Relacja odwrotna- proste pytania.
-
- Użytkownik
- Posty: 1404
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 83 razy
Relacja odwrotna- proste pytania.
Wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), to relacja odwrotna \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest porządkiem na \(\displaystyle{ X}\). Czy jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest porządkiem liniowym, to \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest również porządkiem liniowym To ciekawe, pewnie tak, ale pamięć zawodzi.
I jeszcze jedno proste pytanie. Czy dla relacji \(\displaystyle{ R,S}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), jeśli \(\displaystyle{ R \subset S,}\) to \(\displaystyle{ R ^{-1} \subset S ^{-1}.}\) Potrzebuje z takiej własności skorzystać.
I jeszcze jedno proste pytanie. Czy dla relacji \(\displaystyle{ R,S}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), jeśli \(\displaystyle{ R \subset S,}\) to \(\displaystyle{ R ^{-1} \subset S ^{-1}.}\) Potrzebuje z takiej własności skorzystać.
Ostatnio zmieniony 1 lut 2019, o 19:13 przez Jakub Gurak, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Rrelacja odwrotna- proste pytania.
No ale to jest przecież oczywisty fakt o dowodzie długości jednej linijki, który bez problemu powinieneś umieć napisać.Jakub Gurak pisze:Wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest porządkiem na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), to relacja odwrotna \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest porządkiem na \(\displaystyle{ X}\). Czy jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest porządkiem liniowym, to \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest również porządkiem liniowym To ciekawe, pewnie tak, ale pamięć zawodzi.
I znów, to przecież jest oczywisty fakt o dowodzie również jednolinijkowym, którego napisanie powinno Ci zająć mniej czasu niż stworzenie tego posta.Jakub Gurak pisze:I jeszcze jedno proste pytanie. Czy dla relacji \(\displaystyle{ R,S}\) na zbiorze \(\displaystyle{ X}\), jeśli \(\displaystyle{ R \subset S,}\) to \(\displaystyle{ R ^{-1} \subset S ^{-1}.}\) Potrzebuje z takiej własności skorzystać.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1404
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacja odwrotna- proste pytania.
Oj, nuda, a mam potrzebę działać...
Wykaże zatem( w sposób trochę nietypowy), że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest porządkiem na \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest również porządkiem na \(\displaystyle{ X}\).
Sprawdzamy zatem zwrotność, antysymetrię i przechodniość.
Ponieważ \(\displaystyle{ R}\) jest porządkiem na \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ R}\) jest zwrotna, zatem \(\displaystyle{ R \supset I _{X},}\) zatem również \(\displaystyle{ R ^{-1} \supset \left( I _{X}\right) ^{-1}=I _{X},}\) zatem \(\displaystyle{ R ^{-1} \supset I _{X},}\) a zatem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest zwrotna.
Antysymetrię sprawdzę z definicji ( nie mam innego pomysłu). Niech \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R ^{-1}}\),i \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R ^{-1}.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ x=y.}\) Z określenia relacji odwrotnej \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ R}\) jako relacja porządku jest antysymetryczna, więc \(\displaystyle{ x=y}\), co należało pokazać.
Przechodniość( też wygodnie jest z definicji, pokaże potem jeszcze jeden sposób). Niech \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R^{-1}, \left( b,c\right) \in R^{-1}.}\) Zatem odwracając współrzędne par \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ \left( c,b\right) \in R.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left( c,b\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R}\) i relacja \(\displaystyle{ R}\) jest przechodnia, więc \(\displaystyle{ \left( c,a\right)\in R}\), więc odwracając współrzędne pary \(\displaystyle{ \left( a,c\right) \in R^{-1}}\), a więc \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest przechodnia.
Zatem \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest porządkiem na \(\displaystyle{ X. \square}\)
Miałem pokazać jeszcze jeden sposób na przechodniość \(\displaystyle{ R ^{-1}.}\)
Zachowując oznaczenia. Wiemy, że \(\displaystyle{ R}\) jako relacja porządku jest przechodnia, zatem \(\displaystyle{ R\circ R \subset R.}\) Aby pokazać, że \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest przechodnia, należy pokazać, że \(\displaystyle{ R^{-1}\circ R^{-1} \subset R^{-1}.}\) Mamy prawo \(\displaystyle{ \left( S\circ T\right) ^{-1}= T^{-1}\circ S^{-1}.}\) Zatem tutaj \(\displaystyle{ \left( R\circ R\right) ^{-1}= R^{-1}\circ R^{-1}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ R\circ R \subset R,}\) więc z pytanego przeze mnie prawa- zgodności brania relacji odwrotnej z inkluzją, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \left( R\circ R \right) ^{-1} \subset R ^{-1},}\) a więc \(\displaystyle{ R^{-1}\circ R^{-1} \subset R^{-1},}\) a więc \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest przechodnia.
Wykaże zatem( w sposób trochę nietypowy), że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest porządkiem na \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest również porządkiem na \(\displaystyle{ X}\).
Sprawdzamy zatem zwrotność, antysymetrię i przechodniość.
Ponieważ \(\displaystyle{ R}\) jest porządkiem na \(\displaystyle{ X}\), to \(\displaystyle{ R}\) jest zwrotna, zatem \(\displaystyle{ R \supset I _{X},}\) zatem również \(\displaystyle{ R ^{-1} \supset \left( I _{X}\right) ^{-1}=I _{X},}\) zatem \(\displaystyle{ R ^{-1} \supset I _{X},}\) a zatem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest zwrotna.
Antysymetrię sprawdzę z definicji ( nie mam innego pomysłu). Niech \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R ^{-1}}\),i \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R ^{-1}.}\) Pokażemy, że \(\displaystyle{ x=y.}\) Z określenia relacji odwrotnej \(\displaystyle{ \left( y,x\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ \left( x,y\right) \in R.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ R}\) jako relacja porządku jest antysymetryczna, więc \(\displaystyle{ x=y}\), co należało pokazać.
Przechodniość( też wygodnie jest z definicji, pokaże potem jeszcze jeden sposób). Niech \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R^{-1}, \left( b,c\right) \in R^{-1}.}\) Zatem odwracając współrzędne par \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ \left( c,b\right) \in R.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ \left( c,b\right) \in R}\) i \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R}\) i relacja \(\displaystyle{ R}\) jest przechodnia, więc \(\displaystyle{ \left( c,a\right)\in R}\), więc odwracając współrzędne pary \(\displaystyle{ \left( a,c\right) \in R^{-1}}\), a więc \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest przechodnia.
Zatem \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest porządkiem na \(\displaystyle{ X. \square}\)
Miałem pokazać jeszcze jeden sposób na przechodniość \(\displaystyle{ R ^{-1}.}\)
Zachowując oznaczenia. Wiemy, że \(\displaystyle{ R}\) jako relacja porządku jest przechodnia, zatem \(\displaystyle{ R\circ R \subset R.}\) Aby pokazać, że \(\displaystyle{ R^{-1}}\) jest przechodnia, należy pokazać, że \(\displaystyle{ R^{-1}\circ R^{-1} \subset R^{-1}.}\) Mamy prawo \(\displaystyle{ \left( S\circ T\right) ^{-1}= T^{-1}\circ S^{-1}.}\) Zatem tutaj \(\displaystyle{ \left( R\circ R\right) ^{-1}= R^{-1}\circ R^{-1}.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ R\circ R \subset R,}\) więc z pytanego przeze mnie prawa- zgodności brania relacji odwrotnej z inkluzją, otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \left( R\circ R \right) ^{-1} \subset R ^{-1},}\) a więc \(\displaystyle{ R^{-1}\circ R^{-1} \subset R^{-1},}\) a więc \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest przechodnia.
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 1404
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacja odwrotna- proste pytania.
Ale czasem człowiek nie myśli nad dowodem, chcę tylko coś zapytać. A wtedy ciężko wyczuć jak trudny będzie dowod. W poniższym poście miałem obawy, że znowu Pan powie to samo, i zacząłem analizować( i wyszło nie tak łatwo ). Następnym razem będę pytał, (nie zawsze muszę się zastanawiać od razu nad dowodem).Jan Kraszewski pisze: No ale to jest przecież oczywisty fakt o dowodzie długości jednej linijki, który bez problemu powinieneś umieć napisać.
I znów, to przecież jest oczywisty fakt o dowodzie również jednolinijkowym, którego napisanie powinno Ci zająć mniej czasu niż stworzenie tego posta.
Jeśli chodzi o porządek odwrotny, to czy intuicyjnie można sobie wyobrażać, że odczytujemy go tak samo jak dany porządek, zmieniając tylko kierunki dół-góra, góra-dół( lub liniowy porządek zmieniając prawy-lewy, lewy-prawy)
Przeczytałem w Guzickim rozdział o tym , zrozumiałem, ale mam niedosyt. Mam twierdzenie
Niech \(\displaystyle{ \left( X,R\right)}\) będzie zbiorem uporządkowanym, i niech \(\displaystyle{ A \subset X.}\)
Element największy (odpowiednio: najmniejszy ) w zbiorze \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\) jest elementem najmniejszym (odpowiednio: największym) w tym zbiorze względem \(\displaystyle{ R ^{-1}.}\)
Podobne własności są podane dla ograniczeń górnych-dolnych, kresów górnych-dolnych. Chciałbym wzmocnić to twierdzenie do postaci (nie jestem miłośnikiem równoważności, akurat tu mi tak wygodnie) :
Niech \(\displaystyle{ A \subset X,a \in X.}\)
Element \(\displaystyle{ a}\) jest elementem największym(najmniejszym ) zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym(odpowiednio: największym ) tego zbioru względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\)
Element \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym tego zbioru względem \(\displaystyle{ R ^{-1}.}\)
Element \(\displaystyle{ a}\) jest supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\), wtedy i tylko wtedy, gdy jest infimum tego zbioru względem \(\displaystyle{ R^{-1}.}\)
Można tak
Żeby się nie napracować, to wydaje mi się, że najpierw wykaże (twierdzenie z Guzickiego, to wcześniejsze) dla ograniczeń górnych-dolnych, potem dla elementów najmniejszych- największych, na koniec dla supremum-infimum.
Niech \(\displaystyle{ \left( X,R\right)}\) będzie zbiorem uporządkowanym, \(\displaystyle{ A \subset X.}\)
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ R}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym dla \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\) (czyli względem porzadku odwrotnego).
Ponieważ \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\), więc \(\displaystyle{ b\left( R\right) a,}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ b \in A}\), inaczej mówiąc \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R}\). Zatem \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R^{-1}}\), inaczej mówiąc \(\displaystyle{ a\left( R ^{-1} \right)b}\), zatem \(\displaystyle{ a}\) jest mniejsze (względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\)) od dowolnego \(\displaystyle{ b \in A}\), zatem jest ograniczeniem dolnym dla \(\displaystyle{ A}\), względem \(\displaystyle{ R ^{-1},}\) co należało pokazać.
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie ograniczeniem dolnym dla \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\). Pokażemy że \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym dla \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R ^{-1}.}\)( może i analogicznie wyjdzie, ale mam potrzebę przećwiczyć).
Ponieważ a jest ograniczeniem dolnym dla \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\), więc \(\displaystyle{ a\left( R\right)b,}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ b \in A}\), inaczej mówiąc \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R}\), , wtedy \(\displaystyle{ \left( b,a \right) \in R ^{-1},}\) inaczej mówiąc \(\displaystyle{ b\left( R ^{-1} \right)a,}\), zatem a jest większe względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) od dowolnego \(\displaystyle{ b \in A,}\) zatem jest ograniczeniem górnym dla A względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\), co należało pokazać.
Uf, teraz elementy największe- najmniejsze.
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie elementem największym A względem R. Pokażemy, że a jest elementem najmniejszym A względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\). Element największy A należy do A. Element największy A (względem R) jest większy względem R od każdego elementu w tym zbiorze. Zatem a jest ograniczeniem górnym dla A względem R. Stosując zatem udowodnioną część, otrzymujemy, że a jest ograniczeniem dolnym dla A względem \(\displaystyle{ R ^{-1}.}\) Co oznacza, że a jest mniejsze od każdego elementu A(względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) ), i \(\displaystyle{ a \in A}\), zatem a jest elementem najmniejszym A (względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\)). Drugi dowód jest analogiczny.
Supremum-infimum teraz: Niech a będzie supremum A względem R. Pokażemy , że a jest infimum A względem \(\displaystyle{ R ^{-1}.}\) Supremum A jest w szczególności ograniczeniem górnym dla A, względem R . Zatem, stosując ponownie udowodnioną własność o ograniczeniach górnych-dolnych, a jest ograniczeniem dolnym dla A względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\), Zatem spełniony jest pierwszy warunek na bycie infimum. Supremum A, względem R jest najmniejszym ograniczeniem górnym dla A. Niech B będzie zbiorem wszystkich ograniczeń górnych dla A względem R. Zbiór taki, będący podzbiorem X ma element najmniejszy (jest nim a), stosując udowodnioną własność(a właściwie analogiczną do udowodnionej) odnośnie elementów najmniejszych- największych, otrzymujemy, że a jest elementem największym zbioru B względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) Jest więc większe od każdego elementu B (względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\)). Niech \(\displaystyle{ b \in B.}\) Wtedy b jest ograniczeniem górnym dla A względem R. Stosując zatem udowodnioną część o ograniczeniach górnych-dolnych otrzymujemy, że b jest ograniczeniem dolnym dla A względem \(\displaystyle{ R ^{-1}.}\) Z dowolności b, każdy element zbioru B jest ograniczeniem dolnym dla A względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\). Ponieważ a jest większe od każdego elementu B, czyli od każdego ograniczenia dolnego dla A, i jest ograniczeniem dolnym dla A, czyli a jest największym ograniczeniem dolnym dla A , czyli a jest infimum zbioru A (względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\)).\(\displaystyle{ \square}\)
A przytoczone twierdzenie, weźmy elementy najmniejsze- największe. Jeśli a jest elementem najmniejszym A względem \(\displaystyle{ R ^{-1},}\)(a chcemy pokazać że jest elementem największym A względem R ), to stosujemy udowodnioną część dostając, że a jest elementem największym zbioru A względem \(\displaystyle{ \left( R ^{-1} \right) ^{-1}=R.}\) Tyle na dziś.
Jest dobrze
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Relacja odwrotna- proste pytania.
Tak.Jakub Gurak pisze:Jeśli chodzi o porządek odwrotny, to czy intuicyjnie można sobie wyobrażać, że odczytujemy go tak samo jak dany porządek, zmieniając tylko kierunki dół-góra, góra-dół( lub liniowy porządek zmieniając prawy-lewy, lewy-prawy)
Tak.Jakub Gurak pisze:Niech \(\displaystyle{ A \subset X,a \in X.}\)
Element \(\displaystyle{ a}\) jest elementem największym(najmniejszym ) zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest elementem najmniejszym(odpowiednio: największym ) tego zbioru względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\)
Element \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest ograniczeniem dolnym tego zbioru względem \(\displaystyle{ R ^{-1}.}\)
Element \(\displaystyle{ a}\) jest supremum zbioru \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R}\), wtedy i tylko wtedy, gdy jest infimum tego zbioru względem \(\displaystyle{ R^{-1}.}\)
Można tak
Tak.Jakub Gurak pisze:Jest dobrze
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1404
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacja odwrotna- proste pytania.
Pozostało mi jedno zaległe zadanie.
Niech \(\displaystyle{ \left( X, R \right)}\) będzie zbiorem uporządkowanym, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie dolne. Pokażemy, że istnieje w \(\displaystyle{ \left( X, R \right)}\) element minimalny (korzystając z lematu Zorna).
Pomysł jest taki, aby rozważyć porządek odwrotny \(\displaystyle{ R^{-1}}\), spróbować zastosować do niego Lemat Zorna, dostając element maksymalny względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\) , a więc element minimalny względem \(\displaystyle{ R}\)
Aby zastosować lemat Zorna musimy wykazać, że każdy łańcuch w \(\displaystyle{ \left( X, R^{-1} \right)}\) ma ograniczenie górne.
Niech \(\displaystyle{ A \subset X}\) będzie łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem również względem \(\displaystyle{ R}\). Niech \(\displaystyle{ a,b\in A}\). Należy pokazać, że elementy \(\displaystyle{ a,b}\) są porównywalne względem \(\displaystyle{ R.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1},}\) więc elementy \(\displaystyle{ a,b}\) są porównywalne, a więc \(\displaystyle{ a\left( R^{-1}\right)b}\) lub \(\displaystyle{ b\left( R^{-1}\right)a}\). Inaczej mówiąc, \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R^{-1}}\) lub \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R^{-1}.}\) Z własności relacji odwrotnej oznacza to, że \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R}\) lub \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R.}\) Inaczej mówiąc \(\displaystyle{ b\left( R\right)a}\) lub \(\displaystyle{ a\left( R\right) b.}\) A więc elementy \(\displaystyle{ a,b}\) są porównywalne względem \(\displaystyle{ R}\), i \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ R.}\) Korzystając z założenia, łańcuch ten ma ograniczenie dolne względem \(\displaystyle{ R}\), zatem jest to ograniczenie górne tego łańcucha \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\). Z dowolności wyboru łańcucha \(\displaystyle{ A}\), każdy łańcuch ma ograniczenie górne (względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\)).
Stosując lemat Zorna wnioskujemy, że w \(\displaystyle{ \left( X, R^{-1} \right)}\) jest element maksymalny, zatem jest to element minimalny względem \(\displaystyle{ R}\).\(\displaystyle{ \square}\)
Chyba dobrze
Jakub Gurak pisze:Jeśli w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) każdy łańcuch ma ograniczenie dolne, to istnieje w \(\displaystyle{ \left( X, \le \right)}\) element minimalny.
Jakiś miesiąc dwa temu spróbowałem tym sposobem, i- nie jest łatwiej, jeśli chcemy być dokładni. Dlatego, spróbuję to sobie przypomnieć, i prosić o sprawdzenie, gdyż sprawiło mi to wtedy pewną trudność.Dasio11 pisze:A nie łatwiej do lematu Kuratowskiego-Zorna podstawić \(\displaystyle{ \le \: := \: \ge}\)
Niech \(\displaystyle{ \left( X, R \right)}\) będzie zbiorem uporządkowanym, w którym każdy łańcuch ma ograniczenie dolne. Pokażemy, że istnieje w \(\displaystyle{ \left( X, R \right)}\) element minimalny (korzystając z lematu Zorna).
Pomysł jest taki, aby rozważyć porządek odwrotny \(\displaystyle{ R^{-1}}\), spróbować zastosować do niego Lemat Zorna, dostając element maksymalny względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\) , a więc element minimalny względem \(\displaystyle{ R}\)
Aby zastosować lemat Zorna musimy wykazać, że każdy łańcuch w \(\displaystyle{ \left( X, R^{-1} \right)}\) ma ograniczenie górne.
Niech \(\displaystyle{ A \subset X}\) będzie łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\). Pokażemy, że \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem również względem \(\displaystyle{ R}\). Niech \(\displaystyle{ a,b\in A}\). Należy pokazać, że elementy \(\displaystyle{ a,b}\) są porównywalne względem \(\displaystyle{ R.}\) Ponieważ \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1},}\) więc elementy \(\displaystyle{ a,b}\) są porównywalne, a więc \(\displaystyle{ a\left( R^{-1}\right)b}\) lub \(\displaystyle{ b\left( R^{-1}\right)a}\). Inaczej mówiąc, \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R^{-1}}\) lub \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R^{-1}.}\) Z własności relacji odwrotnej oznacza to, że \(\displaystyle{ \left( b,a\right) \in R}\) lub \(\displaystyle{ \left( a,b\right) \in R.}\) Inaczej mówiąc \(\displaystyle{ b\left( R\right)a}\) lub \(\displaystyle{ a\left( R\right) b.}\) A więc elementy \(\displaystyle{ a,b}\) są porównywalne względem \(\displaystyle{ R}\), i \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ R.}\) Korzystając z założenia, łańcuch ten ma ograniczenie dolne względem \(\displaystyle{ R}\), zatem jest to ograniczenie górne tego łańcucha \(\displaystyle{ A}\) względem \(\displaystyle{ R ^{-1}}\). Z dowolności wyboru łańcucha \(\displaystyle{ A}\), każdy łańcuch ma ograniczenie górne (względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\)).
Stosując lemat Zorna wnioskujemy, że w \(\displaystyle{ \left( X, R^{-1} \right)}\) jest element maksymalny, zatem jest to element minimalny względem \(\displaystyle{ R}\).\(\displaystyle{ \square}\)
Chyba dobrze
-
- Administrator
- Posty: 34239
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Relacja odwrotna- proste pytania.
Jakub Gurak pisze:Jakiś miesiąc dwa temu spróbowałem tym sposobem, i- nie jest łatwiej, jeśli chcemy być dokładni.
Ideologicznie jest to oczywisty wniosek z LKZ.
Dobrze, ale przesadnie się rozpisujesz. Definicje łańcucha względem \(\displaystyle{ R}\) i względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\) są identyczne.Jakub Gurak pisze:Chyba dobrze
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 1404
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacja odwrotna- proste pytania.
Mogę teraz wykonać takie ćwiczenie:
Niech \(\displaystyle{ (X, R)}\) będzie zbiorem uporządkowanym. Wykażemy, że w \(\displaystyle{ X}\) każdy niepusty łańcuch ma supremum, dokładnie wtedy, gdy w \(\displaystyle{ \left( X,R ^{-1}\right) }\) każdy niepusty łańcuch ma infimum.
Dowód:
Udowodnimy najpierw lemat:
Niech \(\displaystyle{ \left( X,R\right)}\) będzie zbiorem uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jego podzbiorem. Wtedy \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ R}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1}.}\)
Przechodzimy do głównego zadania:
Niech \(\displaystyle{ (X,R)}\) będzie zbiorem uporządkowanym.
Przypuśćmy, że w \(\displaystyle{ (X,R)}\) każdy niepusty łańcuch ma supremum. Pokażemy, że w \(\displaystyle{ (X,R^{-1})}\) (czyli w tym samym zbiorze tylko z porządkiem odwrotnym) każdy niepusty łańcuch ma infimum. Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie niepustym łańcuchem, względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\). Pokażemy że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum. Wiemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1}.}\) Na mocy udowodnionego lematu jest to łańcuch względem \(\displaystyle{ R}\). Zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym łańcuchem względem \(\displaystyle{ R}\). A zatem, na mocy założenia, zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum (względem \(\displaystyle{ R}\)), które jest jego infimum względem \(\displaystyle{ R^{-1}. \square}\)
Przypuśćmy, że w \(\displaystyle{ (X,R^{-1})}\) każdy niepusty łańcuch ma infimum. Pokażemy, że w \(\displaystyle{ (X,R)}\) każdy niepusty łańcuch ma supremum. Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie niepustym łańcuchem względem \(\displaystyle{ R}\). Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Wtedy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest również łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\) (na mocy lematu), i jest niepusty, więc na mocy założenia zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum ( względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\)), które jest jego supremum względem \(\displaystyle{ R=\left( R ^{-1} \right) ^{-1}. \square}\)
Dzięki temu, choć mam co najmniej \(\displaystyle{ 8}\) przykładów (czy raczej \(\displaystyle{ 8}\) rodzin przykładów, gdyż to przykłady raczej ogólne) na zbiory uporządkowane, w których każdy niepusty łańcuch posiada supremum, ale jednak nie zawsze mam do pary przykład na zbór uporządkowany w którym każdy niepusty łańcuch miałby infimum, to na mocy tego ćwiczenia do każdego z tych przykładów zbioru uporządkowanego, gdzie niepuste łańcuchy mają supremum, mogę rozważyć ten sam zbiór, ale z porządkiem odwrotnym, i na mocy tego faktu, wtedy każdy niepusty łańcuch ma infimum.
(Pustymi łańcuchami nie ma co się martwić, bo jeśli tylko w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest element najmniejszy, to jest on supremum pustego łańcucha, podobnie jeśli w zbiorze uporządkowanym jest element największy, to jest on infimum pustego łańcucha).
Na koniec wykażemy zapowiedziany fakt, że w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jeśli każdy podzbiór ma supremum, to każdy podzbiór ma infimum (i na odwrót).
Dowód: Niech \(\displaystyle{ (X, \le )}\) będzie zbiorem uporządkowanym, w którym każdy podzbiór ma supremum. Pokażemy, że również każdy podzbiór ma infimum. Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) . Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum. Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B}\) wszystkich ograniczeń dolnych zbioru \(\displaystyle{ A}\) ( zbiór na lewo od zbioru \(\displaystyle{ A}\)). Taki zbiór, na mocy założenia ma supremum \(\displaystyle{ x}\), i pokazujemy ze to supremum jest infimum zbioru na prawo (zbioru \(\displaystyle{ A}\)).
Odwrotnie, jeśli w \(\displaystyle{ (X, \le )}\) każdy podzbiór ma infimum, to każdy podzbiór ma supremum. Aby to pokazać, to niech \(\displaystyle{ A\subset X}\). Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Rozważmy zbiór na prawo od niego- zbiór \(\displaystyle{ B}\) wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\). Taki zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma infimum \(\displaystyle{ x}\) (na mocy założenia), i pokazujemy że to infimum jest supremum zbioru na lewo- zbioru \(\displaystyle{ A. \square}\)
Czyż nie piękne
A zatem w tych trzech wyjaśnianych przykładach zbiorów uporządkowanych zarówno każdy podzbiór ma supremum jak i każdy podzbiór ma infimum.
Niech \(\displaystyle{ (X, R)}\) będzie zbiorem uporządkowanym. Wykażemy, że w \(\displaystyle{ X}\) każdy niepusty łańcuch ma supremum, dokładnie wtedy, gdy w \(\displaystyle{ \left( X,R ^{-1}\right) }\) każdy niepusty łańcuch ma infimum.
Dowód:
Udowodnimy najpierw lemat:
Niech \(\displaystyle{ \left( X,R\right)}\) będzie zbiorem uporządkowanym, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jego podzbiorem. Wtedy \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ R}\), wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1}.}\)
DOWÓD LEMATU:
Niech \(\displaystyle{ (X,R)}\) będzie zbiorem uporządkowanym.
Przypuśćmy, że w \(\displaystyle{ (X,R)}\) każdy niepusty łańcuch ma supremum. Pokażemy, że w \(\displaystyle{ (X,R^{-1})}\) (czyli w tym samym zbiorze tylko z porządkiem odwrotnym) każdy niepusty łańcuch ma infimum. Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie niepustym łańcuchem, względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\). Pokażemy że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum. Wiemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1}.}\) Na mocy udowodnionego lematu jest to łańcuch względem \(\displaystyle{ R}\). Zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest niepustym łańcuchem względem \(\displaystyle{ R}\). A zatem, na mocy założenia, zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum (względem \(\displaystyle{ R}\)), które jest jego infimum względem \(\displaystyle{ R^{-1}. \square}\)
Przypuśćmy, że w \(\displaystyle{ (X,R^{-1})}\) każdy niepusty łańcuch ma infimum. Pokażemy, że w \(\displaystyle{ (X,R)}\) każdy niepusty łańcuch ma supremum. Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) będzie niepustym łańcuchem względem \(\displaystyle{ R}\). Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Wtedy zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest również łańcuchem względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\) (na mocy lematu), i jest niepusty, więc na mocy założenia zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum ( względem \(\displaystyle{ R^{-1}}\)), które jest jego supremum względem \(\displaystyle{ R=\left( R ^{-1} \right) ^{-1}. \square}\)
Dzięki temu, choć mam co najmniej \(\displaystyle{ 8}\) przykładów (czy raczej \(\displaystyle{ 8}\) rodzin przykładów, gdyż to przykłady raczej ogólne) na zbiory uporządkowane, w których każdy niepusty łańcuch posiada supremum, ale jednak nie zawsze mam do pary przykład na zbór uporządkowany w którym każdy niepusty łańcuch miałby infimum, to na mocy tego ćwiczenia do każdego z tych przykładów zbioru uporządkowanego, gdzie niepuste łańcuchy mają supremum, mogę rozważyć ten sam zbiór, ale z porządkiem odwrotnym, i na mocy tego faktu, wtedy każdy niepusty łańcuch ma infimum.
(Pustymi łańcuchami nie ma co się martwić, bo jeśli tylko w zbiorze uporządkowanym \(\displaystyle{ (X, \le )}\) jest element najmniejszy, to jest on supremum pustego łańcucha, podobnie jeśli w zbiorze uporządkowanym jest element największy, to jest on infimum pustego łańcucha).
Ukryta treść:
Dowód: Niech \(\displaystyle{ (X, \le )}\) będzie zbiorem uporządkowanym, w którym każdy podzbiór ma supremum. Pokażemy, że również każdy podzbiór ma infimum. Niech \(\displaystyle{ A\subset X}\) . Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma infimum. Rozważmy zbiór \(\displaystyle{ B}\) wszystkich ograniczeń dolnych zbioru \(\displaystyle{ A}\) ( zbiór na lewo od zbioru \(\displaystyle{ A}\)). Taki zbiór, na mocy założenia ma supremum \(\displaystyle{ x}\), i pokazujemy ze to supremum jest infimum zbioru na prawo (zbioru \(\displaystyle{ A}\)).
Odwrotnie, jeśli w \(\displaystyle{ (X, \le )}\) każdy podzbiór ma infimum, to każdy podzbiór ma supremum. Aby to pokazać, to niech \(\displaystyle{ A\subset X}\). Pokażemy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) ma supremum. Rozważmy zbiór na prawo od niego- zbiór \(\displaystyle{ B}\) wszystkich ograniczeń górnych zbioru \(\displaystyle{ A}\). Taki zbiór \(\displaystyle{ B}\) ma infimum \(\displaystyle{ x}\) (na mocy założenia), i pokazujemy że to infimum jest supremum zbioru na lewo- zbioru \(\displaystyle{ A. \square}\)
Czyż nie piękne
A zatem w tych trzech wyjaśnianych przykładach zbiorów uporządkowanych zarówno każdy podzbiór ma supremum jak i każdy podzbiór ma infimum.
-
- Użytkownik
- Posty: 1404
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacja odwrotna- proste pytania.
Przedwczoraj wieczorem udowodniłem, że porządek odwrotny do porządku leksykograficznego dwóch zbiorów liniowo uporządkowanych jest tym samym co porządek leksykograficzny porządku odwrotnego na pierwszym zbiorze i porządku odwrotnego na drugim zbiorze, tzn. jeśli porzadek leksykograficzny zbiorów liniowo uporządkowanych \(\displaystyle{ A,B}\) oznaczymy \(\displaystyle{ A\otimes B}\), to uzasadniłem, że
\(\displaystyle{ (A\otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}. }\)
Przedstawię teraz dowód:
PROSTY DOWÓD:
Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right); }\) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. Zauważmy najpierw, że oba rozpatrywane w tezie twierdzenia porządki są określone na \(\displaystyle{ A\times B}\). Przyjmijmy umowę w tym poście, że porządek odwrotny do porządku na \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będziemy tutaj oznaczać dla uproszczenia zapisu jako \(\displaystyle{ \ge}\). Pozostaje wykazać, że zawsze
\(\displaystyle{ (x_1,y_1) \left( \le _{A\otimes B}\right) ^{-1} (x_2,y_2) \Longleftrightarrow \left( x_1,y_1\right) \left( \ge _{A}\otimes \ge _{B} \right) \left( x_2,y_2\right)}\) , dla dowolnych par \(\displaystyle{ (x_1,y_1);(x_2,y_2)\in A\times B.}\)
Niech \(\displaystyle{ (x_1,y_1);(x_2,y_2)\in A\times B}\). Lewa strona tej równoważności jest równoważna z \(\displaystyle{ (x_2,y_2) \le _{A\otimes B} (x_1,y_1).}\) Aby pokazać prawą stronę równoważności, rozpatrujemy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x_1=x_2.}\) Wtedy, z definicji porządku leksykograficznego \(\displaystyle{ y_2 \le _{B} y_1}\), a więc\(\displaystyle{ y_1 \ge _B y_2}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1\right) \left( \ge _{A}\otimes \ge _{B} \right) \left( x_2,y_2\right)}\), co należało pokazać.
2. \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x_2 \le _A x_1}\), a zatem \(\displaystyle{ x_1 \ge_A x _{2}}\), i ponieważ \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\), to \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1\right) \left( \ge _{A}\otimes \ge _{B} \right) \left( x_2,y_2\right).}\)
Kończy to dowód wynikania w jedną stronę. Aby pokazać wynikanie w drugą stronę załóżmy, że \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1\right) \left( \ge _{A}\otimes \ge _{B} \right) \left( x_2,y_2\right)}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ (x_2,y_2) \le _{A\otimes B} (x_1,y_1).}\) Rozważmy teraz dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), wtedy z definicji porządku leksykograficznego \(\displaystyle{ y_1 \ge _B y_2}\), wtedy \(\displaystyle{ y_2 \le y_1}\), a zatem \(\displaystyle{ (x_2,y_2) \le _{A\otimes B} (x_1,y_1).}\)
2.\(\displaystyle{ x _{1} \neq x _{2}}\). Wtedy \(\displaystyle{ x_1 \ge _A x_2}\), wtedy \(\displaystyle{ x_2 \le _A x_1}\), i ponieważ \(\displaystyle{ x_2 \neq x_1}\), to \(\displaystyle{ (x_2,y_2) \le _{A\otimes B} (x_1,y_1).\square}\)
Wiemy, że suma łańcucha (względem rozszerzenia) liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest liniowym porządkiem na podzbiorze zbioru \(\displaystyle{ X}\). Łatwo więc również zauważyć, że porządek odwrotny do takiej sumy jest sumą porządków odwrotnych- wynika to natychmiast z prawa, że dla dowolnej rodziny relacji między dwoma zbiorami relacja odwrotna do sumy rodziny relacji jest sumą relacji odwrotnych, co można bardzo łatwo udowodnić. A ten fakt z porządkiem odwrotnym do tej sumy jest szczególnym przypadkiem tego ogólnego faktu.
\(\displaystyle{ (A\otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}. }\)
Przedstawię teraz dowód:
PROSTY DOWÓD:
Niech \(\displaystyle{ \left( A, \le _{A} \right);\left( B, \le _{B} \right); }\) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. Zauważmy najpierw, że oba rozpatrywane w tezie twierdzenia porządki są określone na \(\displaystyle{ A\times B}\). Przyjmijmy umowę w tym poście, że porządek odwrotny do porządku na \(\displaystyle{ \left( X, \le\right)}\) będziemy tutaj oznaczać dla uproszczenia zapisu jako \(\displaystyle{ \ge}\). Pozostaje wykazać, że zawsze
\(\displaystyle{ (x_1,y_1) \left( \le _{A\otimes B}\right) ^{-1} (x_2,y_2) \Longleftrightarrow \left( x_1,y_1\right) \left( \ge _{A}\otimes \ge _{B} \right) \left( x_2,y_2\right)}\) , dla dowolnych par \(\displaystyle{ (x_1,y_1);(x_2,y_2)\in A\times B.}\)
Niech \(\displaystyle{ (x_1,y_1);(x_2,y_2)\in A\times B}\). Lewa strona tej równoważności jest równoważna z \(\displaystyle{ (x_2,y_2) \le _{A\otimes B} (x_1,y_1).}\) Aby pokazać prawą stronę równoważności, rozpatrujemy dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x_1=x_2.}\) Wtedy, z definicji porządku leksykograficznego \(\displaystyle{ y_2 \le _{B} y_1}\), a więc\(\displaystyle{ y_1 \ge _B y_2}\), a zatem \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1\right) \left( \ge _{A}\otimes \ge _{B} \right) \left( x_2,y_2\right)}\), co należało pokazać.
2. \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x_2 \le _A x_1}\), a zatem \(\displaystyle{ x_1 \ge_A x _{2}}\), i ponieważ \(\displaystyle{ x_1 \neq x_2}\), to \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1\right) \left( \ge _{A}\otimes \ge _{B} \right) \left( x_2,y_2\right).}\)
Kończy to dowód wynikania w jedną stronę. Aby pokazać wynikanie w drugą stronę załóżmy, że \(\displaystyle{ \left( x_1,y_1\right) \left( \ge _{A}\otimes \ge _{B} \right) \left( x_2,y_2\right)}\), i pokażmy, że \(\displaystyle{ (x_2,y_2) \le _{A\otimes B} (x_1,y_1).}\) Rozważmy teraz dwa przypadki:
1. \(\displaystyle{ x_1=x_2}\), wtedy z definicji porządku leksykograficznego \(\displaystyle{ y_1 \ge _B y_2}\), wtedy \(\displaystyle{ y_2 \le y_1}\), a zatem \(\displaystyle{ (x_2,y_2) \le _{A\otimes B} (x_1,y_1).}\)
2.\(\displaystyle{ x _{1} \neq x _{2}}\). Wtedy \(\displaystyle{ x_1 \ge _A x_2}\), wtedy \(\displaystyle{ x_2 \le _A x_1}\), i ponieważ \(\displaystyle{ x_2 \neq x_1}\), to \(\displaystyle{ (x_2,y_2) \le _{A\otimes B} (x_1,y_1).\square}\)
Wiemy, że suma łańcucha (względem rozszerzenia) liniowych porządków na podzbiorach zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest liniowym porządkiem na podzbiorze zbioru \(\displaystyle{ X}\). Łatwo więc również zauważyć, że porządek odwrotny do takiej sumy jest sumą porządków odwrotnych- wynika to natychmiast z prawa, że dla dowolnej rodziny relacji między dwoma zbiorami relacja odwrotna do sumy rodziny relacji jest sumą relacji odwrotnych, co można bardzo łatwo udowodnić. A ten fakt z porządkiem odwrotnym do tej sumy jest szczególnym przypadkiem tego ogólnego faktu.
-
- Użytkownik
- Posty: 1404
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacja odwrotna- proste pytania.
Mamy też taki fakt, że porządek odwrotny do gęstego jest gęsty, i porządek odwrotny do ciągłego jest ciągły- są to proste fakty.
Przedwczoraj udowodniłem , że jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), oraz mamy dwie relacje jednoznaczne z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y }\) o rozłącznych prawych dziedzinach, to ich suma jest relacją jednoznaczną. A na mocy prawa mówiącego, że jeśli w prostokącie \(\displaystyle{ X \times Y}\) mamy mniejszy prostokąt \(\displaystyle{ A \times B}\), gdzie \(\displaystyle{ A\subset X}\) , \(\displaystyle{ B\subset Y}\), to relacja odwrotna do prostokąta \(\displaystyle{ A \times B}\) jest to prostokąt \(\displaystyle{ B \times A}\)- jest to prosty fakt, i dzięki niemu udowodniłem rozdzielność iloczynu kartezjańskiego względem sumy dwóch zbiorów (przyznaje- jest to znany mi fakt, jest to taki wyjątek od tego co powiedziałem, że nie udowadniam znanych mi faktów, ale jest to krótki dowodzik); oraz udowodniłem prawo mówiące, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X,}\) oraz mamy element \(\displaystyle{ b}\) ( dowolny element, być może spoza tego zbioru), to mamy równoliczność zbiorów: \(\displaystyle{ X\sim \left\{ b\right\} \times X}\). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Przypomnijmy, relacja \(\displaystyle{ R}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest relacją jednoznaczną, gdy spełniona jest implikacja:
\(\displaystyle{ \left( x_1,y\right)\in R \wedge \left( x_2, y\right) \in R \Longrightarrow x_1=x_2}\),
czyli gdy do każdego elementu \(\displaystyle{ y\in Y}\) co najwyżej jeden element zbioru \(\displaystyle{ X}\) pozostaje z nim w relacji.
Łatwo jest zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją jednoznaczną z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to relacja odwrotna \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest relacją odwrotnie jednoznaczną z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\), czyli jest funkcją częściową z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\), a jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją częściową z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to relacja \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest relacją jednoznaczną z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\).
Przypomnijmy, prosty fakt, że jeśli mamy trzy zbiory \(\displaystyle{ X_1, X_2, Y}\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ X_1,X_2}\) są rozłączne, oraz mamy dwie funkcje \(\displaystyle{ f_1:X_1 \rightarrow Y}\) i \(\displaystyle{ f_2:X_2 \rightarrow Y}\), to suma \(\displaystyle{ f_1 \cup f_2}\) jest funkcją że zbioru \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\)- jest to prosty fakt.
Wykażemy, że:
Jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są zbiorami, a \(\displaystyle{ R,S}\) relacjami jednoznacznymi z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), takimi, że ich prawe dziedziny \(\displaystyle{ R_P}\) i \(\displaystyle{ S_P}\) są zbiorami rozłącznymi, to relacja \(\displaystyle{ R \cup S}\) jest relacją jednoznaczną.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ relacje \(\displaystyle{ R,S}\) są jednoznaczne, to relacje odwrotne \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) i \(\displaystyle{ S ^{-1}}\) są odwrotnie jednoznaczne. A zatem relacja \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest funkcją ze zbioru \(\displaystyle{ R^{-1} _{L} }\) w zbiór \(\displaystyle{ X}\); i podobnie relacja \(\displaystyle{ S ^{-1}}\) jest funkcją że zbioru z \(\displaystyle{ S^{-1} _L}\) w zbiór \(\displaystyle{ X}\). Zauważmy, że zbiory \(\displaystyle{ R ^{-1}_L}\) i \(\displaystyle{ S ^{-1}_L}\) są rozłączne, gdyż: \(\displaystyle{ R ^{-1}_L \cap S ^{-1}_L = R_P \cap S_P = \emptyset}\), gdyż zbiory \(\displaystyle{ R_P}\) i \(\displaystyle{ S_P}\) są rozłączne. Wobec czego zbiory \(\displaystyle{ R ^{-1}_L}\) i \(\displaystyle{ S ^{-1}_L}\) są rozłączne. Ponieważ \(\displaystyle{ R^{-1} : R ^{-1}_L \rightarrow X}\) i \(\displaystyle{ S ^{-1}: S ^{-1} _L \rightarrow X}\), to ich suma, na mocy przytoczonego faktu dla sumy dwóch funkcji, wtedy suma \(\displaystyle{ R ^{-1} \cup S ^{-1}}\) jest funkcją że zbioru \(\displaystyle{ R ^{-1}_L \cup S ^{-1}_L}\) w zbiór \(\displaystyle{ X}\), a więc jest relacją odwrotnie jednoznaczną. Ponieważ \(\displaystyle{ R ^{-1} \cup S ^{-1}= \left( R \cup S\right) ^{-1}}\), to również \(\displaystyle{ \left( R \cup S\right) ^{-1}}\) jest relacją odwrotnie jednoznaczną, a więc relacja do niej odwrotna jest relacją jednoznaczną , czyli \(\displaystyle{ R \cup S= \left( \left( R \cup S\right) ^{-1} \right) ^{-1}}\) jest relacją jednoznaczną \(\displaystyle{ . \square }\)
Można też łatwo pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), relacją jednoznaczną, a \(\displaystyle{ S\subset R}\) jest podrelacją , to również relacja \(\displaystyle{ S}\) jest jednoznaczna.
Mamy prawo rachunku zbiorów:
\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \times C= \left( A \times C\right) \cup \left( B \times C \right)}\).
Okazuje się, że prawa rachunku zbiorów:
\(\displaystyle{ C \times \left( A \cup B\right) =\left( C \times A\right) \cup \left( C \times B\right)}\),
nie musimy udowadniać w sposób analogiczny. Wcześniej nie widziałem innego wyjścia, a teraz wpadłem na:
CIEKAWSZY DOWÓD TEGO FAKTU :
Niech \(\displaystyle{ X=C}\), \(\displaystyle{ Y =A \cup B}\), wtedy:
\(\displaystyle{ C \times \left( A \cup B\right) =\left[ \left[ C \times \left( A \cup B\right) \right] ^{-1} \right] ^{-1} \stackrel {\left( D \times G\right) ^{-1} = G \times D }{=} \left[ \left( A \cup B\right) \times C \right] ^{-1}= \left[ \left( A \times C\right) \cup \left( B \times C\right) \right] ^{-1}= \left( A \times C\right) ^{-1} \cup \left( B \times C\right) ^{-1}= \\ =\left( C \times A\right) \cup \left( C \times B\right) .\square}\)
Mamy prawo równoliczności zbiorów: jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ a}\) jest dowolnym elementem (być może nawet spoza tego zbioru), to mamy prawo:
\(\displaystyle{ X\sim X \times \left\{ a\right\} .}\)
Dowodzimy to, rozważając funkcję \(\displaystyle{ f}\) działajacą w następujący sposób:
\(\displaystyle{ x\in X \stackrel {f}{ \rightarrow }\left( x,a\right);}\)
i łatwo sprawdzamy, że jest to bijekcja, a zatem \(\displaystyle{ X \sim X \times \left\{ a\right\} }\).
Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ b}\) jest dowolnym elementem, to mamy równoliczność: \(\displaystyle{ X\sim \left\{ b\right\} \times X}\).
Można oczywiście próbować to udowodnić rozważając funkcję \(\displaystyle{ g}\) działajacą w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ x\in X\stackrel{g}{ \rightarrow } \left( b,x\right).}\)
A można zrobić to ciekawiej. Oto :
Dodano po 5 miesiącach 10 dniach 23 godzinach 58 minutach 17 sekundach:
Okazuje się, że mając udowodnione prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) ,}\)
to drugiego symetrycznego prawa zbiorów:
\(\displaystyle{ \left( B \cap C\right) \times A= \left( B \times A\right) \cap \left( C \times A\right) }\),
nie musimy udowadniać w sposób analogiczny- jest inne ciekawsze wyjście.
Podobnie, mając udowodnione prawo zbiorów z różnicą:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \setminus C\right) = \left( A \times B\right) \setminus \left( A \times C\right)}\) ,
(tu nie widzę innego prostego sposobu dowodu niż standardowy dowód tego faktu),
ale mając taki fakt, udowodniłem w podobny sposób, jak dla faktu z przekrojem, w podobny sposób udowodniłem ten drugi fakt z różnicą.
W ogóle prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) ,}\)
udowodniłem dzisiaj na podstawie odpowiedniej rozdzielności mnożenia kartezjańskiego względem sumy, i na mocy prawa dla dopełnień w iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ X \times Y}\)- wtedy dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A \subset X, B \subset Y}\), mamy prawo:
\(\displaystyle{ \left( A \times B \right)'= \left( A' \times Y\right) \cup \left( X \times B'\right); }\)
jest to prosty fakt, i dzięki niemu udowodniłem to prawo (możliwe, że przekombinowałem).
Przedstawię teraz te nietypowe dowody tych faktów.
Wykażemy najpierw prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) .}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ X= A}\), \(\displaystyle{ Y= B \cup C}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left( \left( A \times \left( B \cap C\right) \right)' \right)'.}\)
Wyznaczmy najpierw zbiór \(\displaystyle{ \left[ A \times \left( B \cap C\right) \right] '.}\)
Mamy \(\displaystyle{ A \subset X=A, B \cap C \subset Y= B \cup C}\), więc na mocy przytoczonego prawa o dopełnieniu iloczynu kartezjańskiego, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left[ A \times \left( B \cap C\right) \right] '= \left( A' \times Y\right) \cup \left( X \times \left( B \cap C\right)' \right) = \left[ \left( \left( \emptyset = X' \right) \times Y\right) \cup X \times \left( B' \cup C'\right) \right] = \left[ \left( X \times B'\right) \cup \left( X \times C'\right) \right] = \left( A \times B'\right) \cup \left( A \times C'\right) = \\ = \left[ \emptyset \cup \left( A \times B'\right) \right] \cup \left[ \emptyset \cup \left( A \times C'\right)\right] = \left[ \left( X' \times Y\right) \cup \left( X \times B'\right) \right] \cup \left[ \left( X' \times Y\right) \cup \left( X \times C'\right) \right] = \left[ \left( A' \times Y\right) \cup \left( X \times B'\right) \right] \cup \left[ \left( A' \times Y\right) \cup \left( X \times C'\right) \right]\\ = }\)
co jest równe, na mocy przytoczonego prawa o dopełnieniu iloczynu kartezjańskiego, to jest równe:
\(\displaystyle{ = \left( A \times B\right) ' \cup \left( A \times C \right) '.}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \left[ A \times \left( B \cap C\right) \right] '=\left( A \times B\right) ' \cup \left( A \times C \right) '.}\)
Wobec czego:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left[ \left( A \times \left( B \cap C\right) \right) ' \right] '= \left[ \left( A \times B\right)' \cup \left( A \times C\right)' \right]'= \left( \left( A \times B\right) '\right) ' \cap \left( \left( A \times C\right)' \right) '= \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right). \square}\)
Wykażemy teraz prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ \left( B \cap C\right) \times A= \left( B \times A\right) \cap \left( C \times A\right).}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech: \(\displaystyle{ X= B \cup C}\), \(\displaystyle{ Y=A }\)). Wtedy:
\(\displaystyle{ \left( B \cap C\right) \times A=\left[ \left[ \left( B \cap C\right) \times A \right] ^{-1} \right] ^{-1} \stackrel{ \left( D \times G\right) ^{-1}= G \times D } {=} \left[ A \times \left( B \cap C\right) \right] ^{-1}=}\)
co jest równe, na mocy powyżej udowodnionego faktu przed chwilą, więc to jest równe:
\(\displaystyle{ \left[ \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) \right] ^{-1}= \left( A \times B\right) ^{-1} \cap \left( A \times C\right) ^{-1}= \left( B \times A \right) \cap \left( C \times A \right).\square}\)
Na koniec wykażemy prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ \left( B \setminus C\right) \times A= \left( B \times A\right) \setminus \left( C \times A\right).}\)
Mając prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \setminus C\right)= \left( A \times B\right) \setminus \left( A \times C\right). }\) Mamy też taki prosty fakt, że dowolna relacja \(\displaystyle{ R}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest równoliczna z relacją odwrotną \(\displaystyle{ R ^{-1}}\)- jest to prosty fakt.
Przedwczoraj udowodniłem , że jeśli mamy dwa zbiory \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\), oraz mamy dwie relacje jednoznaczne z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y }\) o rozłącznych prawych dziedzinach, to ich suma jest relacją jednoznaczną. A na mocy prawa mówiącego, że jeśli w prostokącie \(\displaystyle{ X \times Y}\) mamy mniejszy prostokąt \(\displaystyle{ A \times B}\), gdzie \(\displaystyle{ A\subset X}\) , \(\displaystyle{ B\subset Y}\), to relacja odwrotna do prostokąta \(\displaystyle{ A \times B}\) jest to prostokąt \(\displaystyle{ B \times A}\)- jest to prosty fakt, i dzięki niemu udowodniłem rozdzielność iloczynu kartezjańskiego względem sumy dwóch zbiorów (przyznaje- jest to znany mi fakt, jest to taki wyjątek od tego co powiedziałem, że nie udowadniam znanych mi faktów, ale jest to krótki dowodzik); oraz udowodniłem prawo mówiące, że jeśli mamy zbiór \(\displaystyle{ X,}\) oraz mamy element \(\displaystyle{ b}\) ( dowolny element, być może spoza tego zbioru), to mamy równoliczność zbiorów: \(\displaystyle{ X\sim \left\{ b\right\} \times X}\). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Przypomnijmy, relacja \(\displaystyle{ R}\) ze zbioru \(\displaystyle{ X}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest relacją jednoznaczną, gdy spełniona jest implikacja:
\(\displaystyle{ \left( x_1,y\right)\in R \wedge \left( x_2, y\right) \in R \Longrightarrow x_1=x_2}\),
czyli gdy do każdego elementu \(\displaystyle{ y\in Y}\) co najwyżej jeden element zbioru \(\displaystyle{ X}\) pozostaje z nim w relacji.
Łatwo jest zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją jednoznaczną z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to relacja odwrotna \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest relacją odwrotnie jednoznaczną z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\), czyli jest funkcją częściową z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\), a jeśli relacja \(\displaystyle{ R}\) jest funkcją częściową z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), to relacja \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest relacją jednoznaczną z \(\displaystyle{ Y}\) do \(\displaystyle{ X}\).
Przypomnijmy, prosty fakt, że jeśli mamy trzy zbiory \(\displaystyle{ X_1, X_2, Y}\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ X_1,X_2}\) są rozłączne, oraz mamy dwie funkcje \(\displaystyle{ f_1:X_1 \rightarrow Y}\) i \(\displaystyle{ f_2:X_2 \rightarrow Y}\), to suma \(\displaystyle{ f_1 \cup f_2}\) jest funkcją że zbioru \(\displaystyle{ X_1 \cup X_2}\) w zbiór \(\displaystyle{ Y}\)- jest to prosty fakt.
Wykażemy, że:
Jeśli \(\displaystyle{ X,Y}\) są zbiorami, a \(\displaystyle{ R,S}\) relacjami jednoznacznymi z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), takimi, że ich prawe dziedziny \(\displaystyle{ R_P}\) i \(\displaystyle{ S_P}\) są zbiorami rozłącznymi, to relacja \(\displaystyle{ R \cup S}\) jest relacją jednoznaczną.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ relacje \(\displaystyle{ R,S}\) są jednoznaczne, to relacje odwrotne \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) i \(\displaystyle{ S ^{-1}}\) są odwrotnie jednoznaczne. A zatem relacja \(\displaystyle{ R ^{-1}}\) jest funkcją ze zbioru \(\displaystyle{ R^{-1} _{L} }\) w zbiór \(\displaystyle{ X}\); i podobnie relacja \(\displaystyle{ S ^{-1}}\) jest funkcją że zbioru z \(\displaystyle{ S^{-1} _L}\) w zbiór \(\displaystyle{ X}\). Zauważmy, że zbiory \(\displaystyle{ R ^{-1}_L}\) i \(\displaystyle{ S ^{-1}_L}\) są rozłączne, gdyż: \(\displaystyle{ R ^{-1}_L \cap S ^{-1}_L = R_P \cap S_P = \emptyset}\), gdyż zbiory \(\displaystyle{ R_P}\) i \(\displaystyle{ S_P}\) są rozłączne. Wobec czego zbiory \(\displaystyle{ R ^{-1}_L}\) i \(\displaystyle{ S ^{-1}_L}\) są rozłączne. Ponieważ \(\displaystyle{ R^{-1} : R ^{-1}_L \rightarrow X}\) i \(\displaystyle{ S ^{-1}: S ^{-1} _L \rightarrow X}\), to ich suma, na mocy przytoczonego faktu dla sumy dwóch funkcji, wtedy suma \(\displaystyle{ R ^{-1} \cup S ^{-1}}\) jest funkcją że zbioru \(\displaystyle{ R ^{-1}_L \cup S ^{-1}_L}\) w zbiór \(\displaystyle{ X}\), a więc jest relacją odwrotnie jednoznaczną. Ponieważ \(\displaystyle{ R ^{-1} \cup S ^{-1}= \left( R \cup S\right) ^{-1}}\), to również \(\displaystyle{ \left( R \cup S\right) ^{-1}}\) jest relacją odwrotnie jednoznaczną, a więc relacja do niej odwrotna jest relacją jednoznaczną , czyli \(\displaystyle{ R \cup S= \left( \left( R \cup S\right) ^{-1} \right) ^{-1}}\) jest relacją jednoznaczną \(\displaystyle{ . \square }\)
Można też łatwo pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ R}\) jest relacją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), relacją jednoznaczną, a \(\displaystyle{ S\subset R}\) jest podrelacją , to również relacja \(\displaystyle{ S}\) jest jednoznaczna.
Mamy prawo rachunku zbiorów:
\(\displaystyle{ \left( A \cup B\right) \times C= \left( A \times C\right) \cup \left( B \times C \right)}\).
Okazuje się, że prawa rachunku zbiorów:
\(\displaystyle{ C \times \left( A \cup B\right) =\left( C \times A\right) \cup \left( C \times B\right)}\),
nie musimy udowadniać w sposób analogiczny. Wcześniej nie widziałem innego wyjścia, a teraz wpadłem na:
CIEKAWSZY DOWÓD TEGO FAKTU :
Niech \(\displaystyle{ X=C}\), \(\displaystyle{ Y =A \cup B}\), wtedy:
\(\displaystyle{ C \times \left( A \cup B\right) =\left[ \left[ C \times \left( A \cup B\right) \right] ^{-1} \right] ^{-1} \stackrel {\left( D \times G\right) ^{-1} = G \times D }{=} \left[ \left( A \cup B\right) \times C \right] ^{-1}= \left[ \left( A \times C\right) \cup \left( B \times C\right) \right] ^{-1}= \left( A \times C\right) ^{-1} \cup \left( B \times C\right) ^{-1}= \\ =\left( C \times A\right) \cup \left( C \times B\right) .\square}\)
Mamy prawo równoliczności zbiorów: jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ a}\) jest dowolnym elementem (być może nawet spoza tego zbioru), to mamy prawo:
\(\displaystyle{ X\sim X \times \left\{ a\right\} .}\)
Dowodzimy to, rozważając funkcję \(\displaystyle{ f}\) działajacą w następujący sposób:
\(\displaystyle{ x\in X \stackrel {f}{ \rightarrow }\left( x,a\right);}\)
i łatwo sprawdzamy, że jest to bijekcja, a zatem \(\displaystyle{ X \sim X \times \left\{ a\right\} }\).
Wykażemy teraz, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest zbiorem, a \(\displaystyle{ b}\) jest dowolnym elementem, to mamy równoliczność: \(\displaystyle{ X\sim \left\{ b\right\} \times X}\).
Można oczywiście próbować to udowodnić rozważając funkcję \(\displaystyle{ g}\) działajacą w poniższy sposób:
\(\displaystyle{ x\in X\stackrel{g}{ \rightarrow } \left( b,x\right).}\)
A można zrobić to ciekawiej. Oto :
CIEKAWSZY DOWÓD TEGO FAKTU::
Dodano po 5 miesiącach 10 dniach 23 godzinach 58 minutach 17 sekundach:
Okazuje się, że mając udowodnione prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) ,}\)
to drugiego symetrycznego prawa zbiorów:
\(\displaystyle{ \left( B \cap C\right) \times A= \left( B \times A\right) \cap \left( C \times A\right) }\),
nie musimy udowadniać w sposób analogiczny- jest inne ciekawsze wyjście.
Podobnie, mając udowodnione prawo zbiorów z różnicą:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \setminus C\right) = \left( A \times B\right) \setminus \left( A \times C\right)}\) ,
(tu nie widzę innego prostego sposobu dowodu niż standardowy dowód tego faktu),
ale mając taki fakt, udowodniłem w podobny sposób, jak dla faktu z przekrojem, w podobny sposób udowodniłem ten drugi fakt z różnicą.
W ogóle prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) ,}\)
udowodniłem dzisiaj na podstawie odpowiedniej rozdzielności mnożenia kartezjańskiego względem sumy, i na mocy prawa dla dopełnień w iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ X \times Y}\)- wtedy dla dwóch zbiorów \(\displaystyle{ A \subset X, B \subset Y}\), mamy prawo:
\(\displaystyle{ \left( A \times B \right)'= \left( A' \times Y\right) \cup \left( X \times B'\right); }\)
jest to prosty fakt, i dzięki niemu udowodniłem to prawo (możliwe, że przekombinowałem).
Przedstawię teraz te nietypowe dowody tych faktów.
Wykażemy najpierw prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) .}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech \(\displaystyle{ X= A}\), \(\displaystyle{ Y= B \cup C}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left( \left( A \times \left( B \cap C\right) \right)' \right)'.}\)
Wyznaczmy najpierw zbiór \(\displaystyle{ \left[ A \times \left( B \cap C\right) \right] '.}\)
Mamy \(\displaystyle{ A \subset X=A, B \cap C \subset Y= B \cup C}\), więc na mocy przytoczonego prawa o dopełnieniu iloczynu kartezjańskiego, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \left[ A \times \left( B \cap C\right) \right] '= \left( A' \times Y\right) \cup \left( X \times \left( B \cap C\right)' \right) = \left[ \left( \left( \emptyset = X' \right) \times Y\right) \cup X \times \left( B' \cup C'\right) \right] = \left[ \left( X \times B'\right) \cup \left( X \times C'\right) \right] = \left( A \times B'\right) \cup \left( A \times C'\right) = \\ = \left[ \emptyset \cup \left( A \times B'\right) \right] \cup \left[ \emptyset \cup \left( A \times C'\right)\right] = \left[ \left( X' \times Y\right) \cup \left( X \times B'\right) \right] \cup \left[ \left( X' \times Y\right) \cup \left( X \times C'\right) \right] = \left[ \left( A' \times Y\right) \cup \left( X \times B'\right) \right] \cup \left[ \left( A' \times Y\right) \cup \left( X \times C'\right) \right]\\ = }\)
co jest równe, na mocy przytoczonego prawa o dopełnieniu iloczynu kartezjańskiego, to jest równe:
\(\displaystyle{ = \left( A \times B\right) ' \cup \left( A \times C \right) '.}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ \left[ A \times \left( B \cap C\right) \right] '=\left( A \times B\right) ' \cup \left( A \times C \right) '.}\)
Wobec czego:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right) = \left[ \left( A \times \left( B \cap C\right) \right) ' \right] '= \left[ \left( A \times B\right)' \cup \left( A \times C\right)' \right]'= \left( \left( A \times B\right) '\right) ' \cap \left( \left( A \times C\right)' \right) '= \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right). \square}\)
Wykażemy teraz prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ \left( B \cap C\right) \times A= \left( B \times A\right) \cap \left( C \times A\right).}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Niech: \(\displaystyle{ X= B \cup C}\), \(\displaystyle{ Y=A }\)). Wtedy:
\(\displaystyle{ \left( B \cap C\right) \times A=\left[ \left[ \left( B \cap C\right) \times A \right] ^{-1} \right] ^{-1} \stackrel{ \left( D \times G\right) ^{-1}= G \times D } {=} \left[ A \times \left( B \cap C\right) \right] ^{-1}=}\)
co jest równe, na mocy powyżej udowodnionego faktu przed chwilą, więc to jest równe:
\(\displaystyle{ \left[ \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right) \right] ^{-1}= \left( A \times B\right) ^{-1} \cap \left( A \times C\right) ^{-1}= \left( B \times A \right) \cap \left( C \times A \right).\square}\)
Na koniec wykażemy prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ \left( B \setminus C\right) \times A= \left( B \times A\right) \setminus \left( C \times A\right).}\)
Mając prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ A \times \left( B \setminus C\right)= \left( A \times B\right) \setminus \left( A \times C\right). }\)
DOWÓD TEGO FAKTU::
-
- Użytkownik
- Posty: 1404
- Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Rzeszów
- Podziękował: 61 razy
- Pomógł: 83 razy
Re: Relacja odwrotna- proste pytania.
Mamy też prawo zbiorów:
\(\displaystyle{ X \times \left( B\oplus C\right)= \left( X \times B\right)\oplus \left( X \times C\right), }\)
gdzie operacja \(\displaystyle{ \oplus}\) oznacza różnicę symetryczną zbiorów.
Łatwo można to udowodnić, z definicji różnicy symetrycznej.
W podobny sposób można pewnie udowodnić prawo zbiorów (choć nie wiem, nie przeprowadziłem do końca takiego dowodu):
\(\displaystyle{ \left( B\oplus C\right) \times A=\left( B \times A\right)\oplus \left( C \times A\right). }\)
Wczoraj udowodniłem to prawo korzystając z prawa różnicy symetrycznej:
\(\displaystyle{ X\oplus Y= \left( X \cup Y\right) \setminus \left( X \cap Y\right). }\)
Łatwo to udowodniłem, na mocy innych rozdzielności, gdyż:
\(\displaystyle{ \left( B\oplus C\right) \times A= \left[ \left( B \cup C\right) \setminus \left( B \cap C\right) \right] \times A=\left[ \left( B \cup C\right) \times A \right] \setminus \left[ \left( B \cap C\right) \times A\right] = \left[ \left( B \times A\right) \cup \left( C \times A\right) \right] \setminus \left[ \left( B \times A\right) \cap \left( C \times A\right) \right] = \\ =\left( B \times A\right)\oplus \left( C \times A\right).\square}\)
\(\displaystyle{ X \times \left( B\oplus C\right)= \left( X \times B\right)\oplus \left( X \times C\right), }\)
gdzie operacja \(\displaystyle{ \oplus}\) oznacza różnicę symetryczną zbiorów.
Łatwo można to udowodnić, z definicji różnicy symetrycznej.
W podobny sposób można pewnie udowodnić prawo zbiorów (choć nie wiem, nie przeprowadziłem do końca takiego dowodu):
\(\displaystyle{ \left( B\oplus C\right) \times A=\left( B \times A\right)\oplus \left( C \times A\right). }\)
Wczoraj udowodniłem to prawo korzystając z prawa różnicy symetrycznej:
\(\displaystyle{ X\oplus Y= \left( X \cup Y\right) \setminus \left( X \cap Y\right). }\)
Łatwo to udowodniłem, na mocy innych rozdzielności, gdyż:
\(\displaystyle{ \left( B\oplus C\right) \times A= \left[ \left( B \cup C\right) \setminus \left( B \cap C\right) \right] \times A=\left[ \left( B \cup C\right) \times A \right] \setminus \left[ \left( B \cap C\right) \times A\right] = \left[ \left( B \times A\right) \cup \left( C \times A\right) \right] \setminus \left[ \left( B \times A\right) \cap \left( C \times A\right) \right] = \\ =\left( B \times A\right)\oplus \left( C \times A\right).\square}\)