Zbiory, funkcje- aksjomat wyboru

[Jakub Gurak]

Mam na myśli poniższy fakt równoważny aksjomatów wyboru.

Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ X, Y}\) oraz dowolnej funkcji \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) 'na' \(\displaystyle{ Y}\) istnieje funkcja \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\), taka, że złożenie \(\displaystyle{ f\circ g}\) jest funkcją identyczności na zbiorze \(\displaystyle{ Y}\).

To nie takie straszne, jeśli się sprawę objaśni. Aby to zrobić rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) na \(\displaystyle{ Y}\), i rozważmy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) wszystkich przeciwobrazów zbiorów jednoelementowych. Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest "na" zbiór Y, to takie przeciwobrazy są zawsze niepuste. Są również rozłączne. Przypiszmy elementowi \(\displaystyle{ y \in Y}\) element jego przeciwobrazu; gdy tak zrobimy, to w wyniku złożenia z funkcją f element \(\displaystyle{ y}\) powróci, tzn. złożenie będzie mieć punkt stały. Jeśli dowolnemu elementowi \(\displaystyle{ y \in Y}\) będziemy przypisywać element jego przeciwobrazu, stąd łatwo przepuścić, że złożenie będzie mieć w każdym punkcie \(\displaystyle{ y}\) punkt stały, stąd będzie identycznością na \(\displaystyle{ Y}\). Jeśli natomiast przypisalibyśmy element spoza przeciwobrazu zbioru \(\displaystyle{ \left\{ y\right\}}\) , to złożenie nie będzie mieć punktu stałego, stąd nie będzie identycznością na \(\displaystyle{ Y}\). Tyle tylko, aby możliwe było utworzenie funkcji musimy wybrać jeden element z wielu (na ogół ) elementów jego przeciwobrazu. I tak dla dowolnego \(\displaystyle{ y \in Y}\)... Dlatego to jest równoważne aksjomatowi wyboru, ale musimy to też udowodnić.

Pokażemy najpierw, że z aksjomatu wyboru wynika powyższe stwierdzenie.

Weźmy zbiory \(\displaystyle{ X,Y}\) oraz dowolną funkcję \(\displaystyle{ f:X\rightarrow Y}\) 'na' zbiór \(\displaystyle{ Y}\). Rozważmy rodzinę wszystkich przeciwobrazów zbiorów jednoelementowych, tzn.

\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{A\subset X\Bigl| \ \ \bigvee\limits_{y\in Y} \ A=\stackrel{\rightarrow} {f^{-1}} \{ y \} \ \right\}.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest "na" to takie przeciwobrazy są zawsze niepuste, skąd \(\displaystyle{ \emptyset\not\in B,}\) Jeśli zbiory \(\displaystyle{ X_1,X_2\in B}\) są różne to są rozłączne. Wtedy \(\displaystyle{ X_1=\stackrel {\rightarrow}{f^{-1}} \left\{y_1\right\}}\) DLA pewnego \(\displaystyle{ y_1}\) oraz \(\displaystyle{ X_2=\stackrel {\rightarrow}{f^{-1}}\left\{ y_2 \right\}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ y_2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ X_1\neq X_2}\), więc również \(\displaystyle{ y_1\neq y_2}\), więc zbiory \(\displaystyle{ X_1,X_2}\) jako przeciwobrazy różnych zbiorów jednoelementowych będą rozłączne. Wobec powyższych do rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) możemy zastosować aksjomatu wyboru, i otrzymujemy zbiór \(\displaystyle{ S}\) mający po dokładnie jednym elemencie wspólnym z każdym zbiorem rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\). Wtedy rozważmy relacje \(\displaystyle{ g}\), określoną jako

\(\displaystyle{ g =\left\{ (y,x)\in Y\times X\Bigl| \ \ \left\{x \right\}=\stackrel {\rightarrow}{f^{-1}}\left\{ y\right\}\cap S \ \right\}.}\)

Relacja \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją z definicji i z własności zbioru \(\displaystyle{ S}\). A więc \(\displaystyle{ g: Y\rightarrow X.}\) Pokażemy, że złożenie \(\displaystyle{ g}\) z \(\displaystyle{ f}\) jest identycznością na \(\displaystyle{ Y}\). Niech \(\displaystyle{ y\in Y.}\) Wtedy \(\displaystyle{ g(y)=:x}\) oznacza, że \(\displaystyle{ (y,x)\in g,}\) a więc( z definicji \(\displaystyle{ g}\)) \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}= \stackrel{\rightarrow}{f^{-1}} \left\{y \right\}\cap S,}\) a więc \(\displaystyle{ x\in \stackrel{\rightarrow}{f^{-1}} \left\{y \right\}}\), czyli \(\displaystyle{ f(x)=y}\), a więc \(\displaystyle{ (f\circ g)(y)=y}\), i \(\displaystyle{ f \circ g=I_Y. \square}\)

Reszta później.

[Jakub Gurak]

Pokażemy teraz, że z powyzszej wypowiedzi wynika aksjomat wyboru.

Niech \(\displaystyle{ \mathbb {X} }\) będzie rodziną zbiorów rozłącznych, tak że \(\displaystyle{ \emptyset\not\in\mathbb{X} }\), czyli niepustych. Rozważmy relację \(\displaystyle{ f:\bigcup\mathbb {X}\rightarrow \mathbb{X} }\) określoną jako:

\(\displaystyle{ f(a) =b\Longleftrightarrow a\in b.}\)

Relacja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją, gdyż każdy element zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X} }\) należy do dokładnie jednego zbioru w \(\displaystyle{ \mathbb {X}}\) (gdyby element \(\displaystyle{ a\in A,B\in\mathbb{X},}\)) gdzie \(\displaystyle{ A\neq B,}\) to wtedy \(\displaystyle{ a\in A\cap B,}\) co jest sprzeczne z tym, że zbiory rodziny \(\displaystyle{ X}\) są rozłączne, z definicji sumy każdy element zbioru \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{X} }\) należy do co najmniej jednego zbioru rodziny \(\displaystyle{ X}\)). A więc \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją, czyli \(\displaystyle{ f:\bigcup\mathbb {X}\rightarrow \mathbb {X}.}\) Jest to funkcja " na". Aby się o tym przekonać, to niech \(\displaystyle{ A\in\mathbb {X}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \emptyset\not\in\mathbb {X}, }\) więc \(\displaystyle{ A\neq\emptyset, }\) a więc istnieje \(\displaystyle{ a\in A. }\) Ustalmy taki element. Wtedy \(\displaystyle{ a\in \bigcup\mathbb {X}, }\) i \(\displaystyle{ a\in A,}\) a więc z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ f(a)= A,}\) i wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest "na".

Na mocy zakładanego twierdzenia istnieje funkcja \(\displaystyle{ g:\mathbb {X}\rightarrow\bigcup\mathbb {X}, }\) taka, że złożenie \(\displaystyle{ f\circ g}\) jest identycznością na \(\displaystyle{ \mathbb {X}.}\) Niech \(\displaystyle{ A\in\mathbb {X}. }\) Wtedy \(\displaystyle{ (f \circ g)(A)=A= f(g(A)),}\) co oznacza z definicji funkcji \(\displaystyle{ f}\), że \(\displaystyle{ g(A)\in A,}\) a ponieważ \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją, to jej zbiór wartości \(\displaystyle{ g_P}\) ma z każdym zbiorem \(\displaystyle{ A\in\mathbb {X} }\) ma dokładnie jeden element wspólny, co oznacza prawdziwość aksjomatu wyboru.\(\displaystyle{ \square}\)

A więc jest to równoważnik aksjomatowi wyboru. Możemy dzięki temu scharakteryzować funkcje "na":

Funkcja \(\displaystyle{ f:X\rightarrow Y}\) jest "na" zbiór \(\displaystyle{ Y}\), wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja \(\displaystyle{ g:Y \rightarrow X}\), taka, że \(\displaystyle{ f \circ g=I_Y.}\)

Dowód odwołuje się do aksjomatu wyboru. Wtedy rzeczywiście pokazaliśmy implikacje \(\displaystyle{ \Longrightarrow. }\) Natomiast dowód implikacji w drugą stronę jest bardzo prosty.

Załóżmy, że istnieje funkcja \(\displaystyle{ g:Y\rightarrow X}\) taka, że \(\displaystyle{ f \circ g=I_Y. }\) Aby pokazać, że \(\displaystyle{ f}\) jest " na" zbiór \(\displaystyle{ Y}\), to niech \(\displaystyle{ y\in Y.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ g:Y\rightarrow X}\), więc oznaczmy \(\displaystyle{ g(y)=:x.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ f\circ g=I_Y, }\) więc \(\displaystyle{ (f\circ g)(y)=y}\). Zatem z definicji złożenia funkcji dostajemy \(\displaystyle{ f(g(y))=y}\). Podstawiając za \(\displaystyle{ g(y)}\) wartość \(\displaystyle{ x}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ f(x)= y,}\) czyli \(\displaystyle{ y}\) jest wartością funkcji \(\displaystyle{ f}\). Z dowolności wyboru elementu \(\displaystyle{ y}\), wnioskujemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest " na". \(\displaystyle{ \square }\)

[Jakub Gurak]

Inne twierdzenie równoważne aksjomatowi wyboru, to twierdzenie o funkcji wyboru:

Dla dowolnej rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) niepustych zbiorów istnieje funkcja wyboru, tzn. funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{X}\rightarrow\bigcup \mathbb{X}}\) taka, że \(\displaystyle{ f(A)\in A,}\) dla każdego \(\displaystyle{ A\in\mathbb{X}.}\)

Poniżej przedstawiamy dowód, że z aksjomat wyboru wynika powyższe twierdzenie.

Dowód

Aby to wykazać, ustalmy dowolną niepustą rodzinę ( dla pustej rodziny wystarczy rozważyć funkcję pustą) \(\displaystyle{ \mathbb{X} \neq \emptyset}\) zbiorów niepustych, tzn. taką, że \(\displaystyle{ \emptyset\notin \mathbb{X}}\). Skonstruujemy rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{X_0}}\), do której stosować będziemy aksjomat wyboru. Rodzina

\(\displaystyle{ \mathbb{X_0} = \{\{A\}\times A\,:\, A\in \mathbb{X}\}}\)

jest rodziną zbiorów rozłącznych, gdyż jeśli \(\displaystyle{ A,B\in X}\), i \(\displaystyle{ A \neq B}\), to \(\displaystyle{ \left( \left\{ A\right\} \times A \right) \cap \left( \left\{ B\right\} \times B \right)=\emptyset,}\) gdyż \(\displaystyle{ A \neq B}\). A więc jest to rodzina zbiorów rozłącznych, niepustych( gdyż \(\displaystyle{ \mathbb{X} }\) jest rodziną zbiorów niepustych). W związku z czym do rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{X_0}}\) możemy zastosować aksjomat wyboru, i otrzymać zbiór \(\displaystyle{ S}\) mający po dokładnie jednym elemencie wspólnym z każdym zbiorem \(\displaystyle{ A\in\mathbb{X_0}}\). Wtedy \(\displaystyle{ S \cap \bigcup \mathbb{X}_{0} \subset\bigcup\mathbb X_{0} \subset \mathbb{X}\times \bigcup \mathbb{X}}\). Ponieważ z każdego zbioru z \(\displaystyle{ \mathbb{X _{0} }}\) wybraliśmy dokładnie jeden element, to \(\displaystyle{ S}\) jest funkcją z \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) do \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{X}}\). Definicja \(\displaystyle{ \mathbb{X_0}}\) gwarantuje również, że \(\displaystyle{ S(A)\in A,}\) dla każdego \(\displaystyle{ A\in\mathbb{X}}\). Wnioskujemy, że \(\displaystyle{ S}\) może być wzięte jako \(\displaystyle{ f}\), i że z aksjomatu wyboru wynika twierdzenie o funkcji wyboru. \(\displaystyle{ \square}\)

Uff, ważniak jest ciężki. Pokażemy teraz implikacje odwrotną:

(Twierdzenie o funkcji wyboru) \(\displaystyle{ \Longrightarrow}\) (Aksjomat wyboru):

PROSTY DOWÓD:

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) bedzię rodzinę zbiorów niepustych, rozłącznych. W takim razie możemy do tej rodziny zbiorów zastosować twierdzenie o funkcji wyboru, i otrzymać funkcję \(\displaystyle{ f:\mathbb{X}→ \bigcup \mathbb{X}}\) taką, że \(\displaystyle{ f(A) \in A,}\) dla każdego \(\displaystyle{ A\in \mathbb{X}.}\) Ponieważ jest to funkcja, i zbiory tej rodziny są rozłączne, to zbiór wartości tej funkcji \(\displaystyle{ f_P}\) ma z każdym zbiorem \(\displaystyle{ A\in \mathbb{X}}\) ma dokładnie jeden element wspólny. \(\displaystyle{ \square}\)

[Jakub Gurak]

Z tym dowodem, że z aksjomatu wyboru wynika twierdzenie o funkcji wyboru mam problem. Może ktoś z Was mi pomoże:

Ustalmy dowolny zbiór \(\displaystyle{ x}\), taki, że \(\displaystyle{ \emptyset\notin x.}\) Skonstruujemy zbiór \(\displaystyle{ x_1,}\) do którego będziemy stosować aksjomat wyboru. Zbiór:

\(\displaystyle{ x _{1}=\left\{ \left\{ y\right\} \times y: \ \ y \in x \right\}, }\)

jest rodziną zbiorów parami rozłącznych- elementy pochodzące z różnych zbiorów \(\displaystyle{ x}\) różnią się w \(\displaystyle{ x_1}\) na pierwszej współrzędnej. Do zbioru \(\displaystyle{ x _{1} }\) stosujemy aksjomat wyboru i otrzymujemy zbiór \(\displaystyle{ w \subset x \times \bigcup x.}\)

I tu mam problem. Jeszcze wypadałoby sprawdzić, że jest to rodzina zbiorów niepustych( jednak łatwo to wynika stąd, że rodzina \(\displaystyle{ x}\) jest rodziną zbiorów niepustych). Hmm- otrzymujemy zbiór \(\displaystyle{ w \subset x \times \bigcup x.}\) Hm- otrzymujemy tajemniczy zbiór \(\displaystyle{ w}\), mający po dokładnie jednym elemencie wspólnym z każdym zbiorem rodziny \(\displaystyle{ x_1.}\) I teraz jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ S= w \cap \left( x \times \bigcup x\right), }\) to oczywiście \(\displaystyle{ S \subset x \times \bigcup x}\), i taki zbiór \(\displaystyle{ S}\) będzie dalej miał po dokładnie jednym elemencie wspólnym z każdym zbiorem rodziny \(\displaystyle{ x \times \bigcup x, }\) dobrze myślę

[matmatmm]

Hmm- otrzymujemy zbiór \(\displaystyle{ w \subset x \times \bigcup x.}\) Hm- otrzymujemy tajemniczy zbiór \(\displaystyle{ w}\), mający po dokładnie jednym elemencie wspólnym z każdym zbiorem rodziny \(\displaystyle{ x_1.}\) I teraz jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ S= w \cap \left( x \times \bigcup x\right), }\) to oczywiście \(\displaystyle{ S \subset x \times \bigcup x}\), i taki zbiór \(\displaystyle{ S}\) będzie dalej miał po dokładnie jednym elemencie wspólnym z każdym zbiorem rodziny \(\displaystyle{ x \times \bigcup x, }\) dobrze myślę

Skoro \(\displaystyle{ w \subset x \times \bigcup x.}\), to po prostu \(\displaystyle{ S= w \cap \left( x \times \bigcup x\right)=w }\), więc oczywiście tak jest, aczkolwiek nie wiem do czego to jest potrzebne. A zbiór \(\displaystyle{ w}\) wcale nie jest taki tajemniczy - on jest szukaną funkcją wyboru (oczywiście funkcję rozumiemy jako samą relację).

[Jakub Gurak]

Dzisiaj udało mi się to zrozumieć i udowodnić. Przedstawię teraz dowód tego faktu:\(\displaystyle{ }\)

Przypomnijmy, dla jasności, aksjomat wyboru mówi, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów niepustych i rozłącznych ( to ostatnie oznacza, że każde dwa różne zbiory tej rodziny są rozłączne), to istnieje zbiór \(\displaystyle{ S}\), taki, że przekrój \(\displaystyle{ S \cap A}\) jest zbiorem jednoelementowym, dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\) tej rodziny.

Natomiast twierdzenie o funkcji wyboru, mówi, że jeśli \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów niepustych, to istnieje funkcja wyboru tej rodziny, tzn. taka funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{B} \rightarrow \bigcup \mathbb{B}}\), że \(\displaystyle{ f\left( A\right) \in A}\), dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\); funkcja, która każdemu zbiorowi tej rodziny przyporządkowuje pewien jego jeden element (nie pytajcie tylko który to element, jego nie da się wskazać- jest to przykład funkcji, której nie da się zapisać żadnym wzorem).

Wykażemy teraz, że z aksjomatu wyboru wynika twierdzenie o funkcji wyboru.

DOWÓD TEGO FAKTU:

Aby pokazać twierdzenie o funkcji wyboru, to:

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie rodziną zbiorów niepustych, tzn. taką rodziną, że \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \not \in \mathbb{B}.}\)

Rozważmy nową rodzinę zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), do której będziemy stosować aksjomat wyboru:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}= \left\{ \underbrace { \left\{ y\right\} }_{ \subset P\left( \bigcup\mathbb{B}\right) } \times \underbrace{y}_{ \subset \bigcup \mathbb{B} }\Bigl| \ \ y \in \mathbb{B}\right\}; }\)

czyli jest to rodzina iloczynów kartezjańskich postaci \(\displaystyle{ \left\{ A\right\} \times A}\), gdzie: \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}. }\)

Formalniej:

\(\displaystyle{ \mathbb{A}= \left\{ A \subset P\left( \bigcup\mathbb{B}\right) \times \bigcup \mathbb{B} \Bigl| \ \ \bigvee\limits_{y \in \mathbb{B}} A= \left\{ y\right\} \times y \right\}.}\)

Ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów niepustych, więc łatwo jest sprawdzić, że również rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rodziną zbiorów niepustych.

Aby wykazać, że jest to rodzina zbiorów rozłącznych, to weźmy dwa różne zbiory \(\displaystyle{ y_1, y_2 \in \mathbb{B}}\), i rozważmy odpowiadające im zbiory w rodzinie \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), tzn.: \(\displaystyle{ A_1= \left\{ y_1\right\} \times y_1}\) i \(\displaystyle{ A_2= \left\{ y_2\right\} \times y_2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ y_1, y_2 \in \mathbb{B}}\) są różnymi zbiorami, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną zbiorów niepustych, więc zbiory \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ A_2}\) są rozłączne, i, z dowolności wyboru takich zbiorów otrzymujemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych.

Ponadto, jest to rodzina zbiorów niepustych, możemy zatem zastosować do niej aksjomat wyboru. Czyniąc to otrzymujemy tajemniczy zbiór \(\displaystyle{ S}\), taki, że: przekrój \(\displaystyle{ S \cap A}\) jest zbiorem jednoelementowym, dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}. }\)

Wtedy, niech:

\(\displaystyle{ S'= S \cap \left( \mathbb{B} \times \bigcup \mathbb{B}\right).}\)

I niech: \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\).

Wtedy:

\(\displaystyle{ S' \cap A= S \cap \left( \mathbb{B} \times \bigcup\mathbb{B}\right) \cap A=}\)\(\displaystyle{ }\)

co jest równe, na mocy łączności i przemienności przekroju dwóch zbiorów, więc to jest równe:

\(\displaystyle{ =S \cap \left[ A \cap \left( \mathbb{B} \times \bigcup\mathbb{B}\right) \right]=}\)

i ponieważ \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\), to, z własności sumy: \(\displaystyle{ A \subset \bigcup\mathbb{A} \subset \mathbb{B} \times \bigcup\mathbb{B}}\) (z definicji rodziny \(\displaystyle{ \mathbb {A}}\) ); a zatem \(\displaystyle{ A \subset \mathbb{B} \times \bigcup\mathbb{B}}\), a zatem to jest równe:

\(\displaystyle{ =S \cap A\sim 1}\)-

ten przekrój jest jednoelementowy, a zatem również przekrój \(\displaystyle{ S' \cap A}\) jest zbiorem jednoelementowym, i to dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\), i \(\displaystyle{ S' \subset \mathbb{B} \times \bigcup\mathbb{B}. }\)

Ponieważ z każdego zbioru rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) wybraliśmy dokładnie jeden element, to \(\displaystyle{ S'}\) jest funkcją:

\(\displaystyle{ S' : \mathbb{B} \rightarrow \bigcup\mathbb{B}. }\)

I jeśli \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\), to, z definicji tej rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\), mamy:

\(\displaystyle{ S' \left( A\right) \in A;}\)

i to dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathbb{B}}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ S'}\) jest szukaną funkcją wyboru.\(\displaystyle{ \square}\)


Na koniec, wykażemy, że z twierdzenia Zermelo, mówiącego, że każdy zbiór da się dobrze uporządkować, wynika aksjomat wyboru:

DOWÓD TEGO FAKTU:

Aby pokazać aksjomat wyboru, to:
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie rodziną zbiorów niepustych i rozłącznych.
Rozważmy zbiór: \(\displaystyle{ \bigcup x}\); i zastosujmy do niego twierdzenie Zermelo. Czyniąc to, otrzymujemy pewien dobry porządek \(\displaystyle{ \le}\) na tej sumie. Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ w}\), dany jako :

\(\displaystyle{ w=\left\{ y\in \bigcup x: \ \exists z \quad y\in z\in x \hbox{ i } y \hbox{ jest elementem najmniejszym zbioru } z, \hbox{ względem relacji } \le \right\}. }\)

Zbiór \(\displaystyle{ w,}\) posiada po dokładnie jednym elemencie wspólnym, z każdym zbiorem \(\displaystyle{ z\in x}\) - dla każdego bowiem zbioru \(\displaystyle{ z \in x}\) tym elementem wspólnym jest element najmniejszy w zbiorze \(\displaystyle{ z,}\) względem dobrego uporządkowania \(\displaystyle{ \le}\) sumy \(\displaystyle{ \bigcup x}\), gdyż:
z własności sumy \(\displaystyle{ z \subset \bigcup x}\), a ponieważ rodzina \(\displaystyle{ x}\) jest rodziną zbiorów niepustych, więc zbiór \(\displaystyle{ z}\) jest niepustym podzbiorem sumy \(\displaystyle{ \bigcup x}\), a ta suma jest dobrze uporządkowana względem tego jakiegoś dobrego porządku \(\displaystyle{ \le}\), a zatem, z definicji zbioru dobrze uporządkowanego, wynika, że zbiór \(\displaystyle{ z}\) ma element najmniejszy, a element najmniejszy może być tylko jeden; i, wybierając takie elementy najmniejsze ze zbiorów \(\displaystyle{ z \in x}\) (ponieważ rodzina \(\displaystyle{ x}\) jest rodziną zbiorów rozłącznych), więc otrzymamy zbiór \(\displaystyle{ w}\), taki, że przekrój \(\displaystyle{ w \cap z}\) jest zbiorem jednoelementowym, dla każdego zbioru \(\displaystyle{ z \in x}\), co oznacza prawdziwość aksjomatu wyboru \(\displaystyle{ .\square}\)