Lemat Borela - Cantelliego

[Chichot Hioba]

Mój problem jest w zrozumieniu lematu Borela-Cantelliego, ale wynika on z tego, że nie rozumiem zapisu teoriomnogościowego, więc pozwoliłem założyć sobie temat tutaj, jeżeli błędnie, to przepraszam i proszę o przeniesienie.

Problematyczny zapis wygląda tak:
\(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\)
\(\displaystyle{ A_n}\) jako zdarzenie jest zbiorem. Domyślam się, że \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\) również, tylko jakim?

Prawdziwa jest równoważność:
\(\displaystyle{ \omega \in \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n \Leftrightarrow \forall_{m\in \NN} \exists_{n\in \NN; n > m} \; \; \omega \in A_n}\)

Czy może być to jedno konkretne \(\displaystyle{ A_n}\), a \(\displaystyle{ A_{n \pm 1}}\) już nie?

\(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\), to rodzina wszystkich zbiorów, które...?
10 minut zastanawiałem się nad tym co sensownego można wpisać w miejsce wielokropka, ale nie znalazłem nic takiego. Ten wielokropek chyba by mi wyjaśnił wszystko. Będę wdzięczny jeśli ktoś poświęci czas i odpowie.
A wszystkim, którzy poświęcili czas, żeby to przeczytać już dziękuję!

[a4karo]

Prawdziwa jest równoważność:
\(\displaystyle{ \omega \in \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n \Leftrightarrow \red \forall_{m\in \NN} \exists_{n\in \NN; n > m} \; \; \omega \in A_n}\)

Czy może być to jedno konkretne \(\displaystyle{ A_n}\), a \(\displaystyle{ A_{n \pm 1}}\) już nie?

\(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\), to rodzina wszystkich zbiorów, które...?

Ciut wyżej napisałeś, że to jest zbiór, a nie rodzina zbiorów. Miałes rację: to jest zbiór.

Spróbuj napisać słowami, nie używając symboli co oznacza czerwony zapis

[Chichot Hioba]

Spróbuj napisać słowami, nie używając symboli co oznacza czerwony zapis

Dla każdej liczmy naturalnej \(\displaystyle{ m}\) znajdziemy taką liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) (która jest większa od \(\displaystyle{ m}\)), że element przestrzeni (zdarzeń elementarnych) (ozn. \(\displaystyle{ \omega}\)) należy do \(\displaystyle{ n}\)-tego zdarzenia (ozn. \(\displaystyle{ A_n}\)).

Dobrze?

[a4karo]

Spróbuj napisać słowami, nie używając symboli co oznacza czerwony zapis

Dla każdej liczmy naturalnej \(\displaystyle{ m}\) znajdziemy taką liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) (która jest większa od \(\displaystyle{ m}\)), że element przestrzeni (zdarzeń elementarnych) (ozn. \(\displaystyle{ \omega}\)) należy do \(\displaystyle{ n}\)-tego zdarzenia (ozn. \(\displaystyle{ A_n}\)).

Dobrze?

Wolę o tym mówić w kategorii zbioró i ich elementów.

Tak. To znaczy, że \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru po lewej stronie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) z dowolnie dużymi numerkami.

Potrafisz to sformułować inaczej?

[Chichot Hioba]

Tak. To znaczy, że \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru po lewej stronie wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) z dowolnie dużymi numerkami.

Potrafisz to sformułować inaczej?

Wszystkich takich zbiorów (z dowolnie dużymi indeksami)?

Jeżeli dobrze się domyślam jaka jest intencja, to bym to sformułował tak, że \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do prawie wszystkich (z wyjątkiem skończenie wielu) zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\), ale nie wiem teraz "czytam w myślach" (zgaduję), nie czuję tego kompletnie.

[Jan Kraszewski]

Jeżeli dobrze się domyślam jaka jest intencja, to bym to sformułował tak, że \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ x}\) należy do prawie wszystkich (z wyjątkiem skończenie wielu) zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\), ale nie wiem teraz "czytam w myślach" (zgaduję), nie czuję tego kompletnie.

Tak, taka jest intencja, ale odpowiedź jest niepoprawna.

JK

[Chichot Hioba]

Mógłbym prosić o naprowadzenie (zagubionego człowieka)?

[Jan Kraszewski]

Odpowiedź "\(\displaystyle{ x}\) należy do prawie wszystkich (z wyjątkiem skończenie wielu) zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\)" pasuje do sytuacji

\(\displaystyle{ x\in\bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n.}\)

Postaraj się zrozumieć dlaczego i zastanów się nad odpowiedzią na swoje pytanie.

I faktycznie wygodniej jest to odczytać z zapisu \(\displaystyle{ \forall_{m\in \NN} \exists_{n\in \NN; n > m} \; \; \omega \in A_n}\).

JK

[Chichot Hioba]

Odpowiedź "\(\displaystyle{ x}\) należy do prawie wszystkich (z wyjątkiem skończenie wielu) zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\)" pasuje do sytuacji

\(\displaystyle{ x\in\bigcup_{m=1}^{\infty} \bigcap_{n=m}^{\infty} A_n.}\)

Postaraj się zrozumieć dlaczego (...)

Tutaj jeżeli się nie mylę, to można to zapisać równoważnie tak, że \(\displaystyle{ \exists_{m\in \NN} \forall_{n\in \NN; n > m} \; \; \omega \in A_n}\)

Co oznacza, że istnieje takie \(\displaystyle{ m}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n > m}\) mamy \(\displaystyle{ x \in A_n}\).

A to mówi samo przez siebie. (Choć pewnie się mylę.)

zastanów się nad odpowiedzią na swoje pytanie.

O które z moich pytań chodzi?

Wszystkich takich zbiorów (z dowolnie dużymi indeksami)?

?
Wygląda na to, że odpowiedź na to pytanie brzmi: nie.

[Jan Kraszewski]

Tutaj jeżeli się nie mylę, to można to zapisać równoważnie tak, że \(\displaystyle{ \exists_{m\in \NN} \forall_{n\in \NN; n > m} \; \; \omega \in A_n}\)

Tak, choć raczej

\(\displaystyle{ (\exists m\in \NN)(\foral n\red\ge \black m)\omega \in A_n.}\)

Co oznacza, że istnieje takie \(\displaystyle{ m}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n > m}\) mamy \(\displaystyle{ x \in A_n}\).

A to mówi samo przez siebie. (Choć pewnie się mylę.)

Nie jestem pewien, co oznacza "mówi samo przez siebie"...

O które z moich pytań chodzi?

Wszystkich takich zbiorów (z dowolnie dużymi indeksami)?

?
Wygląda na to, że odpowiedź na to pytanie brzmi: nie.

No to już wiemy, chodziło mi raczej o poprawną próbę:

Spróbuj napisać słowami, nie używając symboli co oznacza czerwony zapis

JK

[Dasio11]

W razie problemów, pytanie pomocnicze: czy jeśli \(\displaystyle{ \omega \in A_n}\) dokładnie dla parzystych \(\displaystyle{ n}\), to czy wtedy \(\displaystyle{ \omega \in \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\) ?

[Chichot Hioba]

\(\displaystyle{ \omega \in \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n \Leftrightarrow \red \forall_{m\in \NN} \exists_{n\in \NN; n > m} \; \; \omega \in A_n}\)

Czyli \(\displaystyle{ \omega}\) należy do \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy zawsze, bez względu na to od którego miejsca (w ciągu \(\displaystyle{ A_1, A_2, \dots}\)) zaczniemy, to znajdziemy taki zbiór \(\displaystyle{ A_n}\) do którego należy \(\displaystyle{ \omega}\).

[Jan Kraszewski]

Ech...

\(\displaystyle{ x\in \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n\iff x\text{ należy do nieskończenie wielu zbiorów }A_n}\)

Zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\) nazywa się granicą górną ciągu zbiorów \(\displaystyle{ \left\langle A_n\right\rangle_{n\in\NN}.}\)

JK

[Chichot Hioba]

Jan Kraszewski, dziękuję. Czy jest tutaj "ukryte" jeszcze coś?

Skąd się wziął taki zapis? (poza tym, żeby straszyć nim biednych studentów)

Czy w takim razie zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\) jest zbiorem zdarzeń, które wystąpiły nieskończenie wiele razy?

[Jan Kraszewski]

Czy jest tutaj "ukryte" jeszcze coś?

Skąd się wziął taki zapis? (poza tym, żeby straszyć nim biednych studentów)

Granica góra i dolna ciągu zbiorów pojawiają w różnych kontekstach. Zapis jest dość naturalny i wiąże się ze specjalnymi kwantyfikatorami \(\displaystyle{ \forall^\infty,\exists^\infty}\).

Czy w takim razie zbiór \(\displaystyle{ \bigcap_{m=1}^{\infty} \bigcup_{n=m}^{\infty} A_n}\) jest zbiorem zdarzeń, które wystąpiły nieskończenie wiele razy?

To nie jest zbiór zdarzeń , bo zdarzeniami są \(\displaystyle{ A_1,A_2,...}\). Tutaj - w kontekście lematu Borela-Cantellego - mamy do czynienia z prawdopodobieństwem zajścia nieskończenie wielu spośród zdarzeń \(\displaystyle{ A_1,A_2,...,A_n,...}\)

JK