Odwzorowanie zbiorów

[Legisl]

Czy istnieje bijekcja \(\displaystyle{ \phi:A \rightarrow B, \left|A \right| \neq \left|B \right| \ge \aleph _{0}}\). Innymi słowy, czy bijekcja zbiorów istnieje wtedy i tylko wtedy gdy oba zbiory mają taką samą moc?

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ \left( \Rightarrow \right)}\) Gdy istnieje bijekcja to zbiory są równoliczne to jest definicja równoliczności. Czyli gdy bijekcja istnieje to zbiory na pewno są równoliczne (zagwarantowane definicją).

\(\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right)}\) W drugą stronę trzeba pokazać, że każdą parą zbiorów równolicznych istnieje bijekcja. Formalnie nie mam pomysłu na pokazanie tego faktu choć wydaje mi się, że to również wynika ze sposobu definiowania równoliczności. Znalazłem jeszcze pytanie

Kod: Zaznacz cały

https://www.quora.com/Does-same-cardinality-imply-a-bijection-Cardinality-is-the-amount-of-distinct-elements-in-a-set-how-does-this-relate-to-bijection

[Dasio11]

\(\displaystyle{ \left( \Rightarrow \right)}\) Gdy istnieje bijekcja to zbiory są równoliczne to jest definicja równoliczności. Czyli gdy bijekcja istnieje to zbiory na pewno są równoliczne (zagwarantowane definicją).

\(\displaystyle{ \left( \Leftarrow \right)}\) W drugą stronę trzeba pokazać, że każdą parą zbiorów równolicznych istnieje bijekcja. Formalnie nie mam pomysłu na pokazanie tego faktu choć wydaje mi się, że to również wynika ze sposobu definiowania równoliczności.

Jestem bardzo ciekaw, jaką znasz definicję równoliczności zbiorów, która gwarantuje implikację w jedną stronę a nie gwarantuje implikacji w drugą.

Oczywiście sformułowania: zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) mają tę samą moc, zbiory są równoliczne, istnieje bijekcja \(\displaystyle{ \phi : A \to B}\) - są wszystkie równoważne wprost z definicji.

[Janusz Tracz]

Jestem bardzo ciekaw, jaką znasz definicję równoliczności zbiorów, która gwarantuje implikację w jedną stronę a nie gwarantuje implikacji w drugą.

Dlatego napisałem, że prawdopodobnie wynika to z definicji ale nie podejmowałem żadnego radykalnego stanowiska. Formalnie powinno być to napisane w definicji zbiorów równolicznych tj. \(\displaystyle{ A\sim B}\) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje bijekcja pomiędzy \(\displaystyle{ A,B}\). A w kilku źródłach można przeczytać "zbiory \(\displaystyle{ A,B}\) są równoliczne, gdy istnieje bijekcja między zbiorami \(\displaystyle{ A,B}\)" co nic nie mówi istnieniu bijekcji gdy zbiory są równoliczne. Mówi to jedynie tyle, że gdy bijekcja istnieje to zbory są równoliczne (wynikanie odwrotnego nie widzę przynajmniej ja w tej wersji definicji).

Teraz wspomniane "kilka" źródeł:

http://studia.elka.pw.edu.pl/pub/19L/103A-INxxx-ISP-LTM/teoria/ltm_wyklad_11_12.pdf

http://smurf.mimuw.edu.pl/node/20

https://matematyka.pl/55285.htm

https://pl.wikipedia.org/wiki/Moc_zbioru

Ale tu jest już równoważność (są jak widać pozytywne przypadki) i taka definicja powinna być w całej reszcie wcześniej wymienionych linków.

http://math.uni.lodz.pl/~wiertelak/temat5.pdf

Tylko trzeba się wczytać bo jest napisane, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowa ale potem jest też "na" zatem chodzi o bijekcję (co było by bardziej czytelne gdyby tak to napisali).

[matmatmm]

Zapisywanie definicji z użyciem spójnika "gdy" jest swego rodzaju skrótem. W domyśle wszystkie definicje są typu "wtedy i tylko wtedy, gdy".

[Dasio11]

Trzeba odróżnić dwa rodzaje aktów matematycznych: definiowanie pojęć i formułowanie sądów.

Przykład:

1. Mówimy, że przekształcenie \(\displaystyle{ f : \RR^2 \to \RR^2}\) jest liniowe, jeśli dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ \alpha, \beta \in \RR}\) i wektorów \(\displaystyle{ u, v \in \RR^2}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(\alpha u + \beta v) = \alpha f(u) + \beta f(v)}\).

2. Przekształcenie \(\displaystyle{ f : \RR^2 \to \RR^2}\) jest liniowe wtedy i tylko wtedy, gdy zadaje się wzorem \(\displaystyle{ f \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}}\) dla pewnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \RR}\).

Jest zasadnicza różnica w charakterze informacji, jaką przekazują powyższe dwa zdania. Pierwsze z nich jest definicją, czyli umową na poziomie języka - umawiamy się, że od tej pory używamy pojęcia "przekształcenie liniowe", żeby nazywać funkcje mające opisaną własność. Drugie zaś jest sądem, czyli wyrażeniem pewnego prawidła, które zachodzi w naturze (matematycznej).

O ile przy formułowaniu sądów oczywista jest konieczność rozróżniania między implikacją a równoważnością, o tyle przy definiowaniu pojęć takiego problemu nie ma - definiowanie bowiem zawsze polega na tym, że w kompletny sposób charakteryzujemy wszystkie przypadki, na określenie których będziemy używać ustalonej nazwy. Dlatego z całą pewnością napisanie

"powiemy, że zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są równoliczne, gdy istnieje bijekcja \(\displaystyle{ \phi : A \to B}\)"

nie jest żadnym błędem czy nieścisłością.

Co więcej: uważam, że warto wskazywać na różnicę pomiędzy definicją a stwierdzeniem za pomocą stylistyki, bo w ten sposób zwiększa się wyrazistość przekazu. W szczególności: w moim odczuciu dobrze jest, by zwrot "wtedy i tylko wtedy" był zarezerwowany dla twierdzeń. Z tego powodu sformułowanie

"zbiory \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje bijekcja \(\displaystyle{ \phi : A \to B}\)"

dla mnie brzmi niezręcznie, bo sugeruje - wbrew intencji autora - że mamy do czynienia z twierdzeniem, podczas gdy w rzeczywistości jest to definicja.