Dowód - złożenie funkcji i funkcji do niej odwrotnej

[agakolodziejska]

Musze udowodnić, że \(\displaystyle{ f^{-1}(f(x))=x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) należącego do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ f(f^{-1}(x))=x}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\) należącego do dziedziny funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}(x)}\).

Szczerze to kompletnie nie wiem jak się za to zabrać, a potrzebuję to do pracy lic.... Na przykładzie sprawdziłam - działa, ale to nie dowód

[szw1710]

Czy Ty studiujesz MATEMATYKĘ?

[agakolodziejska]

Czy Ty studiujesz MATEMATYKĘ?

niestety:p

[szw1710]

niestety:p

Dobrze powiedziane.

Więc to jest zadanie ze wstępu do matematyki, a jest je w stanie zrobić nawet maturzysta. Dam wskazówki. Przypomnij sobie, jak określamy funkcję odwrotną do danej funkcji? Powiedzmy, że ustalę realia. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:A\to B}\). Jakie warunki musi spełniać, aby istniała funkcja do niej odwrotna? Jak ją określamy?

[agakolodziejska]

szw1710,

najwidoczniej jestem słaba z dowodów. Funkcja odwrotna: Jeśli \(\displaystyle{ f^{-1}:B \rightarrow A}\) jest bijekcją, to funkcję odwrotną do funkcji \(\displaystyle{ f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y}\) definiujemy następujjąco: \(\displaystyle{ f^{-1}:B \rightarrow A}\) oraz \(\displaystyle{ f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y}\).

[szw1710]

A co to jest ta bijekcja? I jaką rolę odgrywają tu \(\displaystyle{ X,Y}\)? A zależność, którą wskazujesz, wyjaśnia wszystko. Niech \(\displaystyle{ f(x)=y.}\) Podziałaj na to funkcją \(\displaystyle{ f^{-1}}\). Tzn. wyznacz wartości tej funkcji dla lewej i prawej strony.

[a4karo]

Czy Ty studiujesz MATEMATYKĘ?

niestety:p

To rzuć to szybko. Po co masz się całe życie męczyć.

[agakolodziejska]

szw1710,

\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y, \left\langle x,y \right\rangle \in f, f \left( x \right) =y}\)

\(\displaystyle{ f^{-1}: Y \rightarrow X, f^{-1} \left( y \right) =x \Leftrightarrow f \left( x \right) =y}\)

\(\displaystyle{ 1. f^{-1} \left( f \left( x \right) \right) =x \\
f^{-1} \left( f \left( x \right) \right) =f^{-1} \left( y \right) =x}\)

-- 1 lip 2019, o 15:12 --

a4karo, za późno :p ale tez robie inny zawod juz

[Jan Kraszewski]

szw1710,

\(\displaystyle{ f: X \rightarrow Y, \left\langle x,y \right\rangle \in f, f \left( x \right) =y}\)

\(\displaystyle{ f^{-1}: Y \rightarrow X, f^{-1} \left( y \right) =x \Leftrightarrow f \left( x \right) =y}\)

\(\displaystyle{ 1. f^{-1} \left( f \left( x \right) \right) =x \\
f^{-1} \left( f \left( x \right) \right) =f^{-1} \left( y \right) =x}\)

Na wszelki wypadek przypomnę Ci, że dowody zapisuje się zdaniami w języku polskim. Ty na razie zapisałaś ścianę znaczków.

JK