Definiowanie przez indukcje z parametrem
: 15 maja 2019, o 01:06
Zawsze miałem z tym problem (bo wyjaśniania, że dodatkowa zmienna jest parametrem niewiele wyjaśnia). Ale teraz powoli staje się to jasne. Myślę, że znam to dobrze w kontekście dodawania i mnożenia liczb naturalnych. Teraz mnie naszło aby się w ogólności nad tym zastanowić.
Przede wszystkim tak- na czym polega takie definiowanie. Chcemy dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) , dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) zdefiniować jeden element \(\displaystyle{ f\left( n,a\right)}\)( i tak dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) i dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\)), tak Definiujemy więc dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) element \(\displaystyle{ f\left( 0,a\right)}\). Mamy zatem zdefiniowane \(\displaystyle{ f\left( 0,a\right)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A.}\) Teraz dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ a \in A}\) definiujemy \(\displaystyle{ f\left( 1,a\right)}\) na podstawie wartości \(\displaystyle{ f\left( 0,a\right),}\) tak? Mamy zatem zdefiniowane \(\displaystyle{ f\left( m,a\right),}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ m=0,1, a\in A.}\). Teraz dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ a \in A}\) definiujemy element \(\displaystyle{ f\left( 2,a\right),}\) na podstawie wartości \(\displaystyle{ f\left( 1,a\right);f\left( 0,a\right),}\) i tak dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A.}\) Dalej, w kroku \(\displaystyle{ n}\) zakładamy domyślnie, że zdefiniowana jest taka funkcja dla wszystkich \(\displaystyle{ m<n}\) oraz \(\displaystyle{ a \in A,}\) i dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ a\in A}\) definiujemy element \(\displaystyle{ f\left( n,a\right)}\) na podstawie wartości \(\displaystyle{ f\left( 0,a\right);f\left( 1,a\right);\ldots;f\left( n-1,a\right),}\) i tak dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\). Stąd otrzymujemy funkcję na \(\displaystyle{ \NN \times A,}\) o to chodzi
Niech \(\displaystyle{ A=\RR, x \in A.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{0}=1 \\ x ^{n+1}=x ^{n} \cdot x. \end{cases}}\) To dobry przykład Prosiłbym o jeszcze jeden, gdzie \(\displaystyle{ A \neq \NN.}\)
Przede wszystkim tak- na czym polega takie definiowanie. Chcemy dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in\NN}\) , dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) zdefiniować jeden element \(\displaystyle{ f\left( n,a\right)}\)( i tak dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) i dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\)), tak Definiujemy więc dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) element \(\displaystyle{ f\left( 0,a\right)}\). Mamy zatem zdefiniowane \(\displaystyle{ f\left( 0,a\right)}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A.}\) Teraz dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ a \in A}\) definiujemy \(\displaystyle{ f\left( 1,a\right)}\) na podstawie wartości \(\displaystyle{ f\left( 0,a\right),}\) tak? Mamy zatem zdefiniowane \(\displaystyle{ f\left( m,a\right),}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ m=0,1, a\in A.}\). Teraz dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ a \in A}\) definiujemy element \(\displaystyle{ f\left( 2,a\right),}\) na podstawie wartości \(\displaystyle{ f\left( 1,a\right);f\left( 0,a\right),}\) i tak dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A.}\) Dalej, w kroku \(\displaystyle{ n}\) zakładamy domyślnie, że zdefiniowana jest taka funkcja dla wszystkich \(\displaystyle{ m<n}\) oraz \(\displaystyle{ a \in A,}\) i dla dowolnego ustalonego \(\displaystyle{ a\in A}\) definiujemy element \(\displaystyle{ f\left( n,a\right)}\) na podstawie wartości \(\displaystyle{ f\left( 0,a\right);f\left( 1,a\right);\ldots;f\left( n-1,a\right),}\) i tak dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\). Stąd otrzymujemy funkcję na \(\displaystyle{ \NN \times A,}\) o to chodzi
Niech \(\displaystyle{ A=\RR, x \in A.}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x ^{0}=1 \\ x ^{n+1}=x ^{n} \cdot x. \end{cases}}\) To dobry przykład Prosiłbym o jeszcze jeden, gdzie \(\displaystyle{ A \neq \NN.}\)