Wykres relacji z wartościami bezwzględnymi

[MatDev]

Witam,

Chciałbym zapytać jak wygląda wykres takiej relacji:

\(\displaystyle{ A = \left\{ \left( x, y\right) \in \RR \times \RR: |x| = |y|\right\}}\)

Czy to będzie po prostu wykres liniowy w pierwszej ćwiartce? I czy relacja odwrotna do tego będzie miała identyczny wykres?

[kerajs]

To dwie proste \(\displaystyle{ y=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x}\)

Zamieniając \(\displaystyle{ x}\) z \(\displaystyle{ y}\) dostajesz to samo.

[MatDev]

Dlaczego to będą te dwie proste?

[Bran]

\(\displaystyle{ A = \left\{ \left( x, y\right) \in \RR \times \RR : |x| = |y|\right\}}\)

Relacja \(\displaystyle{ A}\) jest to w tym przypadku zbiór punktów \(\displaystyle{ \left( x, y\right) \in \RR \times \RR}\) (czyli możesz to zinterpretować jako zbiór punktów na układzie kartezjańskim), takich że \(\displaystyle{ |x| = |y|}\).

Czyli tak naprawdę wystarczy, żebyś znalazł interpretacje geometryczną równania \(\displaystyle{ |x| = |y|}\).

A to z definicji wartości bezwzględnej sprowadza się do dwóch równań:
\(\displaystyle{ x = |y|}\)

Ukryta treść:    

Co znaczy, że: \(\displaystyle{ x = y, x = -y}\)

\(\displaystyle{ x = -|y|}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ x = -y , x = y}\)

Jak widać wszystko sprowadza się do:
\(\displaystyle{ x = y , x = -y}\)

A to są równania, które podał kerajs.

Swoją drogą jeżeli wiemy jak wyglądają wykresy:
\(\displaystyle{ x = |y|}\) i \(\displaystyle{ x = -|y|}\), to możemy tak zostawić, na jedno wychodzi.

[kry145]

Relacja: \(\displaystyle{ A=\left\{ \left( x,y \right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : \left| x\right| =\left| y\right| \right\}}\)
Metoda I: (definicja)
Tak więc:
\(\displaystyle{ \left| y\right|=\left| x\right|}\)

Z definicji wartości bezwzględnej:
\(\displaystyle{ y=
\begin{cases}
\left| x \right| &\text{dla } y \ge 0\\
-\left| x \right| &\text{dla } y < 0 \\
\end{cases}}\)

A to ponownie z definicji wartości bezwzględnej:
\(\displaystyle{ y=
\begin{cases}
x&\text{dla } x \ge 0 \wedge y \ge 0\\
-x&\text{dla } x < 0 \wedge y \ge 0\\
-x&\text{dla } x \ge 0 \wedge y < 0\\
x&\text{dla } x < 0 \wedge y < 0\\
\end{cases}}\)

Geometryczną interpretacją powyższego układu równań są następujące proste:
\(\displaystyle{ y=x}\) oraz \(\displaystyle{ y=-x}\)

Metoda II: (przypadki)
1. \(\displaystyle{ y \in \left( - \infty,0 \right) \Rightarrow y=-\left| x\right|}\)
2. \(\displaystyle{ y \in \left\{ 0\right\} \Rightarrow y=x=0}\)
3. \(\displaystyle{ y \in \left( 0,+ \infty \right) \Rightarrow y=\left| x\right|}\)

Co po narysowaniu daje te same proste co powyżej.

[Jakub Gurak]

Relacja \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna, zatem \(\displaystyle{ A=A ^{-1}}\), zatem relacje \(\displaystyle{ A}\) I \(\displaystyle{ A ^{-1}}\) są takie same.