Matematyka.pl

Witam.
Dopiero rozpoczynam swoją przygodę z teorią mnogości. Swoje wątpliwości chciałbym wyrazić na podstawie
zadania.
Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów \(\displaystyle{ A}\) następujące warunki są równoważne.
(1) \(\displaystyle{ \bigcup A \subseteq A}\)
(2) Dla dowolnych \(\displaystyle{ x, Z}\), jeśli \(\displaystyle{ x \in Z}\) i \(\displaystyle{ Z \in A}\), to \(\displaystyle{ x \in A}\).
(3) Dla dowolnego \(\displaystyle{ Z}\), jeśli \(\displaystyle{ Z \in A}\), to \(\displaystyle{ Z \subseteq A}\).
(4) \(\displaystyle{ A \subseteq P(A).}\)

Wynikało by z tego, że do rodziny zbiorów mogą należeć również elementy, które nie są zbiorami, jak np. liczby
1, 2, itp. Tylko wtedy pierwszy warunek podany w zadaniu mógłby być spełniony. Wstyd przyznać, ale nie mogłem znaleźć w internecie odpowiedzi, czy tak właśnie jest.
Jeśli tak jest, to w jaki sposób sumujemy rodzinę zbiorów, która zawiera też liczby? Np. czy sumowanie
\(\displaystyle{ \bigcup \{1,2,\{1,2,3\}, 4\} = \{1, 2, 3, 4\}}\) jest poprawne?

Moje kolejne pytanie dotyczy logiki dowodzenia, czy w dowodzie zapis
jesli \(\displaystyle{ x \in A \setminus B,}\) to \(\displaystyle{ (x \in A \wedge x \notin A \cap B)}\) jest poprawny?

Kolejna sprawa, należy sprawdzić, kiedy to jest prawda:
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B = A}\)
Rozwiązuję to w taki sposób:
Weźmy \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cup B \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (1)(x \in A \wedge x \notin B) \vee x \in B}\)
Z drugiej strony (2)\(\displaystyle{ x \in A}\)
Więc z (1) \(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in B \vee x \notin B)}\)
Dalej z (1)\(\displaystyle{ (x \in A \cup B) \wedge (x \in B)}\)
Dalej z (1)\(\displaystyle{ (x \in B)}\)
Mamy więc (z (1))\(\displaystyle{ x \in B}\) oraz (z (2))\(\displaystyle{ x \in A}\)
Więc jest to prawda tylko wtedy, kiedy \(\displaystyle{ A = B}\)
czy jest to poprawne rozwiązanie?

4) Weź \(\displaystyle{ A = \{\clubsuit\}}\), wtedy \(\displaystyle{ P(A) = \{\varnothing, \{\clubsuit\}\}}\), zatem istnieje element \(\displaystyle{ A}\) który nie jest elementem \(\displaystyle{ P(A)}\) (jest nim \(\displaystyle{ \clubsuit}\)), więć teza jest fałszywa.

Szustarol pisze:Wynikało by z tego, że do rodziny zbiorów mogą należeć również elementy, które nie są zbiorami, jak np. liczby
1, 2, itp.

Przeciwnie - jeśli do zbioru \(\displaystyle{ A}\) należy obiekt niebędący zbiorem, to automatycznie sprawia to, że \(\displaystyle{ A}\) nie jest rodziną zbiorów. Jeśli więc \(\displaystyle{ A}\) ma być rodziną zbiorów, to wszystkie elementy \(\displaystyle{ A}\) muszą być zbiorami.

Szustarol pisze:Jeśli tak jest, to w jaki sposób sumujemy rodzinę zbiorów, która zawiera też liczby?

Nie da się, bo taka operacja nie jest zdefiniowana - i dlatego w zadaniu jest założenie, że \(\displaystyle{ A}\) jest rodziną zbiorów.

Gosda pisze:4) Weź \(\displaystyle{ A = \{\clubsuit\}}\), wtedy \(\displaystyle{ P(A) = \{\varnothing, \{\clubsuit\}\}}\), zatem istnieje element \(\displaystyle{ A}\) który nie jest elementem \(\displaystyle{ P(A)}\) (jest nim \(\displaystyle{ \clubsuit}\)), więć teza jest fałszywa.

A jaki to ma związek z treścią zadania?

Szustarol pisze:Moje kolejne pytanie dotyczy logiki dowodzenia, czy w dowodzie zapis
jesli \(\displaystyle{ x \in A \setminus B,}\) to \(\displaystyle{ (x \in A \wedge x \notin A \cap B)}\) jest poprawny?

Co to znaczy "poprawny"? Takie wnioskowanie jest prawdziwe, ale wymagałoby uzasadnienia (no chyba, że korzystasz z wcześniej udowodnionego faktu).

Szustarol pisze:Kolejna sprawa, należy sprawdzić, kiedy to jest prawda:
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B = A}\)
Rozwiązuję to w taki sposób:
Weźmy \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cup B \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (1)(x \in A \wedge x \notin B) \vee x \in B}\)
Z drugiej strony (2)\(\displaystyle{ x \in A}\)
Więc z (1) \(\displaystyle{ (x \in A \vee x \in B) \wedge (x \in B \vee x \notin B)}\)
Dalej z (1)\(\displaystyle{ (x \in A \cup B) \wedge (x \in B)}\)
Dalej z (1)\(\displaystyle{ (x \in B)}\)
Mamy więc (z (1))\(\displaystyle{ x \in B}\) oraz (z (2))\(\displaystyle{ x \in A}\)
Więc jest to prawda tylko wtedy, kiedy \(\displaystyle{ A = B}\)
czy jest to poprawne rozwiązanie?

Nie. To nie jest poprawne rozwiązanie, bo dostałeś złą odpowiedź. Sama metoda też jest do niczego.

JK

Rozumiem, zauważyłem teraz, że moja metoda nie prowadzi tylko do konkluzji, że \(\displaystyle{ A=B}\), ale możliwe są chyba również zawierania - A jest podzbiorem B lub B jest podzbiorem A.

Gdyby A było podzbiorem B, i nie było równe B, to nie następowała by równość, od której wyszedłem.
Zostaje więc możliwość tego, że są one równe, lub B jest podzbiorem A. W zapisie matematycznym:
\(\displaystyle{ B \subseteq A}\).
To tyle co udało mi się uratować z mojej metody, jutro pomyślę nad czymś rozsądniejszym i zastanowię się, dlaczego to podejście nie jest poprawne. Pozdrawiam

Twoje podejście i sposób jego opisania wyglądają na jakąś niejasną żonglerkę znaczkami. Być może ukryty jest pod tym jakiś rozsądny pomysł, ale nie widać tego.

Zapisując rozwiązanie powinieneś używać pełnych zdań i dbać o to, by widoczny był ciąg wnioskowań, które wykonujesz. Tymczasem piszesz:

Szustarol pisze:Weźmy \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cup B \Rightarrow}\)
\(\displaystyle{ (1)(x \in A \wedge x \notin B) \vee x \in B}\)

To nie jest zdanie w języku polskim, tylko dużo znaczków, które nie wiadomo, skąd się wzięły, co oznaczają i do czego mają służyć. Dalej

Szustarol pisze:Z drugiej strony (2)\(\displaystyle{ x \in A}\)

Ale co "z drugiej strony"? Znów nie wiadomo, skąd to się wzięło.

A potem zaczynasz tymi znaczkami żonglować...

JK

Jeśli chodzi o znaczki, to nie jest tak źle (czasami studenci piszą samą ścianę znaczków ), tylko po prostu to niedobry sposób, zaraz wyjaśnię dlaczego.

należy sprawdzić, kiedy to jest prawda:
\(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B = A}\)
Rozwiązuję to w taki sposób:
Weźmy \(\displaystyle{ x \in (A \setminus B) \cup B \Rightarrow ...}\)

TO nie tędy droga, Ty zakładasz ,że dla zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) zachodzi równość zbiorów, i zastanawiasz się co z tego wynika (najlepiej przez przejścia równoważne). Ja może zacznę, jeśli \(\displaystyle{ (A \setminus B) \cup B=A,}\) to każdy element zbioru \(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B}\) jest elementem zbioru \(\displaystyle{ A}\), więc również każdy element zbioru \(\displaystyle{ B}\) jest elementem \(\displaystyle{ A,}\) skąd \(\displaystyle{ B \subset A.}\) Zastanów się nad tym jeszcze.

Takie masz szczęście, że i to będzie (ale warto się o tym przekonać ) odpowiedź do tego zadania. Na prawdę farta masz, chciałem tylko zacząć rozumowanie, i doszliśmy do odpowiedzi (ale proponuję to sprawdzić).

Jakub Gurak pisze:Takie masz szczęście, że i to będzie (ale warto się o tym przekonać ) odpowiedź do tego zadania. Na prawdę farta masz, chciałem tylko zacząć rozumowanie, i doszliśmy do odpowiedzi (ale proponuję to sprawdzić).

Po pierwsze, "fart" nie jest najlepszą rekomendacją dla tego rozumowania. Po drugie, nie doszedłeś do odpowiedzi, tylko otrzymałeś pewien warunek konieczny (choć z drugiej strony sformułowanie "należy sprawdzić, kiedy to jest prawda" jest mocno nieprecyzyjne, więc niezupełnie wiadomo, jaka wersja odpowiedzi jest oczekiwana - formalnie pasuje dowolny warunek dostateczny).

Najrozsądniej jest przyjąć, że odpowiedzią jest jak najprostszy warunek równoważny danemu warunkowi, a to wymaga nieco więcej. Najprościej jest skorzystać z dwóch prostych faktów (które same w sobie oczywiście wymagają uzasadnienia):
1. \(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\)
2. \(\displaystyle{ A\cup B=A \Leftrightarrow B \subseteq A.}\)

JK

Tutaj pojawia się mój największy problem. Relacja typu:
\(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\)
Jest dla mnie intuicyjnie oczywista.
Natomiast prawdopodobnie znaczenie ma tu też sam sposób dowodzenia.

Nigdy nie miałem styczności z teorią mnogości na wykładach czy w szkole, więc nie wiem jak powinien wyglądać
przeprowadzony przeze mnie dowód.

Panie Kraszewski, przeczytałem pierwszy wykład w Pańskiej książce i tutaj właśnie napotkałem największy problem.
Czy oczekuje się od osoby uczącej się teorii zbiorów wyjścia z założenia, że \(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\),
czy powinienem również być w stanie jako nowicjusz tą równość udowodnić? O ile wyżej podana równość nie jest dla mnie nie do udowodnienia, o tyle spotkałem się w zbiorze zadań z zadaniami, w których udowodnienie pewnych intuicyjnie oczywistych zależności z których korzystam wymaga, moim zdaniem, o wiele większego obycia z teorią zbiorów. Ponoć udowodnienie, że 2+2 jest równe 4 jest procesem trudnym i przekraczającym możliwości osoby po szkole średniej. Mimo wszystko każdy dodaje z powodzeniem. Czy podobnie jest z teorią zbiorów?

Proszę o nietraktowanie mojego pytania jako wyrzut, czy też moją niechęć do nauki - jest to bardziej pytanie o sam proces nauki, który dobrze przeprowadzony daje lepsze rezultaty. Myślę również, że jest to pytanie ważne dla innych osób, które nie pobierają wykształcenia w danym dziale matematyki (tu teoria zbiorów), ale studiują go samodzielnie. Pozdrawiam.

-- 17 sie 2019, o 12:59 --

Szybka poprawka, nie wiedzieć czemu nie mogę edytować swojej poprzedniej wiadomości.
Panie Kraszewski, zmyliła mnie zbieżność nazwisk z Zakrzewski, dlatego zapytałem o Pańską książkę. W rzeczywistości chodzi o "Wykłady z wstępu do Matematyki" Guzickiego i Zakrzewskiego. W takim razie moje pytanie jest częściowo nieaktualne, przepraszam za kłopot.

Szustarol pisze:Tutaj pojawia się mój największy problem. Relacja typu:
\(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\)
Jest dla mnie intuicyjnie oczywista.

To dobrze, że jest intuicyjnie oczywista, ale intuicja nie zastępuje dowodu.

Szustarol pisze:Czy oczekuje się od osoby uczącej się teorii zbiorów wyjścia z założenia, że \(\displaystyle{ (A \setminus B)\cup B=A\cup B}\), czy powinienem również być w stanie jako nowicjusz tą równość udowodnić?

To nie jest założenie, tylko tożsamość, której prawdziwość powinieneś umieć wykazać.

Szustarol pisze:O ile wyżej podana równość nie jest dla mnie nie do udowodnienia, o tyle spotkałem się w zbiorze zadań z zadaniami, w których udowodnienie pewnych intuicyjnie oczywistych zależności z których korzystam wymaga, moim zdaniem, o wiele większego obycia z teorią zbiorów.

Nie przesadzajmy, nie sądzę, by niezbędne było "o wiele większe obycie z teorią zbiorów". To jest początek Wstępu do matematyki. Do prawdziwej teorii mnogości jeszcze daleko...

Szustarol pisze:Panie Kraszewski, zmyliła mnie zbieżność nazwisk z Zakrzewski, dlatego zapytałem o Pańską książkę. W rzeczywistości chodzi o "Wykłady z wstępu do Matematyki" Guzickiego i Zakrzewskiego.

Książka Guzickiego i Zakrzewskiego odpowiada temu, jak uczony jest Wstęp do matematyki na matematyce na UW i jest nieco trudniejsza od mojej książki. Moją możesz znaleźć w bibliotece i zobaczyć, może będzie dla Ciebie przystępniejsza (tylko nie zapomnij ściągnąć erratę z

Kod: Zaznacz cały

http://www.math.uni.wroc.pl/~kraszew/

).

JK

Matematyka.pl

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Re: Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Re: Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Re: Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Re: Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania

Kilka pytań od początkującego na podstawie zadania