trzeba wykazać nieprzeliczalność

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
TobiWan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 9 lip 2016, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 14 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: TobiWan »

udowodnić nieprzeliczalność:

\(\displaystyle{ \{ x\in \RR:0\le x\}}\)
Ostatnio zmieniony 18 cze 2019, o 20:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: Janusz Tracz »

Można zauważyć, że \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) \subseteq \{ x\in \RR:0\le x\} \subseteq \RR}\) powołując się na twierdzenie Cantora-Bernsteina kończymy dowód wszak \(\displaystyle{ \left( 0,1\right)\sim \RR}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: Premislav »

Popatrzmy na zapis dziesiętny liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,+infty)}\), przy czym przyjmujemy, że
jeśli mamy do wyboru rozwinięcie skończone (tj. tylko skończenie wiele niezerowych cyfr rozwinięcia) i nieskończone z dziewiątką w okresie, to wybieramy to, które jest skończone.
Przypuśćmy nie wprost, że zbiór \(\displaystyle{ [0,+infty)}\) da się ustawić w ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^{\infty}}\).
Ustalmy taki ciąg i skonstruujmy element \(\displaystyle{ [0,+infty)}\), który jednak nie jest reprezentowany przez żaden element tego ciągu. Mianowicie niech liczba \(\displaystyle{ bin[0,+infty)}\) będzie taka, że
n-ty wyraz rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ b}\) (pomijając zero przed przecinkiem) będzie równy \(\displaystyle{ |(a_n)_n}-1|}\), gdzie
\(\displaystyle{ (a_i)_j}\) jest \(\displaystyle{ j}\)-tym wyrazem rozwinięcia dziesiętnego \(\displaystyle{ i}\)-tego elementu ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\)
Wówczas \(\displaystyle{ (b_n)_n\neq (a_n)_n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN}\), stąd
\(\displaystyle{ b}\) nie jest wyrazem ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\). Sprzeczność.
TobiWan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 9 lip 2016, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 14 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: TobiWan »

a w takim razie \(\displaystyle{ A=\{ x\in \RR:\quad 0>x\}}\)?
Ostatnio zmieniony 18 cze 2019, o 20:20 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: Premislav »

Ten zbiór jest równoliczny z tym poprzednim. Istotnie, dla \(\displaystyle{ xin [0,+infty)}\) niech
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}-\frac 1 2\text{ gdy } x=0\\ -\frac x 2 \text{ gdy }(\exists n\in \NN^+)\left( x=\frac{1}{2^n}\right) \\ -x \text{ w przeciwnym razie }\end{cases}}\).
Wówczas nietrudno sprawdzić, że
\(\displaystyle{ f}\) jest bijekcją między \(\displaystyle{ [0,+infty)}\) a \(\displaystyle{ (-\infty,0)}\). Zatem skoro ten pierwszy zbiór jest nieprzeliczalny, to ten drugi też.
TobiWan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 92
Rejestracja: 9 lip 2016, o 12:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Podziękował: 14 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: TobiWan »

Dziękuję za odpowiedzi:)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: a4karo »

Przypuśćmy, że dowolny z tych zbiorów jest przeliczalny, czyli daje się ustawić w ciąg.
Pokryjmy \(\displaystyle{ i}\)—ty element tego ciągu przedzialem o długości \(\displaystyle{ 1/2^i}\).
W ten sposób pokrylismy cała polprostą odcinkami o łącznej długości \(\displaystyle{ 2}\).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: Dasio11 »

a4karo pisze:Przypuśćmy, że dowolny z tych zbiorów jest przeliczalny, czyli daje się ustawić w ciąg.
Pokryjmy \(\displaystyle{ i}\)—ty element tego ciągu przedzialem o długości \(\displaystyle{ 1/2^i}\).
W ten sposób pokrylismy cała polprostą odcinkami o łącznej długości \(\displaystyle{ 2}\).
Choć to rozumowanie wygląda błyskotliwie, to nie jest poprawnym dowodem omawianej tezy, bo nie kończy się dojściem do sprzeczności.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: Jakub Gurak »

TobiWan pisze:udowodnić nieprzeliczalność:

\(\displaystyle{ \{ x\in \RR:0\le x\}}\)
Znanym faktem (choć nie oczywistym), że odcinek \(\displaystyle{ \left( 0 ,1\right)}\) jest nieprzeliczalny. W takim razie jego nadzbiór \(\displaystyle{ \RR _{+} \cup \left\{ 0 \right\}}\) też musi być nieprzeliczalny( prosty natychmiastowy dowód nie wprost).
TobiWan pisze: a w takim razie \(\displaystyle{ A=\{ x\in \RR:\quad 0>x\}}\)?
Premislav pisze: Ten zbiór jest równoliczny z tym poprzednim.
Słuszna myśl, ale to
Premislav pisze: Istotnie, dla \(\displaystyle{ xin [0,+infty)}\) niech
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases}-\frac 1 2\text{ gdy } x=0\\ -\frac x 2 \text{ gdy }(\exists n\in \NN^+)\left( x=\frac{1}{2^n}\right) \\ -x \text{ w przeciwnym razie }\end{cases}}\).
Mi się nie podoba- można prościej.

Prościej udowodnić, że \(\displaystyle{ \RR_{+}}\) jest równoliczny z \(\displaystyle{ \RR_{-}}\), a żeby zgubić 0 między \(\displaystyle{ \RR_{+} \cup \left\{ 0\right\}}\) a \(\displaystyle{ \RR _{+}}\), wystarczy 0 przypisać 1, 1 przypisać 2, 2 przypisać 3, ..., a na pozostałych argumentach wziąć identyczność, czyli funkcję, która dostając argument taki sam go zwraca. Taka funkcja jest bijekcją. A więc \(\displaystyle{ \RR_{+} \cup \left\{ 0\right\}\sim \RR _{+}\sim \RR _{-}. \square}\)
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

trzeba wykazać nieprzeliczalność

Post autor: a4karo »

Dasio11 pisze:
a4karo pisze:Przypuśćmy, że dowolny z tych zbiorów jest przeliczalny, czyli daje się ustawić w ciąg.
Pokryjmy \(\displaystyle{ i}\)—ty element tego ciągu przedzialem o długości \(\displaystyle{ 1/2^i}\).
W ten sposób pokrylismy cała polprostą odcinkami o łącznej długości \(\displaystyle{ 2}\).
Choć to rozumowanie wygląda błyskotliwie, to nie jest poprawnym dowodem omawianej tezy, bo nie kończy się dojściem do sprzeczności.
Bo to nie dowód, tylko pomysł. Wierzę że potrafisz go wykorzystać.
ODPOWIEDZ