Oczywiste fakty
: 22 maja 2019, o 05:35
Chciałbym tu zaprezentować parę dowodów teoriomnogościowych faktów "oczywistych".
Przypominam definicje dodawania liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ 0+ n=n,}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), oraz
\(\displaystyle{ n'+m=\left( n+m\right)'}\) dla dowolnych naturalnych n i m.
W aksjomatycznym podejściu do teorii mnogości wszystkie "oczywiste" fakty odnośnie liczb naturalnych należy dowieść z aksjomatów. Tak więc o dodawaniu liczb naturalnych wiemy na razie tylko tyle ile mówi powyższa definicja- resztę trzeba dowieść.
Jeśli suma dwóch liczb naturalnych jest równa \(\displaystyle{ 0=\emptyset}\), to obydwie muszą być równe \(\displaystyle{ 0}\).
Dowód:
Niech dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ n,m}\) zachodzi \(\displaystyle{ n+m=0.}\) Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest następnikiem pewnej liczby naturalnej, to \(\displaystyle{ n= k'}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\), wtedy podstawiając pod sumę \(\displaystyle{ k'+m=0,}\) a \(\displaystyle{ k'+m}\) to jest równe na mocy definicji dodawania \(\displaystyle{ \left( k+ m\right)',}\) więc jako następnik sumy liczb naturalnych, czyli następnik liczby naturalnej jest to różne od \(\displaystyle{ 0}\), sprzeczność. Doprowadziło do tego założenie, że \(\displaystyle{ n}\) jest następnikiem pewnej liczby naturalnej. Wobec czego \(\displaystyle{ n}\) nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. Ale mamy twierdzenie, że każda liczba naturalna jest zerem (zbiorem pustym ) lub następnikiem liczby naturalnej(chyba w moim Kompendium jest dowód, w rozdziale liczby naturalne). Wobec czego pozostaje tylko możliwość \(\displaystyle{ n=0}\), więc podstawiając za \(\displaystyle{ n+ m=0,}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 0+m=0}\), a \(\displaystyle{ 0+m}\) jest równe- na mocy definicji dodawania- \(\displaystyle{ m}\), czyli \(\displaystyle{ m=0}\) i \(\displaystyle{ n=0}\), co kończy dowód.\(\displaystyle{ \square}\)
Natomiast dowód przemienności dodawania składa się z kilku części:
Najpierw dowodzimy, że \(\displaystyle{ n+0=n}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego (indukcyjnie), mając to potem uzasadniamy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ n,m}\) naturalnych \(\displaystyle{ n'+m=n+ m'}\) (indukcyjnie), i w końcu mając te dwa fakty uzasadniamy przemienność dodawania.
Definicja mnożenia:
\(\displaystyle{ 0 \cdot m=0,}\) oraz
\(\displaystyle{ n' \cdot m= \left( n \cdot m\right)+m.}\)
Dowodzi się, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego \(\displaystyle{ n \cdot 1=n}\), oraz, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego \(\displaystyle{ n \cdot 0=0}\), że mnożenie jest przemienne(również aby to udowodnić potrzebujemy paru faktów). A też sam dostrzegłem, że jeśli nie chcemy korzystać z przemienności dodawania(bo jego dowód składa się z kilku części), to nie jest oczywistym nawet, że \(\displaystyle{ n+1=n'.}\)
Niech \(\displaystyle{ x,y}\) będą zbiorami.
Definiujemy \(\displaystyle{ x \cup y= \bigcup\left\{ x,y\right\}.}\)
Suma ta, ma tą samą własność co suma naiwna- dowolny element występuję w sumie dwóch zbiorów, gdy występuję w którymś z nich, \(\displaystyle{ z \in x \cup y \Longleftrightarrow z \in x \vee z \in y.}\)
Przypominam dla dwóch rodzin zbiorów \(\displaystyle{ x,y}\): jeśli \(\displaystyle{ x \subset y}\) to \(\displaystyle{ \bigcup x \subset \bigcup y}\) (można chyba poczytać nieco więcej o tym w moim Kompendium, w drugim rozdziale Aksjomaty).
Oraz dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ x\right\}=x.}\)
Wykażemy, w sposób zabawny, podstawowe własności sumy dwóch zbiorów.
Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ x,y}\) mamy:
1.\(\displaystyle{ x \cup y= y \cup x.}\)
2. \(\displaystyle{ x \subset x \cup y.}\)
3.\(\displaystyle{ y \subset x \cup y.}\)
4.\(\displaystyle{ x \cup x=x.}\)
Dowód:
1.Mamy \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}=\left\{ y,x\right\},}\) a więc \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ x,y\right\}= \bigcup\left\{ y,x\right\}}\), czyli \(\displaystyle{ x \cup y=y \cup x.}\)
2. Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \subset \left\{ x,y\right\},}\) więc również \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ x\right\} \subset \bigcup\left\{ x,y\right\},}\) ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup \left\{ x\right\}= x,}\) a więc \(\displaystyle{ x= \bigcup\left\{ x\right\} \subset \bigcup\left\{ x,y\right\}=x \cup y,}\) a więc \(\displaystyle{ x \subset x \cup y.}\)
3. Na podstawie poprzedniego punktu \(\displaystyle{ y \subset y \cup x}\), i na podstawie pierwszego punktu \(\displaystyle{ y \cup x= x \cup y,}\) a więc \(\displaystyle{ y \subset x \cup y.}\)
4.Mamy \(\displaystyle{ x= \bigcup\left\{ x\right\}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}=\left\{ x,x\right\},}\) więc \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ x\right\} = \bigcup\left\{ x,x\right\}=x \cup x}\), więc \(\displaystyle{ x= x\cup x.}\)-- piątek, 24 maja 2019, 01:30 --Wczoraj, samodzielnie, ale za to w sposób analogiczny, w podobny sposób udowodniłem podobne fakty dla iloczynu dwóch zbiorów.
Przypominam, dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ x,y}\) definiujemy \(\displaystyle{ x\cap y= \bigcap\left\{ x,y\right\}.}\)
Iloczyn taki, ma to samo znaczenie, co używany iloczyn w naiwnej teorii mnogości, dowolny element należy do iloczynu dwóch zbiorów, gdy należy do obydwu zbiorów jednocześnie.
Przypominam, że dla dwóch rodzin zbiorów \(\displaystyle{ x,y,}\) jeśli \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq x \subset y}\), to \(\displaystyle{ \bigcap x\supset \bigcap y,}\) czyli iloczyn większej rodziny zbiorów jest mniejszy (jeśli mniejsza rodzina nie jest pusta). Łatwo pokazać, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ x\right\}=x.}\)
Możemy teraz, podobnie jak wcześniej, udowodnić, że:
Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ x,y}\) mamy:
\(\displaystyle{ 1. x\cap y=y\cap x.}\)
\(\displaystyle{ 2.x\supset x\cap y.}\)
\(\displaystyle{ 3. y\supset x\cap y.}\)
\(\displaystyle{ 4. x\cap x=x.}\)
Dowód:
1. Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}=\left\{ y,x\right\}}\), więc również \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ x,y\right\}= \bigcap \left\{ y,x\right\},}\) czyli \(\displaystyle{ x\cap y=y\cap x.}\)
2. Mamy \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ x\right\}=x.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \left\{ x\right\} \subset \left\{ x,y\right\}}\), więc \(\displaystyle{ x=\bigcap \left\{ x\right\}\supset \bigcap \left\{ x,y\right\}=x \cap y,}\) a więc \(\displaystyle{ x\supset x\cap y.}\)
3. Na podstawie poprzedniego punktu \(\displaystyle{ y\supset y\cap x,}\) i na podstawie pierwszego punktu \(\displaystyle{ y\cap x=x\cap y,}\) a więc \(\displaystyle{ y\supset x\cap y.}\)
4.Mamy \(\displaystyle{ x= \bigcap \left\{ x\right\}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}=\left\{ x,x\right\}}\), więc \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ x\right\}= \bigcap\left\{ x,x\right\}=x \cap x,}\) a więc \(\displaystyle{ x=x\cap x. \square}\)
Przypominam definicje dodawania liczb naturalnych:
\(\displaystyle{ 0+ n=n,}\) dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), oraz
\(\displaystyle{ n'+m=\left( n+m\right)'}\) dla dowolnych naturalnych n i m.
W aksjomatycznym podejściu do teorii mnogości wszystkie "oczywiste" fakty odnośnie liczb naturalnych należy dowieść z aksjomatów. Tak więc o dodawaniu liczb naturalnych wiemy na razie tylko tyle ile mówi powyższa definicja- resztę trzeba dowieść.
Jeśli suma dwóch liczb naturalnych jest równa \(\displaystyle{ 0=\emptyset}\), to obydwie muszą być równe \(\displaystyle{ 0}\).
Dowód:
Niech dla liczb naturalnych \(\displaystyle{ n,m}\) zachodzi \(\displaystyle{ n+m=0.}\) Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest następnikiem pewnej liczby naturalnej, to \(\displaystyle{ n= k'}\) dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ k}\), wtedy podstawiając pod sumę \(\displaystyle{ k'+m=0,}\) a \(\displaystyle{ k'+m}\) to jest równe na mocy definicji dodawania \(\displaystyle{ \left( k+ m\right)',}\) więc jako następnik sumy liczb naturalnych, czyli następnik liczby naturalnej jest to różne od \(\displaystyle{ 0}\), sprzeczność. Doprowadziło do tego założenie, że \(\displaystyle{ n}\) jest następnikiem pewnej liczby naturalnej. Wobec czego \(\displaystyle{ n}\) nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej. Ale mamy twierdzenie, że każda liczba naturalna jest zerem (zbiorem pustym ) lub następnikiem liczby naturalnej(chyba w moim Kompendium jest dowód, w rozdziale liczby naturalne). Wobec czego pozostaje tylko możliwość \(\displaystyle{ n=0}\), więc podstawiając za \(\displaystyle{ n+ m=0,}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ 0+m=0}\), a \(\displaystyle{ 0+m}\) jest równe- na mocy definicji dodawania- \(\displaystyle{ m}\), czyli \(\displaystyle{ m=0}\) i \(\displaystyle{ n=0}\), co kończy dowód.\(\displaystyle{ \square}\)
Natomiast dowód przemienności dodawania składa się z kilku części:
Najpierw dowodzimy, że \(\displaystyle{ n+0=n}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego (indukcyjnie), mając to potem uzasadniamy, że dla dowolnych \(\displaystyle{ n,m}\) naturalnych \(\displaystyle{ n'+m=n+ m'}\) (indukcyjnie), i w końcu mając te dwa fakty uzasadniamy przemienność dodawania.
Definicja mnożenia:
\(\displaystyle{ 0 \cdot m=0,}\) oraz
\(\displaystyle{ n' \cdot m= \left( n \cdot m\right)+m.}\)
Dowodzi się, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego \(\displaystyle{ n \cdot 1=n}\), oraz, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego \(\displaystyle{ n \cdot 0=0}\), że mnożenie jest przemienne(również aby to udowodnić potrzebujemy paru faktów). A też sam dostrzegłem, że jeśli nie chcemy korzystać z przemienności dodawania(bo jego dowód składa się z kilku części), to nie jest oczywistym nawet, że \(\displaystyle{ n+1=n'.}\)
Niech \(\displaystyle{ x,y}\) będą zbiorami.
Definiujemy \(\displaystyle{ x \cup y= \bigcup\left\{ x,y\right\}.}\)
Suma ta, ma tą samą własność co suma naiwna- dowolny element występuję w sumie dwóch zbiorów, gdy występuję w którymś z nich, \(\displaystyle{ z \in x \cup y \Longleftrightarrow z \in x \vee z \in y.}\)
Przypominam dla dwóch rodzin zbiorów \(\displaystyle{ x,y}\): jeśli \(\displaystyle{ x \subset y}\) to \(\displaystyle{ \bigcup x \subset \bigcup y}\) (można chyba poczytać nieco więcej o tym w moim Kompendium, w drugim rozdziale Aksjomaty).
Oraz dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ x\right\}=x.}\)
Wykażemy, w sposób zabawny, podstawowe własności sumy dwóch zbiorów.
Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ x,y}\) mamy:
1.\(\displaystyle{ x \cup y= y \cup x.}\)
2. \(\displaystyle{ x \subset x \cup y.}\)
3.\(\displaystyle{ y \subset x \cup y.}\)
4.\(\displaystyle{ x \cup x=x.}\)
Dowód:
1.Mamy \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}=\left\{ y,x\right\},}\) a więc \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ x,y\right\}= \bigcup\left\{ y,x\right\}}\), czyli \(\displaystyle{ x \cup y=y \cup x.}\)
2. Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \subset \left\{ x,y\right\},}\) więc również \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ x\right\} \subset \bigcup\left\{ x,y\right\},}\) ponieważ \(\displaystyle{ \bigcup \left\{ x\right\}= x,}\) a więc \(\displaystyle{ x= \bigcup\left\{ x\right\} \subset \bigcup\left\{ x,y\right\}=x \cup y,}\) a więc \(\displaystyle{ x \subset x \cup y.}\)
3. Na podstawie poprzedniego punktu \(\displaystyle{ y \subset y \cup x}\), i na podstawie pierwszego punktu \(\displaystyle{ y \cup x= x \cup y,}\) a więc \(\displaystyle{ y \subset x \cup y.}\)
4.Mamy \(\displaystyle{ x= \bigcup\left\{ x\right\}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}=\left\{ x,x\right\},}\) więc \(\displaystyle{ \bigcup\left\{ x\right\} = \bigcup\left\{ x,x\right\}=x \cup x}\), więc \(\displaystyle{ x= x\cup x.}\)-- piątek, 24 maja 2019, 01:30 --Wczoraj, samodzielnie, ale za to w sposób analogiczny, w podobny sposób udowodniłem podobne fakty dla iloczynu dwóch zbiorów.
Przypominam, dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ x,y}\) definiujemy \(\displaystyle{ x\cap y= \bigcap\left\{ x,y\right\}.}\)
Iloczyn taki, ma to samo znaczenie, co używany iloczyn w naiwnej teorii mnogości, dowolny element należy do iloczynu dwóch zbiorów, gdy należy do obydwu zbiorów jednocześnie.
Przypominam, że dla dwóch rodzin zbiorów \(\displaystyle{ x,y,}\) jeśli \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq x \subset y}\), to \(\displaystyle{ \bigcap x\supset \bigcap y,}\) czyli iloczyn większej rodziny zbiorów jest mniejszy (jeśli mniejsza rodzina nie jest pusta). Łatwo pokazać, że dla dowolnego zbioru \(\displaystyle{ x}\) mamy \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ x\right\}=x.}\)
Możemy teraz, podobnie jak wcześniej, udowodnić, że:
Dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ x,y}\) mamy:
\(\displaystyle{ 1. x\cap y=y\cap x.}\)
\(\displaystyle{ 2.x\supset x\cap y.}\)
\(\displaystyle{ 3. y\supset x\cap y.}\)
\(\displaystyle{ 4. x\cap x=x.}\)
Dowód:
1. Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ x,y\right\}=\left\{ y,x\right\}}\), więc również \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ x,y\right\}= \bigcap \left\{ y,x\right\},}\) czyli \(\displaystyle{ x\cap y=y\cap x.}\)
2. Mamy \(\displaystyle{ \bigcap \left\{ x\right\}=x.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \left\{ x\right\} \subset \left\{ x,y\right\}}\), więc \(\displaystyle{ x=\bigcap \left\{ x\right\}\supset \bigcap \left\{ x,y\right\}=x \cap y,}\) a więc \(\displaystyle{ x\supset x\cap y.}\)
3. Na podstawie poprzedniego punktu \(\displaystyle{ y\supset y\cap x,}\) i na podstawie pierwszego punktu \(\displaystyle{ y\cap x=x\cap y,}\) a więc \(\displaystyle{ y\supset x\cap y.}\)
4.Mamy \(\displaystyle{ x= \bigcap \left\{ x\right\}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left\{ x\right\}=\left\{ x,x\right\}}\), więc \(\displaystyle{ \bigcap\left\{ x\right\}= \bigcap\left\{ x,x\right\}=x \cap x,}\) a więc \(\displaystyle{ x=x\cap x. \square}\)