Zbiór nie zawiera żadnego nieskończonego podzbiory gęstego

[stefcio2]

Treść zadania:

Udowodnić, że zbiór wszystkich liczb postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \in \ZZ - \left\{ 0\right\}}\), (\(\displaystyle{ \ZZ}\) jest zbiorem wszystkich liczb całkowitych), nie zawiera żadnego nieskończonego podzbioru gęstego

Mam dwa pytanie Pierwsze to nie wiem, czy dobrze zrozumiałem treść. Rozumuję w ten sposób: mam udowodnić, że zbiór \(\displaystyle{ \left(\ZZ, \le \right)}\) jest zbiorem liniowo uporządkowanym przez relację \(\displaystyle{ \le}\) nie zawiera podzbioru nieskończonego \(\displaystyle{ \left( A, \le \right)}\) takiego, który byłby liniowo uporządkowany w typ gęsty. Czyli nie ma tak, że dla każdej pary \(\displaystyle{ x, y \in A}\) istnieje \(\displaystyle{ z \in A}\), takie że \(\displaystyle{ x \prec z \prec y}\).

Drugie pytanie: jeśli moje rozumowanie jest poprawne, to czy można prosić o jakąś wskazówkę, na co zwrócić uwagę, żeby rozwiązać to zadanie?

[Premislav]

Dziwne jest to zadanie. Nie wciśniesz żadnego elementu tego zbioru między liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{k+1}}\) a \(\displaystyle{ \frac{1}{k}}\), bo to by w szczególności znaczyło, że istnieje liczba całkowita w przedziale \(\displaystyle{ (k, k+1)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\) całkowitego.

[stefcio2]

No właśnie tak coś mi nie pasowało w tym zadaniu, że nie ma jasno napisane, że bierzemy pod uwagę relację niewiększości. Zapytałem się, bo może tu jaki haczyk jest który przeoczyłem. Jeśli to ma się tyczyć relacji niewiększość, to rozwiązanie wydaje mi się dość proste, ale jeśli to miałaby być dowolna relacja liniowo porządkująca, to przecież równie dobrze można by rozważać dowolny zbiór nieskończony? Sam nie wiem. A zadanie jest z książki "Wstęp do matematyki współczesnej" H. Rasiowa str. 138

[Jan Kraszewski]

Jeżeli rozpatrujesz podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego, to domyślnie z tym samym porządkiem. A na zbiorze liczb wymiernych masz naturalny porządek - jeśli nie został podany inny porządek, to zakładasz, że masz do czynienia właśnie z porządkiem naturalnym.

JK