ x \in A}\)
Więc z (1) \(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in B \vee x \notin B)}\)
Dalej z (1)\(\displaystyle{ (x \in A \cup B) \wedge (x \in B)}\)
Dalej z (1)\(\displaystyle{ (x \in B)}\)
Mamy więc (z (1))\(\displaystyle{ x \in B}\) oraz (z (2))\(\displaystyle{ x \in A}\)
Więc jest to prawda tylko wtedy, kiedy \(\displaystyle{ A = B}\)
czy jest to poprawne rozwiązanie?

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 15 sie 2019, o 19:02
autor: Gosda
4) Weź \(\displaystyle{ A = \{\clubsuit\}}\), wtedy \(\displaystyle{ P(A) = \{\varnothing, \{\clubsuit\}\}}\), zatem istnieje element \(\displaystyle{ A}\) który nie jest elementem \(\displaystyle{ P(A)}\) (jest nim \(\displaystyle{ \clubsuit}\)), więć teza jest fałszywa.

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 15 sie 2019, o 19:38
autor: Dasio11
Szustarol pisze:Wynikało by z tego, że do rodziny zbiorów mogą należeć również elementy, które nie są zbiorami, jak np. liczby
1, 2, itp.
Przeciwnie - jeśli do zbioru \(\displaystyle{ A}\) należy obiekt niebędący zbiorem, to automatycznie sprawia to, że \(\displaystyle{ A}\) nie jest rodziną zbiorów. Jeśli więc \(\displaystyle{ A}\) ma być rodziną zbiorów, to wszystkie elementy \(\displaystyle{ A}\) muszą być zbiorami.
Szustarol pisze:Jeśli tak jest, to w jaki sposób sumujemy rodzinę zbiorów, która zawiera też liczby?
Nie da się, bo taka operacja nie jest zdefiniowana - i dlatego w zadaniu jest założenie, że \(\displaystyle{ A}\) jest rodziną zbiorów.

Gosda pisze:4) Weź \(\displaystyle{ A = \{\clubsuit\}}\), wtedy \(\displaystyle{ P(A) = \{\varnothing, \{\clubsuit\}\}}\), zatem istnieje element \(\displaystyle{ A}\) który nie jest elementem \(\displaystyle{ P(A)}\) (jest nim \(\displaystyle{ \clubsuit}\)), więć teza jest fałszywa.
A jaki to ma związek z treścią zadania?

Re: Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 15 sie 2019, o 19:42
autor: Jan Kraszewski
Szustarol pisze:Moje kolejne pytanie dotyczy logiki dowodzenia, czy w dowodzie zapis
jesli \(\displaystyle{ x \in A \setminus B,}\) to \(\displaystyle{ (x \in A \wedge x \notin A \cap B)}\) jest poprawny?
Co to znaczy "poprawny"? Takie wnioskowanie jest prawdziwe, ale wymagałoby uzasadnienia (no chyba, że korzystasz z wcześniej udowodnionego faktu).
Szustarol pisze:Kolejna sprawa, należy sprawdzić, kiedy to jest prawda:
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B = A}\)
Rozwiązuję to w taki sposób:
Weźmy \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cup B \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (1)(x \in A \wedge x \notin B) \vee x \in B}\)
Z drugiej strony (2)\(\displaystyle{ x \in A}\)
Więc z (1) \(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in B \vee x \notin B)}\)
Dalej z (1)\(\displaystyle{ (x \in A \cup B) \wedge (x \in B)}\)
Dalej z (1)\(\displaystyle{ (x \in B)}\)
Mamy więc (z (1))\(\displaystyle{ x \in B}\) oraz (z (2))\(\displaystyle{ x \in A}\)
Więc jest to prawda tylko wtedy, kiedy \(\displaystyle{ A = B}\)
czy jest to poprawne rozwiązanie?
Nie. To nie jest poprawne rozwiązanie, bo dostałeś złą odpowiedź. Sama metoda też jest do niczego.

JK

Re: Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 15 sie 2019, o 21:10
autor: Szustarol
Rozumiem, zauważyłem teraz, że moja metoda nie prowadzi tylko do konkluzji, że \(\displaystyle{ A=B}\), ale możliwe są chyba również zawierania - A jest podzbiorem B lub B jest podzbiorem A.

Gdyby A było podzbiorem B, i nie było równe B, to nie następowała by równość, od której wyszedłem.
Zostaje więc możliwość tego, że są one równe, lub B jest podzbiorem A. W zapisie matematycznym:
\(\displaystyle{ B \subseteq A}\).
To tyle co udało mi się uratować z mojej metody, jutro pomyślę nad czymś rozsądniejszym i zastanowię się, dlaczego to podejście nie jest poprawne. Pozdrawiam

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 16 sie 2019, o 18:22
autor: Jan Kraszewski
Twoje podejście i sposób jego opisania wyglądają na jakąś niejasną żonglerkę znaczkami. Być może ukryty jest pod tym jakiś rozsądny pomysł, ale nie widać tego.

Zapisując rozwiązanie powinieneś używać pełnych zdań i dbać o to, by widoczny był ciąg wnioskowań, które wykonujesz. Tymczasem piszesz:
Szustarol pisze:Weźmy \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cup B \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (1)(x \in A \wedge x \notin B) \vee x \in B}\)
To nie jest zdanie w języku polskim, tylko dużo znaczków, które nie wiadomo, skąd się wzięły, co oznaczają i do czego mają służyć. Dalej
Szustarol pisze:Z drugiej strony (2)\(\displaystyle{ x \in A}\)
Ale co "z drugiej strony"? Znów nie wiadomo, skąd to się wzięło.

A potem zaczynasz tymi znaczkami żonglować...

JK

Re: Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 17 sie 2019, o 00:01
autor: Jakub Gurak
Jeśli chodzi o znaczki, to nie jest tak źle (czasami studenci piszą samą ścianę znaczków ), tylko po prostu to niedobry sposób, zaraz wyjaśnię dlaczego.
należy sprawdzić, kiedy to jest prawda:
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B = A}\)
Rozwiązuję to w taki sposób:
Weźmy \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cup B \Rightarrow ...}\)
TO nie tędy droga, Ty zakładasz ,że dla zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) zachodzi równość zbiorów, i zastanawiasz się co z tego wynika (najlepiej przez przejścia równoważne). Ja może zacznę, jeśli \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B=A,}\) to każdy element zbioru \(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B}\) jest elementem zbioru \(\displaystyle{ A}\), więc również każdy element zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest elementem \(\displaystyle{ A,}\) skąd \(\displaystyle{ B \subset A.}\) Zastanów się nad tym jeszcze.

Takie masz szczęście, że i to będzie (ale warto się o tym przekonać ) odpowiedź do tego zadania. Na prawdę farta masz, chciałem tylko zacząć rozumowanie, i doszliśmy do odpowiedzi (ale proponuję to sprawdzić).

Re: Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 17 sie 2019, o 00:18
autor: Jan Kraszewski
Jakub Gurak pisze:Takie masz szczęście, że i to będzie (ale warto się o tym przekonać ) odpowiedź do tego zadania. Na prawdę farta masz, chciałem tylko zacząć rozumowanie, i doszliśmy do odpowiedzi (ale proponuję to sprawdzić).
Po pierwsze, "fart" nie jest najlepszą rekomendacją dla tego rozumowania. Po drugie, nie doszedłeś do odpowiedzi, tylko otrzymałeś pewien warunek konieczny (choć z drugiej strony sformułowanie "należy sprawdzić, kiedy to jest prawda" jest mocno nieprecyzyjne, więc niezupełnie wiadomo, jaka wersja odpowiedzi jest oczekiwana - formalnie pasuje dowolny warunek dostateczny).

Najrozsądniej jest przyjąć, że odpowiedzią jest jak najprostszy warunek równoważny danemu warunkowi, a to wymaga nieco więcej. Najprościej jest skorzystać z dwóch prostych faktów (które same w sobie oczywiście wymagają uzasadnienia):
1. \(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\)
2. \(\displaystyle{ A\cup B=A \Leftrightarrow B \subseteq A.}\)

JK

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 17 sie 2019, o 13:20
autor: Szustarol
Tutaj pojawia się mój największy problem. Relacja typu:
\(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\)
Jest dla mnie intuicyjnie oczywista.
Natomiast prawdopodobnie znaczenie ma tu też sam sposób dowodzenia.

Nigdy nie miałem styczności z teorią mnogości na wykładach czy w szkole, więc nie wiem jak powinien wyglądać
przeprowadzony przeze mnie dowód.

Panie Kraszewski, przeczytałem pierwszy wykład w Pańskiej książce i tutaj właśnie napotkałem największy problem.
Czy oczekuje się od osoby uczącej się teorii zbiorów wyjścia z założenia, że \(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\),
czy powinienem również być w stanie jako nowicjusz tą równość udowodnić? O ile wyżej podana równość nie jest dla mnie nie do udowodnienia, o tyle spotkałem się w zbiorze zadań z zadaniami, w których udowodnienie pewnych intuicyjnie oczywistych zależności z których korzystam wymaga, moim zdaniem, o wiele większego obycia z teorią zbiorów. Ponoć udowodnienie, że 2+2 jest równe 4 jest procesem trudnym i przekraczającym możliwości osoby po szkole średniej. Mimo wszystko każdy dodaje z powodzeniem. Czy podobnie jest z teorią zbiorów?

Proszę o nietraktowanie mojego pytania jako wyrzut, czy też moją niechęć do nauki - jest to bardziej pytanie o sam proces nauki, który dobrze przeprowadzony daje lepsze rezultaty. Myślę również, że jest to pytanie ważne dla innych osób, które nie pobierają wykształcenia w danym dziale matematyki (tu teoria zbiorów), ale studiują go samodzielnie. Pozdrawiam.

-- 17 sie 2019, o 12:59 --

Szybka poprawka, nie wiedzieć czemu nie mogę edytować swojej poprzedniej wiadomości.
Panie Kraszewski, zmyliła mnie zbieżność nazwisk z Zakrzewski, dlatego zapytałem o Pańską książkę. W rzeczywistości chodzi o "Wykłady z wstępu do Matematyki" Guzickiego i Zakrzewskiego. W takim razie moje pytanie jest częściowo nieaktualne, przepraszam za kłopot.

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

: 17 sie 2019, o 21:25
autor: Jan Kraszewski
Szustarol pisze:Tutaj pojawia się mój największy problem. Relacja typu:
\(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\)
Jest dla mnie intuicyjnie oczywista.
To dobrze, że jest intuicyjnie oczywista, ale intuicja nie zastępuje dowodu.
Szustarol pisze:Czy oczekuje się od osoby uczącej się teorii zbiorów wyjścia z założenia, że \(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\), czy powinienem również być w stanie jako nowicjusz tą równość udowodnić?
To nie jest założenie, tylko tożsamość, której prawdziwość powinieneś umieć wykazać.
Szustarol pisze:O ile wyżej podana równość nie jest dla mnie nie do udowodnienia, o tyle spotkałem się w zbiorze zadań z zadaniami, w których udowodnienie pewnych intuicyjnie oczywistych zależności z których korzystam wymaga, moim zdaniem, o wiele większego obycia z teorią zbiorów.
Nie przesadzajmy, nie sądzę, by niezbędne było "o wiele większe obycie z teorią zbiorów". To jest początek Wstępu do matematyki. Do prawdziwej teorii mnogości jeszcze daleko...
Szustarol pisze:Panie Kraszewski, zmyliła mnie zbieżność nazwisk z Zakrzewski, dlatego zapytałem o Pańską książkę. W rzeczywistości chodzi o "Wykłady z wstępu do Matematyki" Guzickiego i Zakrzewskiego.
Książka Guzickiego i Zakrzewskiego odpowiada temu, jak uczony jest Wstęp do matematyki na matematyce na UW i jest nieco trudniejsza od mojej książki. Moją możesz znaleźć w bibliotece i zobaczyć, może będzie dla Ciebie przystępniejsza (tylko nie zapomnij ściągnąć erratę z mojej strony).

JK