Wątpliwość dotycząca określenie zbioru liczb naturalnych.

[Hypz]

Czy jesteśmy w stanie określić za pomocą przedziałów zbiór liczb naturalnych dodatnich ciągnący się w nieskończoność?. Jeśli tak to proszę podać formalny zapis- oczywiście jeśli jest konieczny.

[Jan Kraszewski]

Czy jesteśmy w stanie określić za pomocą przedziałów zbiór liczb naturalnych dodatnich ciągnący się w nieskończoność?

Czy mógłbyś doprecyzować? Jakich przedziałów? W jakim sensie określić? "Ciągnący się w nieskończoność" to poetyckie określenie zbioru nieograniczonego z góry?

JK

[Hypz]

Chodzi o to czym możemy zapisać że:
\(\displaystyle{ \NN=(0, \infty )}\)

[Jan Kraszewski]

Nie możemy, ponieważ symbol \(\displaystyle{ (0, \infty )}\) odnosi się do podzbioru zbioru liczb rzeczywistych:

\(\displaystyle{ (0, \infty )=\{x\red\in\RR\black:x>0\}.}\)

JK

[Jakub Gurak]

Ach ten zbiór liczb rzeczywistych. Przedział liczb rzeczywistych większych od \(\displaystyle{ a}\) zapisuję się jako \(\displaystyle{ \left( a, + \infty \right)}\), i potem tego symbolu \(\displaystyle{ + \infty}\) niektórzy (nawet często, nawet matematycy) zaczynają, moim zdaniem, nadużywać. Np. popularne jest zapisywanie sumy szeregu w ten właśnie sposób. A przecież to jest sumowanie po liczbach naturalnych, więc ja to zapisuje w niepopularny sposób jako \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n}.}\) No bo co ma element \(\displaystyle{ +\infty}\) z liczbami naturalnymi. Nie ma bezpośredniego związku. Prędzej już, można by zapisywać \(\displaystyle{ \sum_{n<\omega }a _{n}-}\) choć to nawiązuje do konstrukcji von Neumanna liczb porządkowych.

Też spotkałem ( zresztą chyba nie raz) , że dla zbiorów nieskończonych- wszystkim im przypisywać \(\displaystyle{ \infty.}\) Np. moc zbioru skończonego, to ilość jego elementów, a jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, to \(\displaystyle{ \left| X\right|= \infty.}\) Po pierwsze, symbole \(\displaystyle{ +\infty, -\infty}\) są bardziej związane ze zbiorem liczb rzeczywistych (można rozważać sumę porządkową zbiorów \(\displaystyle{ \left\{ - \infty \right\},\RR,\left\{ +\infty \right\}}\)- jak najbardziej ) Ale tu Dziwne. Po drugie, nie wiem czy autorzy takiego podejścia sobie zdają sprawę, ale niestety istnieje więcej niż jedna nieskończoność, niestety.

[Jan Kraszewski]

Np. popularne jest zapisywanie sumy szeregu w ten właśnie sposób. A przecież to jest sumowanie po liczbach naturalnych, więc ja to zapisuje w niepopularny sposób jako \(\displaystyle{ \sum_{n \in \NN}a _{n}.}\) No bo co ma element \(\displaystyle{ +\infty}\) z liczbami naturalnymi. Nie ma bezpośredniego związku.

Przesadziłeś, oj przesadziłeś... Przecież to dokładnie to samo \(\displaystyle{ +\infty}\), co w granicy.

Też spotkałem ( zresztą chyba nie raz) , że dla zbiorów nieskończonych- wszystkim im przypisywać \(\displaystyle{ \infty.}\) Np. moc zbioru skończonego, to ilość jego elementów, a jeśli zbiór \(\displaystyle{ X}\) jest nieskończony, to \(\displaystyle{ \left| X\right|= \infty.}\)

A gdzieżeś Ty to spotkał?

Bo jak na mój gust są dwie możliwość: albo ktoś wypisywał głupoty, albo Ty zupełnie nie zrozumiałeś kontekstu...

JK

[Dasio11]

W teorii modeli za pomocą zdań można wyrazić, czy definiowalny podzbiór jest skończony czy nieskończony, ale nie da się rozróżnić między różnymi nieskończonymi mocami. Stąd na przykład klasyfikując jakąś rodzinę teorii \(\displaystyle{ T}\) możemy rozważać przypadki \(\displaystyle{ T \vdash |U| = n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) oraz \(\displaystyle{ T \vdash |U| = \infty}\), gdzie \(\displaystyle{ U}\) oznacza predykat unarny, czyli coś co interpretuje się jako podzbiór modelu.

[Bran]

Na upartego pewnie się da:
\(\displaystyle{ \bigcup_{n=0}^{\infty} \left( \left[ n, n+1\right] \setminus \left( n,n+1\right]\right)}\)
Tylko po co?

[Jakub Gurak]

Przesadziłeś, oj przesadziłeś... Przecież to dokładnie to samo \(\displaystyle{ +\infty}\), co w granicy.

A..., bo to od granic ciągów pochodzi. A ja chciałem to odnieść do skończonego sumowania \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} a _{k}}\), i mi nie pasowało, a to nie stąd pochodzi, to od granicy ciągu- no tak, suma szeregu to granica ciągu coraz to dłuższych (o jeden składnik) skończonych sum.

To zadam jeszcze takie może głupie pytanie (bo jesteśmy do tego przyzwyczajeni, ale nie rozumiem do końca), dlaczego granicę ciągu \(\displaystyle{ \left( a _{n} \right)}\) zapisujemy jako \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \red{ +\infty} } a_{n}}\), a nie jako na przykład: \(\displaystyle{ \lim _{n \to \red{\omega} } a_{n}.}\) Pytam, bo nie widzę szczególnego związku między \(\displaystyle{ + \infty}\) a liczbami naturalnymi. O, i na przykład tą sumę

\(\displaystyle{ \bigcup_{n=0}^{\infty} \left( \left[ n, n+1\right] \setminus \left( n,n+1\right]\right)}\)

zapisałbym oczywiście jako \(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \NN}\left( \left[ n,n+1\right] \setminus \left( n,n+1\right] \right)= \bigcup_{n \in \NN} \left\{ n\right\}.}\)

Mógłbym od razu (gdybym pamiętał) do sum, przekrojów przeliczalnych nawiązać, tu już chyba spokojnie mogę w ten sposób zapisywać. Nie wiem skąd ta \(\displaystyle{ + \infty}\)

[Gosda]

To tylko zapis i jako taki jest umowny. Według , symbol \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty}}\) powstał gdzieś między 1850 i 1908 rokiem, zatem wyprzedził aksjomatyczną teorię mnogości i dlatego nie piszemy \(\displaystyle{ x \to \omega}\) (chociaż podejrzewam, że pan Kraszewski będzie w stanie podać pełniejsze wyjaśnienie).

Swoją drogą, nie możesz zdefiniować zbioru liczb naturalnych jako

\(\displaystyle{ \bigcup_{n \in \mathbb N} \{n\}}\),

bo odwołujesz się do tego obiektu jako zbiór indeksów

[Jan Kraszewski]

To zadam jeszcze takie może głupie pytanie (bo jesteśmy do tego przyzwyczajeni, ale nie rozumiem do końca), dlaczego granicę ciągu \(\displaystyle{ \left( a _{n} \right)}\) zapisujemy jako \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \red{ +\infty} } a_{n}}\), a nie jako na przykład: \(\displaystyle{ \lim _{n \to \red{\omega} } a_{n}.}\) Pytam, bo nie widzę szczególnego związku między \(\displaystyle{ + \infty}\) a liczbami naturalnymi.

To bardzo proste: \(\displaystyle{ \infty}\) to nieskończoność potencjalna, a \(\displaystyle{ \omega}\) to nieskończoność aktualna. Powinieneś wiedzieć, czym się różnią.

I tak się składa, że mówiąc o granicy mamy do czynienia z nieskończonością potencjalną.

JK